تعریف دنباله کشی رو احتمالا همه با اون آشنایی دارند، منتها این تعریف یه تعریف معادل دیگه هم داره که احتمالا خیلی ها ندیدند(خودم هم تازه دیدم)
∀ε>0, ∃n, ∀s≥n |x_s − x_n| < ε
عجیب که کسی هم به اون اشاره نکرده یا من ندیده بودم.
می گند اون تعریفی که معروف تره، شهودی تره.
اینجا در موردش نوشته:
https://math.stackexchange.com/questions/1818520/definition-of-cauchy-sequence

دوستان می گند:
ریاضی در کتاب های درسی بیشتر در سطح ایده های اولیه نوشته شده.
اثبات بالا از کتاب رودین هست که ثابت می کنه عدد رادیکال 2 یه عدد گویا نیست، حتی همین اثبات ساده هم اونقدر سرراست و دقیق نیست که بشه خیلی راحت رسمی سازی کرد اون رو.
چیزهایی در زبان طبیعی پنهان شده که در تعامل دو تا آدم که دارند ریاضی می خونند و با اون زبان با هم حرف می زنند، گفتنش ضرورتی نداره. اما در فرمال سازی باید تکلیفش مشخص بشه. چرا در اثبات بالا می تونیم m و n رو طوری انتخاب کنیم که زوج نباشند؟ چرا چیزی اگه زوج نباشه به شکل 2k+1 می شه؟
ظاهرا باید هی و هی همه چیز رو decompose کرد و میزان جزئیات این کار بستگی به این داره که چه چیزهایی از قبل وجود داره و Solver چقدر پیشرفته هست.

«هیچ‌کس نمی‌تواند ما را از بهشتی که کانتور برایمان ساخته، بیرون براند».

/دیوید هیلبرت


«من هرگز به فکر بیرون راندن کسی از این بهشت نمی‌افتم. کاری که می‌کنم متفاوت است: سعی می‌کنم به شما نشان دهم که این بهشت نیست _ تا هر کس بخواهد، داوطلبانه خودش کنار بکشد و از آن بیرون رود. می‌گویم: خوش آمدید؛ اما فقط اطرافتان را نگاهی بیندازید… (اگر یکی می‌تواند آن را بهشت ببیند، دیگری چرا نتواند آن را شوخی بداند؟»

ویتگنشتاین/ درس‌گفتارهای ویتگنشتاین در باب بنیادهای ریاضیات 1939. P 103

جناب تائو می گه مهمترین مزیت AI در ریاضیات مربوط به حل مسائل خیلی سخت نیست، بلکه استفاده از اون ها در حل مسائل زمان بر هست. می گه در این حالت خروجی یه AI همون چیزیه که یه انسان هم می تونه انجام بده ولی با صرف زمان بیشتر، ولی خود این نکته نقص نیست، یه مزیته، چون قابل بررسی توسط انسان هست.
می گه نمونه اش literature review هست، وقتی روی یه مساله معروف کار می کنی، مرور ادبیات سخت نیست، خود پژوهشگر می تونه کارو پیش ببره، ولی وقتی مساله منابع کم و یا پراکنده ای داره، پیدا کردن منابع سخت و طاقت فرسا است.
یه مثال می زنه در مورد سایت
https://www.erdosproblems.com/
می گه بالای هزارتا مساله از اردوش توش هست که حدود ۶۰۰ تا حل نشده است، بعضی هاش خیلی معروف اند و بعضی ها گمنام. با کمک هوش مصنوعی تونستند جواب های این سوالات رو با جستجو در ادبیات موجود پیدا کنند(دقت کنید اینجا AI خودش چیزی حل نکرده، مرور ادبیات انجام داده و گزارش داده: این چیزایی که می گید open، قبلا اصلا حل شده)
https://www.erdosproblems.com/339
https://www.erdosproblems.com/1043
https://www.erdosproblems.com/494
https://www.erdosproblems.com/621
https://www.erdosproblems.com/822
https://www.erdosproblems.com/903

می گه اگر از انسان بخوایم این چیزا رو جستجو کنه معمولا درست و درمون گزارشات منفی رو بیان نمی کنه، یعنی اینکه بیاد بگه چیزی پیدا نشد(از ترس اینکه بعدا پیدا بشه و ضایع بشه)
https://mathstodon.xyz/@tao/115385022005130505

این واژه ها توی اثبات و استدلال استفاده می شند و انتخاب هر کدوم موضع نویسنده رو نشون می ده: ۱.دقیق و رسمی، ۲.بی طرفانه و ۳.مبهم و حتی مغرضانه!

معروفه که توی یه مقاله ای نویسنده وقتی داشته یه سری انتگرال رو محاسبه می کرده، می نویسه: انتگرال های قهرمانانه یا طاقت فرسا یا همچین چیزی. اشاره به سختی محاسباتی که داشته انجام می داده(اصطلاحی که به کار بردنش خیلی هم معمول نیست در مقالات)
چند سال بعد که داشته به همون انتگرال ها ارجاع می داده و ازشون استفاده می کرده می نویسه: "می بینیم که" یا "داریم".

در اینجا OC یعنی محتوای اصیل.
معروفه که می خواسته یه عدد اول مثال بزنه، گفته بوده: ۵۷.

مرگ یک توپولوژیست
ظاهرا آقای
Andrew Casson
دار فانی رو وداع گفته. زمینه کاری اش
geometric topology
بود، هیچ وقت رساله دکتراش رو تموم نکرد.
در زمینه
high-dimensional
منیفلدها و همین طور منیفلدهای ۳ و ۴ بعدی کار کرده بود. کارهاش نقش اساسی در اثبات حدس پوانکاره در بعد ۴ داشت.
یه invariant هم به نامش هست به اسم
Casson invariant.

به صورت رسمی جایی منتشر نشده البته و عنوانش هم می گه اثبات دقیق ریاضی نیست.
بیشتر شبیه فیلم های علمی تخیلی می مونه، حتی اسم نویسنده ها!
https://fermatslibrary.com/p/4ceb2280

Every position of Rubik's cube can be solved in at most 20 half-turn moves. Moreover there are positions for which 19 moves is not enough.

#پیام_موقت
🖤 انّا للّه و انّا الیه راجعون🖤
«بازگشت همه به سوی اوست»

درگذشت تاسف‌بار استاد گرانقدر، آقای دکتر ناصر بروجردیان را به جامعه دانشگاهی، خصوصا اساتید و دانشجویان دانشکده ریاضی و علوم کامپیوتر دانشگاه صنعتی امیرکبیر تسلیت عرض نموده، و از خداوند متعال، علو درجات برای آن مرحوم و صبر و شکیبایی برای خانواده محترم ایشان مسألت می‌نماییم.
برای شادی روح آن مرحوم، فاتحه‌ای قرائت بفرمایید.

یه خواننده آمریکایی توی سال ۱۹۹۴، اسم خودش رو می ذاره: ۵۰ سنت.
حالا این وب سایت گفته اگر بخوایم اثر تورم رو در نظر بگیریم اسمش باید بشه ۱۰۹ سنت!
حالا به زبون دیگه و ساده تر بخوایم بگیم توی سی سال گذشته قیمت ها در آمریکا تقریبا دوبرابر شده، البته دقت کنید که این اتفاق به تدریج افتاده و اگر از اون فرمول معروف که همه مون می دونیم استفاده کنیم، در هر سال قیمت ها ۲.۵ درصد رفته بالا.
این رو دیدم، رفت رو اعصابم، گفتم با شما هم share کنم.

https://50centadjustedforinflation.com/

این کتاب در نظریه اعداد کتاب خوبیه، آقای
Michael Penn
هم اون رو توصیه کرده.
البته که سطحش جاهایی از سطح اون چیزی که در کارشناسی خونده می شه می ره بالاتر.

یه بار یکی از استادهای ایرانی توی یادداشتی نوشته بود که من فقط ریاضی خوندم، اصلا به فکر سلامتی خودم نبودم، تغذیه درست نداشتم، اضافه وزن دارم، کسی نبود به ما بگه این چیزا رو و از این حرفا.
در مورد آقای Penn سرچ می کردم یاد این حرف افتادم(تصویر هم عکس آقای Penn هست).
هر چند ایشون(منظور استاد مربوط) با توجه به تحصیلاتش و محیط هایی که بوده قطعا نمونه های خوبی دوروبرش بوده.
پ ن: تا حالا هر وقت نوشتم یه استاد ایرانی، منظورم یه نفر بوده(شاید جز یکی دو مورد)

صفحه ویکی پدیای خانم Wolf که ریاضیدان هستند و شاگرد آقای گاورز بودند.
ملت رفتند عکس یه ولف دیگه رو آپلود کردند.
https://www.juliawolf.org/

ایشون هستند، فکر کنم یه بار جایی اشاره کرده بودند که اون سایت رو هم خودشون راه اندازی کردند.

دنباله فیبوناچی در 1/89