❗️چرا فلسفه‌های سه‌گانه مشهور ریاضی مهم هستند؟❗️

✅آیا تعریف نظریه مجموعه‌ایِ اعداد طبیعی عجیب است؟ ٢ چیست؟ جواب این سؤال آسان نیست. همان گونه که جواب سؤال (عدالت چیست؟) آسان نیست. فیلسوفان اخلاق سعی کرده‌اند تا پاسخی برای این سؤال بیابند اما هنوز جواب قانع کننده‌ای که عموم فیلسوفان را راضی کند، به دست نیامده است. (آیاوضع موجود اخلاقی در جهان، گواه این نیست؟) اما این سؤال، جواب افلاطونی ساده‌ای دارد. عدالت این‌جهانی، نسخه‌ای از مثالِ افلاطونی عدالت در عالم مثُل است و همۀ ما از طریق روحمان که مادی نیست، از آن مطلع هستیم. پس از تولد، درد زایمان باعث فراموشی می‌شود. فرآیند یادگیریِ دوبارۀ این مفهوم در واقع یادآوری است.
در مورد چیستی عدد ٢ هم جواب افلاطونی مشابهی وجود دارد. در واقع افلاطون‌گرایی را می‌توان آن‌قدر وسعت داد تا شامل همۀ ذوات ریاضی بشود که اکنون یا در آینده معرفی می‌شوند. این پاسخ، قانع کننده به نظر می‌آید. البته فراموشی برخی بسیار عمیق است و با این جواب، قانع نمی‌شوند.
فرگه تلاش کرد عدد ٢ را تعریف کند. دوتا سیب یا دوتا پرتغال. شاید مجموعۀ متشکل از دوتا سیبذیا دوتا پرتغال، زیاد معقول نباشد. شاید انتخاب درست، مجموعۀ همۀ این دوتایی‌ها باشد؟ این انتخاب فرگه بود. به زبان امروزی، به زعم فرگه عدد ٢ برابر با مجموعۀ همۀ مجموعه‌های دو عضوی است. به این ترتیب، عدد ٢ تعمیمی طبیعی از همۀ مجموعه های دو عضوی می شد. البته خودِ فرگه به جای مجموعه صحبت از دامنۀ صدق محمول می کرد. راسل نشان داد که روش فرگه برای این نوع تعریف، به تناقض منجر می‌شود. پارادُکس راسل در مورد تعریف فرگه از اعداد، ریشه در اصلی موسوم به قاعدۀ پایه‌ای V داشت که فرگه آن را پذیرفته بود. یک نتیجۀ این اصل این است که دامنۀ صدق هر محمول وجود دارد. اما اگر مانند راسل، محمول ’x /∈ x‘ را در نظر بگیریم و دامنۀ صدق آن را A بنامیم، با این مشکل برخورد خواهیم کرد که هر یک از دو حالت A ∈ A و A عضو A نباشد، به تناقض منجر می‌شود. بعدها نشان داده شد که اصلی ضعیف‌تر موسوم به اصل هیوم برای این منظور کفایت می‌کند. در این اصل، با استفاده از مفهوم تناظر یک به یک، مفهوم تعداد اعضای دامنۀ صدق یک محمول به طور سیاقی ٢ تعریف می‌شود. این اصل برای اثبات ویژگی‌های اعداد کفایت می‌کند و دستگاه حاصل، سازگار می‌شود. پس مشکل اصلی روش فرگه برای تحویل حساب به منطق، ناسازگاری نیست. مشکل منطق‌گرایی این است که اصولش پا را از حیطۀ منطق صرف بیرون می‌گذارند. این در مورد اصولی که فرگه به کار برد و همچنین اصولی که دنباله‌روان او در تحویل حساب به منطق به کار بردند نیز صادق است. بنابراین دربارۀ سودمندیِ این رهیافت، تردید وجود دارد.
در مورد رویکرد نظریه مجموعه‌ای، پیشنهاد فون نویمان برای فرار از شکل مجموعه‌ایِ پارادکس راسل، انتخاب یک مجموعۀ دو عضوی خاص به عنوان عدد ٢ بود. اما کدام مجموعه؟ در نظریۀ مجموعه‌ها ازمجموعۀ تهی آغاز می‌شود و با عمل‌های مجموعه‌ای، بقیۀ مجموعه‌‌ها ساخته می‌شوند. انتخاب‌های متعددی در اینجا وجود دارد. پیشنهاد فون نویمان برای تعریف عدد ٢، مجموعۀ شامل مجموعۀ تهی و مجموعۀ تک عضوی شامل تهی، بود. این جوابی مناسب است. بر همین اساس، می‌توان همۀ اعداد طبیعی و اعمال روی آنها را تعریف و ویژگی‌های آنها را به کمک اصول نظریۀ مجموعه‌ها ثابت کرد.
اصول نظریۀ مجموعه‌ها در یک فرآیند تاریخی و با مشارکت بسیاری از ریاضیدانان تدوین شده است.البته در این میان، تسرملو نقشی مهم داشته و جمع بندی نهایی آن، به نام تسرملو و فرانکل ثبت شده است: دستگاه اصل موضوعی تسرملو -فرانکل یا ZF . اما مشکل این رویکرد چیست؟ همان طور که بعداً خواهیم دید، بنابر قضیه‌های ناتمامیت گودل ZF، تمام نیست و ضمناً نمی‌تواند سازگاری خود را ثابت کند. اما به اعتقاد برخی، این مطلب اثری ویرانگر بر رویکرد فرگه ندارد، زیرا رهیافت فرگه صورت‌گرایانه نیست. در واقع فرگه، افلاطون‌گرایانه می‌اندیشیده است. از نظر او اعداد واقعاً وجود دارند. تعریف‌های فرگه توصیفی هستند نه سازنده.


#فلسفه_ریاضی
#قسمت_پنجم
#مقاله
#اطلاعات_پایه
#زیبایی_ریاضیات

@Math_jsu

✅مهم ترين و ساده ترين نمودارهاي رياضي رو با رقص و موزيك ياد بگيرين

#طنز
#زنگ_تفریح
#زیبایی_ریاضیات

@Math_jsu

✅دستاورد ایران در المپیاد ریاضی 2017

مقاله شماره ۷ ریاضی

#مقاله
#معرفی_کتاب

علاقه مندان به علم را به کانال دعوت کنید.

@Math_jsu

⭕️ بحران امروز ریاضیات، کم‌اهمیت‌تر از بحران آب نیست!/نیازمند تشکیل اتاق فکر غیرجناحی هستیم


پروفسور زهرا گویا با «تهوع‌آور» توصیف کردن برخی تبلیغاتی که در سطح آموزش عمومی برای ریاضی می‌شود، گفت: یک به اصطلاح همایش ریاضی در یکی از دانشگاه‌ها برگزار شده است و در آن، مدرس با حرکات ناموزون دست‌وپا و شعرهای سخیف، می‌خواسته به دانش‌آموزان، حدگیری و مشتق‌گیری را یاد بدهد! یا یک نفر به کمک رقص بندری، می‌خواسته تابع‌هایی را که مشتق ندارند، معرفی کند! و نظایر این حرکات که موجودیت ریاضی را یکسره، زیر سؤال می‌برد. واقعاً ریاضی در کجا و تا این اندازه، به چنین ابتذالی کشیده شده است؟! 

استاد دانشگاه شهید بهشتی با بیان این‌که «عمومی‌سازی ریاضی به این معنا نیست که از هر ابزار سخیفی استفاده شود تا ریاضی خوشایند جلوه کند»، گفت: اگر دست از سر ریاضی برداریم، ریاضی خودبه خود خوشایند است! لذت درونی که یک دانش‌آموز یا دانشجو از کشف، حل و خلق ریاضی می‌برد، خیلی بیشتر از این حاشیه‌های امروزی شوق‌آفرین است. 

 ریاضی بحثی استراتژیک است و فقط مختص به مدرسه و دانشگاه نیست. ریاضی به دلیل داشتن ارتباط تنگاتنگ با مدل‌سازی، تکنولوژی و تحقیقات بین‌رشته‌ای، زیربنای پیشرفت جامعه‌هاست. ما به این وجه از اهمیت ریاضی، توجه لازم را نکرده‌ایم و تبلیغات مسموم‌کننده نیز آنقدر زیاد است که اصل و ذات ریاضی، گم شده است.

متن کامل :
www.isna.ir/amp/97072212526/

#اطلاعات
#ریاضی

@Math_jsu

✅نام کامل جزوه : روش های انتگرال گیری
نویسنده : محسن کیان

#معرفی_کتاب

@Math_jsu

❗️چرا فلسفه‌های سه‌گانه مشهور ریاضی مهم هستند؟❗️

✅از دیدگاه افلاطون‌گرایانۀ کلی، اصول نظریۀ مجموعه‌ها اگر صادق باشند، که البته ریاضیدانان تا حدود زیادی در مورد این موضوع توافق دارند، نمی‌توانند ناسازگار باشند، زیرا فقط ویژگی‌های مجموعه‌هایی را که وجود دارند، توصیف می‌کنند. البته استفاده از نظریۀ مجموعه‌ها برای ساختن اعداد، فراتر از محدودیت‌های ذاتی روش مورد نظرِ فرگه است. برای مثال، یکی از اصول این نظریه، اصل بی‌نهایت است. پذیرش این اصل، لازمۀ پذیرش وجود مجموعۀ اعداد طبیعی است. آیا منطق صرف می‌تواند وجود چیزی ویژه از نوع نامتناهی را نتیجه دهد؟ آیا این اصلی منطقی است؟ بسیاری این را نمی‌پذیرند.

✔️3.شهودگرایی
براوئر در شهودگرایی، وارث ساختگرایان پیش از خود بود. ساختگرایی تاریخچه‌ای طولانی شامل نام بسیاری از ریاضیدانان بزرگ پیش از براوئر دارد. در میان متأخران، می توان پوانکاره، کرونکر و برل را ذکر کرد. به طور کلی تأکید آن‌ها بر شهود ریاضی، در مقابل منطق و استدلال گام به گام، بوده است. به اعتقاد براوئر، ریاضیات به اصول بدیهی منطقی تحویل نمی‌شود. البته ریاضیات، دانشی قراردادی و دربارۀ بازی با نمادها هم نیست. ریاضیات، محصول تفکر آدمی و خلاقیت ناب او است. ریاضیات، مستقل از زبان است و نوشتن در ریاضیات صرفاً راهی برای انتقال آن به دیگران است.
از دیدگاه فلسفی، شهودگرایی ریشه در فلسفۀ کانت دارد. به اعتقاد کانت، ذهن بشر نقشی فعال در شناخت دارد. دو شاخۀ اصلی ریاضیات، یعنی حساب و هندسه به ترتیب، ریشه در نحوۀ درک ناگزیر ما از زمان و مکان دارند. در مورد آن‌ها، به گونۀ دیگری نمی‌توانیم بیندیشیم. از این دیدگاه، قضیه‌های ریاضی، علی‌رغم این‌که تحلیلی (همان گویی) نیستند، پیشینی (مستقل از تجربۀ حسی) هستند. ایدۀ شهودگرایی بسیار جذاب است. البته این ایده علاوه بر امتیازی که ظاهراً به ریاضیات می‌دهد، محدودیت‌هایی نیز بر آن تحمیل می‌کند. برای مثال، آیا ذهن آدمی می‌تواند بی نهایتِ بالفعل را درک کند؟ چنین به نظر نمی‌آید.
پس باید خود را با بی نهایتِ بالقوه راضی سازیم. اما ریاضیات جدید، پر از بی‌نهایت‌های بالفعل است.

#فلسفه_ریاضی
#قسمت_ششم
#مقاله
#اطلاعات_پایه
#زیبایی_ریاضیات

@Math_jsu

✅نگاهی بر زندگی ریاضیدان هلندی لویتسن اخبرتوس یان براوئر🤷‍♂ و مجادله آن با دوید هیلبرت!


#زیبایی_ریاضیات
#تاریخ_ریاضیات


❗️در اینستگرام مشاهد کنید.❗️

@Math_jsu

ادرس 📷 اینستاگرام: 👇👇👇
instagram.com/Math_jsu

✅یک کلاس، یک میهمانی و حل چند مسئله

مقاله شماره 8

#مقاله
#معرفی_کتاب
#زیبایی_ریاضیات

❗️علاقه‌مندان، معلمان و دانش‌آموزان به ریاضی را به کانال دعوت کنید.

@Math_jsu

✅مهم نیست چقدر پر مشغله‌ ای،
باید زمانی برای کتاب ‌خواندن پیدا کنی
و یا اینکه
خود را در محاصره‌ ی نادانی خواهی دید ...

👤کنفوسیوس

#روز_کتاب_و_کتابخوانی
#ریاضیات
#مناسبتی

@Math_jsu

✅كتاب "معماهای منطق رياضی " با معماهای بسيار جالب

#معرفی_کتاب
#روز_کتاب_و_کتابخوانی

@Math_jsu

با سلام
قابل توجه دانشجویان درس زبان تخصصی دکتر عصاری، استاد فرمودند ۵ صفحه اول فایل بالا رو مطالعه کنید.

#خبری
#زبان_تخصصی

@Math_jsu

✅چطور به میراث «مریم» افتخار کنیم

✔️پروفسور کامران وفا- استاد فیزیک ‌دانشگاه هاروارد: من برای نخستین‌بار نام مریم را از پروفسور شهشهانی، ریاضیدان ایرانی در سال ۱۹۹۹ که از هاروارد بازدید می‌کرد، شنیدم.
پروفسور کامران وفا-

✔️ایشان به‌طور خاص به‌نام مریم اشاره کرد و گفت: انتظار دارم در آینده، او کاری عظیم انجام دهد. او در آن زمان فقط یک دانشجوی مقطع کارشناسی در ایران بود.

✔️اعتقاد راسخ پروفسور شهشهانی به توانایی‌های مریم به یادم ماند تا اینکه یک روز همکار ریاضیدانم جو هریس که در کمیته پذیرش دانشجو در دانشکده ریاضیات بود با من تماس گرفت. او به من گفت مریم میرزاخانی برای گرفتن پذیرش در هاروارد اقدام کرده است. بر مبنای آنچه پروفسور شهشهانی گفته بود قویا توصیه کردم که برای هاروارد پذیرفته شود.

✔️او کار درجه اولی را وقتی‌که دانشجو بود، انجام داد. اثبات حدس ویتن که مربوط به‌نظریه ریسمان می‌شد توجه مرا جلب کرد. ما با یکدیگر در مورد تکنیک‌های او که می‌توانستند برای اثبات حدس‌هایی مشابه که در نظریه ریسمان ظاهر می‌شدند، بحث کردیم. آنچه از این گفت‌وگو به یاد دارم این است که او در بیان کار درخشانش بسیار متواضع بود.

✔️او به‌گونه‌ای صحبت می‌کرد که آنچه انجام داده کار ساده‌ای بوده است. کارهای زیبایش در ریاضیات میراثی است جاودان و حقایق ریاضی برای همیشه خواهند ماند. دستاوردهای او بر فراتر از ریاضیات نیز تأثیرگذار بوده و شاید در مرحله دوم در جهان ریاضی اثر گذاشته است.

✔️وقتی مدال فیلدز که بالاترین نشان در ریاضیات است به او اعطا شد، به‌خاطر شخصیت باحیایش حتی والدینش را هم از این موضوع باخبر نساخت و آنها از طریق رسانه‌ها از این موضوع باخبر شدند. او به آنها گفته بود که کار بزرگی انجام ‌نشده است!
برنده شدن مدال فیلدز توسط مریم یک دستاورد منحصربه‌فرد است؛ نه‌فقط برای اینکه او نخستین زنی بود که بدان دست‌ یافت، بلکه ازآن‌جهت که او یک ایرانی است و این تصور که زنان ایرانی تحصیل نمی‌کنند، درهم‌شکسته شد.

✔️مریم و هم‌نسلی‌های ریاضیدان او در ایران نشان می‌دهند که بار دیگر محققان ایرانی می‌توانند در سطوح عالی علم سهیم باشند. من معتقدم فرصت دادن و فراهم کردن محیطی حمایت‌کننده این امکان را به مردان و زنان در هرکجای جهان که باشند می‌دهد که کارهای درجه یک انجام دهند. علم و دنبال کردن آن یک ماجراجویی بدون مرز بدون محدودیت زمانی و مستقل از جنسیت است.

✔️معتقدم که استعداد و پشتکار او مهم‌ترین دلیل برای موفقیت او بود. او نشان داد که چطور باید روشمند ادامه داد و در مواجهه با سختی‌ها تسلیم نشد.شاید قرار دادن کارهای او در آنچنان مرتبه‌ای متعالی که فقط بتوان آنها را به‌عنوان میراثی غیرقابل‌دسترس تحسین کرد، اشتباهی بزرگ باشد.

✔️بعید می‌دانم که او هم چنین چیزی را خواسته باشد. به‌جای آن من معتقدم که او از ما خواسته است که دستاوردش را کاملا قابل‌ دسترس برای هرکسی صرف‌نظر از جنسیت و مکانش در جهان ببینیم؛ کسانی که مشتاقند با کار سخت باید به این رتبه بالای علمی برسند.

✔️ساختن پژوهشگاهی بین‌المللی برای ریاضیات و دانش‌های بنیادی در ایران می‌تواند راهکاری باشد تا به میراث او افتخار کرد. او راه را باز کرد و اکنون بر ماست که آن را برای نسل‌هایی که می‌آیند هموار کنیم. صرف‌نظر از آنچه طی یک سالی که از درگذشت او می‌گذرد، برای بزرگداشت او انجام دادیم کارهایش در ریاضیات برای همیشه خواهند درخشید.

به نقل از : همشهری آنلاین.

#خبری
#نابغه_ریاضیات

@Math_jsu

✅ کتاب فضاهای برداری متناهی بعد
نویسنده: پال هالموس
ترجمه: کریم صدیقی
انتشارات دانشگاه شیراز

#معرفی_کتاب
#روز_کتاب_و_کتابخوانی

@Math_jsu

✅کریستین گلدباخ (۱۸ مارس ۱۶۹۰ - ۲۰ نوامبر ۱۷۶۴) ریاضی‌دانی آلمانی بود که در کونیگزبرگ بدنیا آمد. وی بواسطه حدس گلدباخ مشهور است.

گلدباخ بواسطه مناظراتی که با اویلر، لایبنیتس و برنولی داشت، مخصوصاً نامه نوشته شده‌اش به لئونارد اویلر در سال ۱۷۴۲ با موضوع حدس گلدباخ، جایگاه برجسته‌ای درنظریه اعداد دارد و قضیه گلدباخ-اویلر با فعالیت‌هایش در زمینه آنالیز ریاضی. او هچنین نتیجه‌ای در باب اعداد فرمااثبات کرد که قضیه گلدباخ خوانده می‌شود.

هنگامیکه در دانشگاه کونیگسبرگ تحصیلاتش را به پایان رساند، سفر علمی طولانی‌ای بین سالهای ۱۷۱۰ و ۱۷۲۴ را شروع کرد و به ایالات دیگر آلمان، انگلستان و هلند رفت. در این میان با دانشمندانی چون لئونارد اویلر، لایبنیتس وبرنولی ملاقات داشت. بعد از بازگشت به کونیگزبرگ باژاکوب هرمن آشنا شد. در سال ۱۷۲۵ مشغول کار در آکادمی علوم سن‌پترزبورگ که تازه تأسیس شده بود، شد. گلدباخ به چندین زبان مسلط بود ــ او یادداشت‌های خود را به زبان‌های آلمانی و لاتین، نامه‌های خود را به آلمانی، لاتین، فرانسوی و ایتالیایی و اسناد رسمی را به روسی، آلمانی و لاتین می‌نوشت.

#تاریخ_ریاضیات
#زیبایی_ریاضیات

@Math_jsu

✅کتاب حل مسئله از طریق مسئله
نوشته لورن سی لارسن
ترجمه علی ساوجی

#معرفی_کتاب
#روز_کتاب_و_کتابخوانی

@Math_jsu

✅حدس گلدباخ

✔️حدس گلدباخ در ریاضیات یکی از قدیمی‌ترین مسائل حل نشده نظریه اعداد است. این حدس می‌گوید:
هر عدد زوج بزرگ‌تر از ۲ را می‌توان به صورت حاصل‌جمع دو عدد اول نوشت.
مثال: ۲۰=۱۷+۳ یا ۱۰=۷+۳ و ۴=۲+۲ و ۱۲=۷+۵.
این مسئله در حدود ۲۶۰ سال پیش توسط یک پزشک آلمانی علاقه مند به اثبات قضیه‌های ریاضی مطرح شد. شهود این پزشک متوجه حقیقت جالبی شده بود و آن هم این بود که هر عدد زوج را می‌توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. (البته عدد یک را به این خاطر از مجموعه اعداد اول کنار گذاشتند که صورت مسئله‌های نظریه اعداد کوتاه تر شود. زیرا اگر این کار را نمی‌کردند بایستی در اکثر صورت مسئله‌های مربوط به اعداد اول می‌نوشتند: «به غیر از یک») اکنون به دلیل همین موضوع عدد ۲ از حدس گلدباخ خارج شده‌است. گلدباخ هم عصر با اویلر بود. پس از تلاش فراوان و نا امید شدن از اثبات این حدس، گلدباخ از اویلر خواست تا مسئله را برایش حل کند. اویلر یکی از برجسته ترین شخصیت‌های ریاضی آن زمان بود. نه اویلر و نه هیچیک از شاگردانش نتوانستند این مسئله را حل کنند. تا اینکه حدود ۶ سال پیش یک موسسه انتشاراتی در انگلستان به نام «تونی سیبر» برای کسی که بتواند این مسئله را حل کند مبلغ یک میلیون دلار جایزه تعیین کرد. این مسئله در عین سادگی صورت آن، هنوز حل نشده تا بتواند به عنوان قضیه مطرح شود.
این حدس توسط کامپیوترهای پیشرفته برای اعداد زوج بسیار بسیار بزرگی تست شده و جالب اینست که تا کنون هیچ مثال نقضی برای آن یافت نشده‌است.
گاهی اوقات فاصله شهود انسان تا لحظه اثبات یک مسئله آنقدر زیاد می‌شود که نسلها می‌آیند و می‌روند ولی همچنان حقیقت درباره مسئله‌ای مانند حدس گلد باخ نامشخص می‌ماند.
شاید حل نشدن این مسئله به این خاطر باشد که با اعداد اول سر و کار دارد. زیرا خود مجموعه اعداد اول نیز ساختار جبری معینی ندارد.
در سال ۱۷۴۲ گلدباخ طی نامه‌ای به اویلر می‌نویسد: ” به نظر می‌رسد که هر دو عدد زوج بزرگ‌تر از ۲ را بتوان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت.” این ادعای گلدباخ به حدس گلدباخ شهرت یافت و در این دو نیم قرن اخیر پایه و موضوع تحقیقات گسترده‌ای شده ‌است. هاردی ریاضیدان برجسته انگلیسی تصریح می‌کند که حدس گلدباخ یکی از دشوارترین مسائل حل نشده ریاضیات است.
✔️حدس گلدباخ:
هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از ۲ را می‌توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت.
محاسبات عددی درستی این حدس را نشان می‌دهند که به طرق متعددی می‌توان اعداد زوج را به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. در سال ۱۹۷۳ چن نشان داد که اعداد زوج به اندازه کافی بزرگ را می‌توان به صورت p+m نوشت که در آن p عددی اول و m عددی اول یا حاصل ضرب دو عدد اول است. گلدباخ حدس ضعیفتری زد که هر عدد فرد بزرگ‌تر از ۷ را می‌توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت. هر چند که این مساله هنوز باز است اما وینوگراف در سال ۱۹۳۷ نشان داد که برای همه اعداد فرد مثبت به اندازه کافی بزرگ این قضیه درست است ولی اندازه کافی را تعریف نکرد. شاگرد آن برودزین اثبات کرد که عدد ۳۱۴۳۴۸۹۰۷ به اندازه کافی بزرگ است (این عدد ۶۸۴۶۱۶۹ رقم دارد!). در سال ۲۰۰۲ دو ریاضی دان این عدد را به حدود کاهش دادند. یعنی اگر برای اعداد کوچکتر از آن درستی قضیه چک شود، اثبات کامل می‌شود ولی این کار از عهده کامپیوترهای فعلی برنمی آید.

#اطلاعات_پایه
#تاریخ_ریاضیات
#زیبایی_ریاضیات

@Math_jsu

✅مستند قصه ریاضی(مجموعه سوم مرزهای فضا)

#قسمت_چهارم
#قصه_ریاضی
#زیبایی_ریاضیات

✔️برای همه دوستانتون، آشناهاتون بفرستید، تا با ریاضیات و زیبایی ریاضی بیشتر آشنا شوند.

@Math_jsu

✅فصل ششم کتاب ریاضیات چیست؟

#اندکی_مطالعه
#‌معرفی_کتاب
#زیبایی_ریاضیات

@Math_jsu

❗️چرا فلسفه‌های سه‌گانه مشهور ریاضی مهم هستند؟❗️


✅اهمیت و نقش اساسی براوئر در فلسفۀ ریاضیات این است که او در جایگاه یک ریاضیدان بزرگ به معنای معمول آن، تلاش کرد تا آنجا که می‌تواند ریاضیات را بر اساس ساختمان‌های ذهنی بازسازی کند. برای مثال، او در ارائۀ تصویری شهودگرایانه از اعداد حقیقی موفق شد؛ هر چند این اعداد، نمایشی متناهی ندارند. البته با این روش، همۀ ریاضیاتِ استاندارد حال حاضر به دست نمی‌آید و ایراد اصلی که به کار او گرفته شده، همین است.
در زمینۀ حساب، براوئر مانند کانت معتقد بود که حساب ریشه در شهود ذهن انسان از زمان دارد و پیشینی است. اما در مورد هندسه، به خلافِ کانت و تحت تأثیر پیدایش هندسه‌های نااقلیدسی، چنین اعتقادی نداشت. در مورد هندسه می‌بایست با تکیه بر تجربه، به انتخاب نوع آن دست زد. با توجه به این عدم قطعیت موجود در هندسه، تعبیر هندسی اعداد حقیقی نیز دچار مشکل می‌شود و نیاز است که با استفاده از مصالحی بنیادی تر در ریاضی ساخته شوند. البته هیچ کدام از روش‌های متداول ساختن اعداد حقیقی در ریاضیات، مانند برش‌های ددکیند یا دنباله‌های کُُشی ، از دید براوئر پذیرفتنی نبودند، زیرا یک عدد حقیقی به شکل یک مجموعۀ نامتناهی بالفعل در نظر گرفته می‌شد. او برای این کار از اشیایی که آنها را دنباله‌های انتخاب نامید، استفاده کرد. دنباله‌های انتخاب متشکل از اعداد گویا هستند و می،توانند بدون هیچ قاعدۀ از پیش تعیین شده، با ارادۀ آزاد ذهن ریاضیدان در گذر زمان ساخته شوند. بی‌قاعده بودن این دنباله‌ها باعث می‌شود که بتوان به کمک آنها همۀ اعداد حقیقی را ساخت.
چون در هیچ لحظۀ مشخصی از زمان، به تمامی جمله‌های این دنباله‌ها دسترسی وجود ندارد، عجیب نیست که تساوی آنها اصطلاحاً تصمیم ناپذیر است. برای توجیه این موضوع، براوئر دنباله‌ای از اعداد گویا را برحسب یک مسئلۀ حل نشدۀ ریاضی به گونه‌ای تعریف کرد که همگرا باشد و حد آن تنها زمانی صفر باشد که آن مسئله صادق است. برای مثال، فرض کنید (A(n این ویژگی باشد که 2n+4 مجموع دو عدد اول است. حدس گلدباخ می‌گوید که به ازای هر A(n) ،n صادق است. حال دنبالۀ {αn} را به شکل زیر تعریف می‌کنیم:
αn=1/2^n (∀k ≤ n) A(k)
αn=1/2^k ~A(k) & k ≤ n & (∀m < k) A(m)

این دنباله از اعداد گویا به روشنی همگرا است و لذا یک عدد حقیقی مانند a را مشخص می‌کند. داریم 0=a اگر و تنها اگر (A(n به ازای هر n برقرار باشد. یعنی تشخیص صفر بودن یا نبودن a بستگی به دانستن جواب حدس گلدباخ دارد که دست کم در حال حاضر جواب آن را نمی‌دانیم. پس اگر مانند براوئر، صدق ترکیب فصلی دو گزاره را منوط به داشتن برهانی برای یکی از آن گزاره ها بدانیم، گزارۀ
a = 0 ∨¬( a = 0)

صادق نخواهد بود. به شیوه‌ای مشابه می‌توان نشان داد که هیچ ترتیب کاملی روی اعداد حقیقی وجود ندارد. آنالیز شهودگرایانه به نتایجی منجر می‌شود که با ریاضیات کلاسیک ناسازگار هستند؛ و قربانی می‌کنند؛ مانند اینکه هر تابع تام روی بازۀ یکه (به طور شهودی تعریف شده)، به طور یکنواخت پیوسته است.
شهودگرایی یک پروژۀ تمام شده نیست، زیرا کار ساخت ریاضیات پایانی ندارد. در واقع هنوز برخی ریاضیدانان به توسعۀ هر چه بیشترِ جبر، آنالیز ریاضی و توپولوژی از دیدگاه شهودگرایانه و به طور کلی‌تر ساختگرایانه، مشغول هستند. هیچ کس نمی‌تواند تضمین کند که ریاضیات معاصر حاوی تناقض نیست و روش‌های آن در بررسی ساختارهای نامتناهی، بی عیب ونقص هستند اما کاربردهای ریاضیات، زیبایی و هماهنگی آن باعث می‌شود که ریاضیدانان از آن دست برندارند. البته اگر لازم باشد، بعضی قسمت‌ها را قربانی می‌کنند، مانند رها کردنِ تصور شهودی از مجموعه‌ها و جانشین کردنِ شکل محدودی از آن در رهیافت اصل موضوعی. این، فرآیندی است که پایانی ندارد.

#فلسفه_ریاضی
#قسمت_هفتم
#مقاله
#اطلاعات_پایه
#زیبایی_ریاضیات


@Math_jsu

✅سرزمین ستاره ها، برادران بنوموسی دانشمندان بلندآوازه ایران زمین

مقاله شماره 9

#مقاله
#معرفی_کتاب
#زیبایی_ریاضیات

❗️علاقه‌مندان، معلمان و دانش‌آموزان به ریاضی را به کانال دعوت کنید.

@Math_jsu

با سلام
❗️قابل توجه دانشجویانی که با استاد برزگری درس مبانی‌آنالیز ریاضی دارند، امتحان میان‌ترم به هفته آینده سه‌شنبه موکول شده است.
با تشکر از استاد برزگری

#خبری

@Math_jsu