الحل

لماذا لا يمكن تغيير شكل الدالة f(x) = (√x)²؟
السؤال الجيد! هذا السؤال يدور حول فهم عميق لخصائص الدوال الجذرية والتبسيط الجبري.
الجواب:
* تعريف الجذر التربيعي: الجذر التربيعي لعدد هو العدد الذي إذا ضربناه في نفسه أعطانا العدد الأصلي. لكن، الجذر التربيعي لعدد سالب غير معرف في مجال الأعداد الحقيقية.
* الدالة f(x) = (√x)²:
* الشرط الأساسي: لكي تكون هذه الدالة معرفة، يجب أن يكون ما بداخل الجذر التربيعي (أي x) أكبر من أو يساوي الصفر.
* التبسيط: عند رفع الجذر التربيعي للأس اثنين، فإن التأثير هو إلغاء الجذر، وبالتالي تصبح الدالة f(x) = x.
* النتيجة: على الرغم من التبسيط، فإن شرط أن يكون x أكبر من أو يساوي الصفر لا يزال ساري المفعول، لأن هذا الشرط كان موجودًا منذ البداية لضمان تعريف الدالة.
لماذا لا يمكننا تجاهل هذا الشرط؟
* نطاق الدالة: نطاق الدالة هو مجموعة القيم التي يمكن أن تأخذها المتغير المستقل (x) بحيث تكون الدالة معرفة. في هذه الحالة، نطاق الدالة هو [0, ∞)، أي جميع الأعداد الحقيقية الموجبة والصفر.
* التعريف الدقيق: إذا حاولنا تغيير شكل الدالة وتجاهل الشرط، فإننا سنحصل على تعريف جديد للدالة، وهذا التعريف سيكون مختلفًا عن التعريف الأصلي.
مقارنة بالدوال الكسرية:
في الدوال الكسرية، يمكننا أحيانًا تبسيط الكسر عن طريق قسمة البسط والمقام على عامل مشترك. ولكن، يجب أن نتذكر دائماً أن القيم التي تجعل المقام يساوي صفرًا يجب استبعادها من نطاق الدالة، لأن القسمة على صفر غير معرفة.
الخلاصة:
* الدالة f(x) = (√x)²: تعادل الدالة f(x) = x بشرط أن يكون x ≥ 0.
* لا يمكن تغيير شكل الدالة: لأن تغيير الشكل قد يؤدي إلى تغيير نطاق الدالة وتغيير معناها.
* الشرط الأساسي: شرط أن يكون x ≥ 0 هو شرط ضروري لتعريف الدالة، ولا يمكن تجاهله.
لذلك، الخيار الصحيح في الاختيارات هو:
* [0, ∞): أي جميع الأعداد الحقيقية الموجبة والصفر.
ملاحظة:
إذا كانت الدالة المعرفة على مجموعة الأعداد المركبة، فإن الجذر التربيعي لعدد سالب يكون معرفًا، وبالتالي يمكن تبسيط الدالة بشكل مختلف. ولكن في سياق هذا السؤال، نحن نفترض أننا نتعامل مع الأعداد الحقيقية فقط.
- Chat GPT