یه جمله ای هست بین فوتبالی ها که اگر بخوای یه نفر رو که کمی فوتبال می فهمه، به فوتبال علاقه مندش کنی، چی می گی بهش یا چی نشون می دی؟ حالا هر کس شاید نظری داشته باشه و صحنه ای از یه بازی رو نشون بده که تو خاطرش مونده. خیلی ها شاید به گل دنیس برکمپ به نیوکاسل در سال ۲۰۰۲ اشاره کنند.(خودتون سرچ کنید، ارزش دیدن داره)
حالا تو ریاضی اگر بخواهیم کسی رو سر ذوق بیاریم و علاقه مندش کنیم با استفاده از ریاضیات یا کاربردهاش چی داریم که نشون بدیم و چی رو می کنیم؟
شاید هر کس چیزی بگه یا چند تا چیز.
برای من یکی از اون ها Pick's theorem هست. این قضیه فرمول بدست آوردن مساحت یک چند ضلعی ساده که مختصات رئوسش اعداد صحیح هستند رو ارائه می ده. i تعداد نقاط داخل چند ضلعی و b   تعداد راس ها و نقاط صحیح روی ضلعش هستند.
وقتی شکل کمی پیچیده تر می شه، قضیه قشنگ تر می شه. در شکل بعد i=1 و b=96.

A=1+96/2-1=48

از صفحه ایکس خانم Holly Krieger
استاد ریاضی دانشگاه کمبریج
از شاگردان آقای دکتر رامین تکلو بیغش
در کانال یوتیوب زیر هم فعال هستند:
Numberphile

17 اثبات برای نامتناهی بودن تعداد اعداد اول، یک‌اثبات توپولوژیک هم داره که در اثبات های فایل پیوست نیست‌.
بعضی اثبات ها اینقدر ساده به نظر میاند که آدم فکر می کنه چرا به ذهن خودش نرسیده.

تو صفحه اول مقاله بالا به یک مقاله دیگه ارجاع داده، که در اون تا آپدیت 2017، 183 تا اثبات برای نامتناهی بودن اعداد اول ذکر شده (همه اثبات ها در همون مقاله نیست، ولی مراجع مربوط هست).
یه چیزی به ذهنم رسید: تعداد اثبات ها برای نامتناهی بودن اعداد اول، نامتناهی است.😂

ظاهراً به اون سادگی که فکر می کردم، نیست و بحث متفاوت یا معادل بودن دو اثبات مبحث پیچیده ای هست و به بخش های مختلفی از ریاضیات ارتباط پیدا می کنه.
Proof theory
Homotopy theory
Category theory
عکس بالا از وبلاگ آقای Gowers، که برنده مدال فیلدز هم هستند برداشته شده.

ایشون پروفسور
William Gilbert Strang
هستند، استاد ریاضی دانشگاه MIT، که خرداد امسال آخرین lectureشون در دانشگاه MIT رو برگزار کردند و همه جا به عنوان خبر مهم پخش شد. با عناوینی مثل خفن ترین یا بهترین استاد جبر خطی. کتابشون هم در زمینه جبر خطی خیلی معروف هست. البته بگذریم که در زمینه جبر خطی کتاب ها و lecture های خیلی خوبی نوشته شده، حتی بهتر از کتاب استاد. ولی من به شخصه درک نمی کنم که چرا آدم(منظورم دانشجو) باید همچین فردی رو با این شرایط و سن و سال توی کلاس تحمل کنه، وقتی استاد جوان و میانسال هست و می تونه همون درس رو با کیفیت بهتر و... ارایه کنه. البته لازم به توضیح هست که منظورم توانایی های ذهنی و ریاضی ایشون نیست، که به هر حال برای هر کس متفاوت هست. ولی به شخصه ترجیح می دم یه استاد جوون یا میانسال بیاد سر کلاس و تدریس کنه، تا یه پیرمرد
۹۰ ساله که به زور می تونه حرکت کنه.
به هر حال برای استاد طول عمر و عاقبت به خیری آرزو می کنم.

یک‌ مسأله باز و خیلی معروف در نظریه اعداد هست، که به Goldbach's conjecture
معروف هست. این مسأله به رغم تلاش های زیادی که برای اثباتش شده، هنوز حل نشده.
هر عدد زوج بزرگتر از دو رو می شه به صورت جمع دو عدد اول نوشت. مثلا:
4=2+2
6=3+3
8=5+3
10=7+3
و الی آخر.
اگر این حدس درست باشه، یه اثبات دیگه برای بی نهایت بودن تعداد اعداد اول بر مبنای اون می شه نوشت.

فرض کنید که p آخرین عدد اول باشه، در این صورت 2p+2 یک عدد زوج هست که نمی شه اون رو به صورت جمع دو عدد اول نوشت، که متناقض با Goldbach's theorem می شه.
به نظر من از اثبات اقلیدس هم قشنگ تر و جمع و جورتر هست.

یکی از چیزهایی که در مقایسه ریاضیدانان ایرانی و خارجی در نگاه اول جلب توجه می کنه، فعالیت اون ها، یعنی خارجی ها در اینترنت هست. این فعال نبودن در اینترنت چه در نسل قدیم و چه در نسل جدید ریاضیدان های ایرانی دیده می شه. خیلی از ریاضیدان های برجسته دنیا وبلاگ دارند.(حتی چند تا از فیلدز مدالیست ها). در مورد موضوعات مختلف می نویسند. از نوشتن در مورد دروسی که دارند تدریس می کنند، تا واکنش به اتفاقات مهم ریاضی روز دنیا و حتی نوشتن در مورد مثلا مرگ یک ریاضیدان. شاید به نوعی بشه گفت برجسته ترین ریاضیدان زنده دنیا Terry Tao باشه که از سال 2007 داره در وبلاگش می‌نویسه، به صورت نفس گیر و فعال. ایشون اگر هیچ کاری در ریاضیات نمی کرد و فقط همون وبلاگ رو می نوشت، در حد خودش نقشش رو ایفا کرده بود. واقعا بعضی از مباحثی که در این وبلاگ ها و سایت ها مطرح می شه، ارزش بالایی داره.چند مورد بحث ها و سوالاتی که در math overflow مطرح شده در نهایت منجر به نوشتن مقاله تحقیقاتی شده.
شاید یک دلیلش این باشه، که با توجه به فضای حاکم بر ایران هیچکس حاضر نیست چیزی بنویسه مگر اینکه جایی چاپ بشه! تا امتیاز مربوط به اون هم نصیب فرد نویسنده بشه.

ریاضیدان و فیزیک دان آمریکایی آقای Alan Sokal استاد سابق دانشگاه
New York University
سال 1997 کتابی نوشت،‌‌ با عنوان:
Fashionable Nonsense: Postmodern Intellectuals' Abuse of Science
که به فارسی با عنوان «چرندیات پست مدرن...» ترجمه شده. کتاب شرح سوءاستفاده بسیاری از روشنفکران، روانشناسان و فلاسفه قرن بیستم از مفاهیم ریاضی و فیزیک هست. این افراد این کار رو بیشتر با هدف تحت تاثیر قرار دادن، مجاب کردن و حتی مرعوب کردن مخاطب خودشون انجام دادند. در کتاب مثال های خیلی زیادی از این سوءاستفاده ها آورده شده. در تصویر فقط یک نمونه از استفاده نادرست لاکان روانشناس خیلی مشهور فرانسوی آورده شده. لاکان به خاطر سبک نوشتن و دشوار نویسی اش معروف هست. در ایران هم سال ها طرفداران و هواداران خودش رو داشت و داره هنوز. لاکان رو باید نمونه ای از یک شارلاتان تمام عیار دونست. نمونه های دیگه شامل سوءاستفاده از قضیه گودل، نظریه آشوب و... هست.
خود کتاب به انگلیسی به خاطر گستردگی مفاهیم از رشته های مختلف کمی خوندنش سخت هست. ترجمه فارسی بدون اشکال نیست، ولی تا حدی قابل قبول هست.

#آدم‌ها_و_ریاضیات. فصل ۵. شماره ۳. قدردانی، نه؛ احترام، نه؛ فقط فرصتی برای نفس کشیدن، لطفا. نام: شهریار؛ نام خانوادگی: شهریاری؛ نام پدر: پرویز
https://youtu.be/825kydiPL88

یک فرمول خیلی معروف و مقدماتی در ترکیبیات هست، که به صورت زیر بیان می شه:
C(n,k)=C(n,n-k)
که
C(n,k)= n!/k!(n−k)!
که از فرط بدیهی بودن نیاز به اثبات نداره. کافیه فرمول برای دو طرف نوشته بشه. که ذهنی هم قابل بررسی هست.
اثبات های دیگه ای هم براش هست، مثلا با استفاده از Combinatorial proof،
یعنی خیلی ساده بیایم بگیم تعداد حالات انتخاب k نفر از بین n نفر برابر تعداد حالات انتخاب نکردن n-k نفر از بین n نفر هست.
منتها اثبات جالب دیگه ای هم براش هست،
استفاده از the Künneth Formula
H_k(T^n)=C(n,k)
یعنی با نوشتن اون فرمول برای محاسبه homology groups
n-torus
که البته این کار خودش محاسبات کمی لازم داره!
بعد استفاده از قضیه Poincaré duality
که می گه cohomology مرتبه k و homology مرتبه n-k یک
oriented closed manifold
با هم برابرند. برای مسأله ما می شه:
H_n(T^n)=H^(n-k)(T^n)
ولذا حکم ثابت است.

یکی از عادت های خیلی خوبی که غربی ها از گذشته داشتند، ثبت و مستند کردن اتفاقات و مسائل مختلف و بعد منتقل کردن و در اختیار گذاشتن اون برای دیگران هست. مثال ها زیاد هست. در تصویر بالا بعضی سوالاتی که در جلسه مربوط به آزمون دکتری دانشگاه پرینستون از
Manjul Bhargava
پرسیدند رو می بینید.
Manjul Bhargava
در سال 2014 برنده مدال فیلدز هم شد.
حالا تو جلسه چه کسانی بودند؟
Charles Fefferman
یکی از بزرگترین ریاضیدان های زنده و برنده جایزه فیلدز در سال 1978.
Andrew Wiles
که معرف همه هست و قضیه آخر فرما رو ثابت کرد.
John Conway
که ایشون هم ریاضیدانان بسیار برجسته ای بودند و در زمینه های مختلف در ریاضی تحقیق کردند و در سال 2020 درگذشتند.

حتی در مواردی جزییات شوخی ها، جو حاکم  در جلسه و... بیان شده.

این ها هزاران سال هست، که حرف های ردوبدل شده در جلسات شون رو هم مستند می کنند، حتی در حد Uh oh. و اون رو در اختیار عموم می ذارند، واسه همین تونستند دانش بشر رو ارتقاء بدند.

یکی از کتاب های معروف در زمینه توپولوژی جبری، کتاب Joseph Rotman هست، از سری کتاب های GTM.
کتاب رو تقدیم کرده به همسر و فرزندانش که بدون حضور اون ها نوشتن کتاب دو سال زودتر تموم می شد!

یه موضوعی که چند هفته ای بود می خواستم شروع کنم به یادگیری اش رو دیروز وقت کردم و استارت زدم. از بین کلی کتاب، جزوه و دوره های فارسی (چند میلیونی) و انگلیسی (دلیل اینکه شروع نمی کردم همین حجم زیاد منابع در دسترس بود) اتفاقی یه ویدئویی که از یوتیوب دانلود کرده بودم رو شروع کردم به دیدن. خانمی که از اساتید دانشگاه RIT بودند در بیست دقیقه اینقدر خوب، واضح و دقیق کل ماجرا رو توضیح دادند که تقریبا کلیت موضوع دستم اومد. دیگه می مونه جزییات کار که با خودم هست.
به هر حال برای دقیق شدن و جدی تر خوندن بعضی مطالب شاید لازم باشه به مراجع اصلی رجوع کرد. دیدن ویدئوهای آموزشی درست و حسابی هم خیلی کمک کننده است. یه ابزار آموزشی خیلی خوب که می تونه در همه رده ها به یادگیری کمک کنه.
بهترین منبع هم خود یوتیوب هست. اون هم به انگلیسی ترجیحا.
در ایران به طور کلی استفاده از این منبع خیلی جا نیفتاده (در سال های اخیر کمی بهتر شده، شاید)
در مورد ریاضیات هم کانال های خیلی خیلی خوبی در موضوعات مختلف وجود داره.
یکی از این کانال ها رو اینجا معرفی می کنم. خیلی خوب و به صورت کاملا visual یه سری مفاهیم رو توضیح می ده. اینجا حاصلضرب والیس رو به زبان ساده توضیح می ده که چطوری بدست میاد.
هیچ معلمی در ایران نمی تونه یا حال و حوصله اش رو نداره چنین چیزی بسازه.
اگر بچه ای دوروبرتون هست، نوجوانی هست، جوانی هست، انسان میان سال یا کهنسالی هست، تشویقش کنید به استفاده از یوتیوب (البته در مورد هزینه های احتمالی و یا طریقه دانلود هم توضیح بدید!)
به هر حال اوصیکم به یوتیوب.
https://youtu.be/8GPy_UMV-08?si=TiT5KR9hTaZMSlUj

در دوران دبستان که کوچکتر و بزرگتر رو می خوندیم، همیشه سر علامت های کوچکتر و بزرگتر مشکل داشتم، مثلا می دونستم 6 بزرگتر از 5 هست ولی علامت رو که می خواستم بذارم اشتباه می کردم. کسی هم نبود با یه بیانی یا شیوه ای بیاد و توضیح بده. معلم ها هم که دریغ از کمی خلاقیت یا ابتکار و...
سرچ کردم ببینم کسی این مشکل رو داره هنوز و راه حلی براش پیدا کردند یا نه؟ که این رو دیدم. دهن تمساح با اون دندون های تیزش به سمت عدد بزرگتر باز می شه.
به همین سادگی.

بحث نمادگذاری در ریاضیات شد، یه چیز جالب یادم اومد که در کتاب
Categories for the Working Mathematician
اومده.
نماد خیلی معروف برای نمایش تابع یعنی
f:A→B
برای اولین بار توسط Hurewicz اون هم در سال 1940 و در رابطه با topology سروکله اش ظاهر شده.