Projective geometry

خرق عادت، خلاف آمد عادت یا
Thinking outside the box
یا هر چیزی اسمش رو بذاریم، در ریاضی زیاد اتفاق افتاده.
به نظرم یکی از شاخص ترین ها گالوا بود. همه دنبال این بودند که معادله رو حل کنند، گالوا گفت جور دیگه ای نگاه کنیم. ریشه ها رو جابه جا کنیم و ببینیم که چه تاثیری روی روابط بین ریشه ها می ذاره. راه حل همیشه نه در محاسبه مستقیم بلکه در درک الگوها و روابط پنهان هست.
ریاضیدان بزرگ
Hermann Weyl
در مورد اون نامه آخر گالوا جمله ای داره که می گه:

این نامه، اگر با توجه به نوآوری و عمق ایده‌هایی که در آن وجود دارد قضاوت شود، شاید مهم‌ترین نوشته در کل ادبیات بشر باشد.



بخش دوم - معیارهای تصمیم گیری
مساله بعد sorting هست.
می گند
Danny Hillis
کارآفرین و CS کار آمریکایی زمانی که دانشجوی MIT بود از جوراب های یکی از هم اتاقی هاش وحشت داشت. مساله بهداشت یا بوی جوراب ها نبود. لنگه جورابی رو از سبد در میاورد و بعد اگر لنگه جوراب دومی با اولی یکی نبود جفت شون رو می انداخت در سبد! و این فرآیند رو اونقدر ادامه می داد تا دو تا لنگه جوراب یکسان بشند. این کار کافی بود تا هر دانشجوی CS ایی رو فراری بده.
می گند تعداد موضوعات مورد بررسی در سرشماری آمریکا در سال ۱۸۸۰ به دویست مورد رسیده بود و جمع آوری داده هاش ۸ سال طول کشید! در اون زمان
Herman Hollerith
سیستم کارت های سوراخ دار رو راه انداخت و ماشینی برای شمارش و مرتب سازی اون ها. دولت آمریکا از ماشینش برای سرشماری سال ۱۸۹۰ استفاده کرد. شرکتی که تاسیس کرد بعدها به IBM تغییر نام داد.
می گند در دهه ۱۹۶۰ یک چهارم منابع محاسباتی صرف مرتب سازی می شده. تقریبا دست به هر کاری می زدند نیاز به مرتب سازی داشتند.
توی زندگی واقعی چطور؟ در زندگی روزمره خودمون؟ در انتخاب های روزانه مون؟ همیشه نیاز به مرتب سازی داریم؟ یه جواب سرراست به این سوال نه هست.
مثلا کتاب خونه شخصی اگر تعداد کتاب ها خیلی نباشه خیلی شاید به صرفه نباشه که اون رو مرتب کنیم. مرتب کردن ایمیل ها از نظر خیلی از مهندس ها وقت تلف کردنه و سرچ اون ها کار راه اندازتر.
گاهی بی نظمی بهینه است‌ و مرتب سازی رو بهتر هست بذاریم کنار.

چقدر احتمال داشته که چهار تا بزرگسال فیلم تنها در خانه خواب بمونند و ساعت ۸ بلند نشند؟ از داده های خواب بزرگسالان توی آمریکا استفاده کرده و توزیع رو نرمال در نظر گرفته با میانگین: ۷.۶ و انحراف معیار ۱.۶.
احتمالش تقریبا صفر می شه، معادل یک در ۷۵۰ شب.
فیلم رو بر مبنای همین احتمال ساختند.

مساله به مناسبت روز کریسمس
برای این
donut Christmas tree
مقدار genus اش رو حساب کنید.

یه نکته جالبی که در مورد فرضیه ریمان وجود داره اینه که هیلبرت فکر می کرده که یکی از آسون ترین مساله ها توی لیستش هست. به مرور زمان تصور ریاضیدان ها نسبت به سختی این مساله عوض شده. تائو درباره این مساله گفته: برای بعضی مسائل ابزار لازم وجود نداره، مهم نیست چقدر باهوش یا سریع باشی.
حل مساله ریمان، احتمالا در زمان زندگی هیچ کدوم از ماها رخ نده.

وقتی اردوش توی جنگل مساله ها گم می شه!
اردوش یه مساله ای مطرح می کنه و توی یه مقاله نشون می ده که جواب منفی هست. دوباره چند سال بعد ورژنی از همون مساله رو مطرح می کنه و یادش نبوده که مساله رو حل کرده.
اتفاق مشابهی برای
James Maynard
رخ داده بوده. ریاضیدان برجسته و فیلدز مدالیست.
به عنوان اولین مساله دوره دکتری اش استادش مساله ای رو بهش می ده‌ جیمز مساله رو حل می کنه و بعدا استادش یادش میاد که ده سال قبل مساله رو به یکی دیگه داده بوده و کم و بیش با همون روش به همون نتیجه رسیده بوده!

تراس تائو!
یه جا اشاره کرده که دست خطش در دوران ابتدایی اون قدر بد بوده که مجبور شدند ببرندش تراپی. بعدا اکی شده.

پژوهش‌های آماری انجام‌شده بر روی پیشینه تحصیلی اعضای گروه‌های تندرو نظیر داعش، نتایج تامل‌برانگیزی را نشان می‌دهد.
داده‌ها نشان می‌دهند که برخلاف تصور عمومی، بخش قابل‌توجهی از این افراد، تحصیل‌کرده‌های دانشگاهی هستند. اما نکته جالب در رشته‌های تحصیلی آن‌هاست: اکثریت قاطع این افراد از فارغ‌التحصیلان رشته‌های مهندسی، پزشکی و علوم پایه بوده‌اند و حضور فارغ‌التحصیلان علوم انسانی در میان آن‌ها بسیار اندک است.


چند سال پیش هم یه تحقیقی در آمریکا انجام شده بود در مورد رشته تحصیلی سیاست مدارها در خاورمیانه و آمریکا.
اونجا علوم سیاسی، فلسفه، حقوق و اقتصاد و در خاورمیانه علوم پایه، مهندسی و پزشکی.

اثبات بدون کلام

طرف این رو گذاشته و از اینکه سه شهر بزرگ آلمان روی یه دایره قرار می گیره چنان دچار شعف و شگفتی شده که فکر می کنه بزرگ ترین کشف قرن رو تا اینجا کرده.
یه قضیه ساده تو هندسه است:
هر سه نقطه غیر هم خط روی یه دایره قرار می گیره.

🔷 Flexagon

▪️سال ۱۹۳۹. آرتور استونِ ۲۳ ساله به‌تازگی، برای دورهٔ تحصیلات تکمیلی ریاضیات در دانشگاه پرینستون، از انگلستان به آمریکا رفته بود. همه‌چیز از یک اتفاق ساده شروع شد: برگه‌های کلاسور آمریکایی کمی درازتر از برگه‌های کلاسور انگلیسی بودند و استون برای این‌که این برگه‌ها را در کلاسورش جای دهد ناچار بود باریکه‌ای در حدود یک اینچ از پایین ‌آن‌ها ببُرَد.

خب، با این باریکه‌های کاغذی چه‌کار باید می‌کرد؟ می‌توانست آن‌ها را دور بیندازد. ولی استون به‌جای این کار شروع کرد به بازی کردن با آن‌ها. با تا کردن باریکه‌ها شکل‌های متنوعی می‌ساخت. یک بار یک شش‌ضلعی ساخت که به جای دو وجه، سه وجه داشت و با خم کردن و باز کردن آن وجه پنهان سوم آشکار می‌شد. به‌همین سادگی اولین flexagon یا flexible polygon (چندضلعی خم‌پذیر) کشف شده بود. اسم این شش‌ضلعیِ خم‌پذیرِ سه‌وجهی را گذاشت trihexaflexagon یا tri-hexa-flexagon و همان شب به ساختار و نحوهٔ عملکردش فکر کرد. فردای آن روز مطمئن شده بود که شش‌ضلعی‌هایی با بیشتر از سه وجه هم می‌شود ساخت. (ویدئوی کوتاهی از این شش‌ضلعی و تصویر الگوی ساخت آن را در این‌جا ببینید.)

کشف‌اش را با دوستانش در میان گذاشت. به‌سرعت کمیته‌ای تشکیل دادند به اسم کمیتهٔ فلکساگون و بحث درمورد چند‌ضلعی‌های خم‌پذیر به گفت‌وگوهای هرروزه‌ٔ سر ناهارشان تبدیل شد. اعضای دیگر کمیته عبارت بودند از برایانت تاکرمن، ریچارد فاینمن و جان توکی که هر کدام بعداً دانشمند بزرگی در حوزهٔ کاری خود شد. اعضای این کمیته تا یک سال بعد نظریه‌ای برای چندضلعی‌های خم‌پذیر پرداختند. این نظریه هیچ‌گاه منتشر نشد و کمی بعد رویدادهای جنگ جهانی دوم اعضای کمیته را از هم پراکند.

▪️سال ۱۹۵۶. مارتین گاردنر مقاله‌ای برای مجلهٔ ساینتیفیک آمریکن نوشت [1] و در آن چند‌ضلعی‌های خم‌پذیر را به مخاطبان مجله معرفی کرد. این شماره از مجله چنان مورد توجه قرار گرفت که سردبیر مجله از مارتین گاردنر دعوت کرد ستون ثابت ماهانه‌‌ای در ساینتیفیک آمریکن داشته باشد. این ستون، به اسم «بازی‌های ریاضی»، تا دههٔ ۱۹۸۰ در این مجله ادامه داشت. انجمن ریاضی آمریکا مجموعهٔ این ستون‌ها را در قالب ۱۵ جلد کتاب منتشر کرده است [2].

▪️امروزه مقالات و کتاب‌های فراوانی دربارهٔ چند‌ضلعی‌های خم‌پذیر یافت می‌شود. به‌عنوان نمونه مرجع [3] را ببینید. این کتاب شامل الگوهای ساخت و شکل‌های زیبای رنگی از چندضلعی‌های خم‌پذیر و فصل‌هایی دربارهٔ ساختار ریاضی آن‌هاست. وبسایتی هم دارد که همهٔ الگوهای ساخت معرفی‌شده در کتاب را می‌توان به‌راحتی از آن برداشت و چاپ کرد [4].

▫️بازی‌ها، پرسش‌ها و کنجکاوی‌های ساده را دست‌کم نگیریم. اگر آرتور استون در سال ۱۹۳۹ باریکه‌های کاغذش را دور ریخته بود شاید امروز چندضلعی‌های خم‌پذیر و مطالعات ریاضی مرتبط با آن‌ها وجود نداشتند.

ـــــــــــــــــــــــــــــــ
[1] Martin Gardner, "Flexagons". Scientific American. 195, no. 6. pp. 162–168 (1956).
[2] Martin Gardner’s Mathematical Games: The Entire Collection of his Scientific American  Columns (AMS 2020).
[3] Scott Sherman, Yossi Elran, Ann Schwartz, "The Secret World of Flexagons: Fascinating Folded Paper Puzzles", (CRC Press 2025).
[4] https://loki3.github.io/flex/templates.html

@k1samani_channel

ما حق سیگاری‌ها برای مصرف تنباکو و آلاینده‌های آن را انکار نمی‌کنیم، اما این حق، آن‌جایی پایان می‌یابد که بینی‌ها، رگ‌ها و ریه‌های دیگران آغاز می‌شود.

در زمان ما سیگار کشیدن در داخل ساختمان های دانشگاه و گاهی حتی محوطه دانشگاه توسط اساتید و دانشجوها ممنوع هست. کاری که نیم قرن پیش کاملا عادی بود و استاد و دانشجو در فضای بسته و حتی سر کلاس هم سیگار می کشیدند(گاهی استادها بیشتر از اینکه گچ دستشون باشه، سیگار دستشون بود) خیلی جاها تابلوی سیگار ممنوع رو زده بودند ولی کسی رعایت نمی کرد. بعدها فشار آوردند که سیگار کشیدن رو در کلاس ها ممنوع کنند، مخصوصا که تحقیقات نشون می داد مضرات دود سیگار برای
second-hand smoke
می تونه بیشتر هم باشه.
بعضی جاها دو تا طرح دادند:
۱. کلا کشیدن سیگار ممنوع
۲. در هر ترم دانشجوها در مورد هر کلاسی که دارند در این مورد تصمیم بگیرند.
اولی رای آورد و به ترتیب و طی سال های بعد این ممنوعیت سراسری شد.
عکس هم آقای سیدنی کولمن از چهره های تاثیرگذار فیزیک نظری در قرن گذشته که هم دانشمند برجسته ای بود و هم معلمی افسانه ای.
عکس دوم هم کلاس درسی در سال ۱۹۴۳ با دانشجویانی سیگار در دست.

گرفتن نوبل در فیزیک، شیمی و پزشکی دیگه در سن پایین خیلی سخت شده. داره می ره به سمت ۱۰۰ سالگی!
از اون طرف جایزه صلح نوبل که مسخره ترین و سیاسی ترین جایزه نوبل هست هی سن برنده شدنش داره میاد پایین.

نامه پدر انیشتین در دوره ای که پسرش کار پیدا نمی کرد و تقاضا برای اینکه کاری برای پسرش پیدا کنه.
خود این فرد بعدا نوبل شیمی گرفت و جز کسانی بود که برای دریافت جایزه نوبل به انیشتین رای داد.

Theorem. (Doyle–Conway)
If there is a bijection between 3×A
and 3×B, then there is a bijection between A and B.

تولد جان کانوی هست. این قضیه که خیلی هم بدیهی نیست یکی از کارهای کانوی هست. این قضیه توی ZF هم برقراره، یعنی نیازی به اصل انتخاب نیست.
کانوی ریاضیدانی بوده که تقریبا در بیشتر زمینه ها حضور داشته. نظریه اعداد، جبر، آنالیز، نظریه گروه ها، فیزیک نظری و کار در زمینه الگوریتم ها.
توی ۱۱ سالگی شغلش رو انتخاب کرده بود، می خواست ریاضیدان بشه. در دوران نوجوانی به شدت درون گرا بود، ریاضیات کمکش کرد که برون گرا بشه. بعدها بهش لقب کاریزماتیک ترین ریاضیدان جهان رو دادند.

ظاهرا تارسکی و دیگرانی هم در مورد این قضیه کارهایی کرده بودند(حتی برای هر n و نه فقط n=3).
https://arxiv.org/abs/math/0605779

جان فون نویمان درمورد گودل گفته بود: کاملا بی بدیل و در طبقه ای کاملا جدا.
همین طور در توصیف قضیه ناتمامیت گفته بود: یگانه و عظیم، منطق پس از آن هرگز همان علم پیشین نخواهد بود.
فون نویمان در تحسین گودل تنها نبود. تورینگ هم در جوانی در سال ۱۹۳۶ به دیدار گودل رفته بود تا درباره صورت‌بندی عظیم خودش از نتیجه ناتمامیت گودل، که محدودیت‌های اثبات و محاسبه را نشان می‌داد با گودل گفتگو کند.
انیشتین هم گفته بود به این دلیل به موسسه می ره که افتخار قدم زدن و هم صحبتی با گودل رو داشته باشه.
تحسین گودل فقط محدود به این بزرگان و نوابغ نمی شه و خیلی ها همیشه سعی کردند با اشاره به کارهای گودل اعتباری به گفته های خودشون بدند و یا خودشون رو تا حدی از بقیه متمایز کنند، برای بعضی شخصیت ها در ویکی پدیا یه بخشی هست با عنوان
In popular culture
یا همچین چیزی و عجیب هست که برای گودل این بخش وجود نداره.
به نظرم یه مقاله مبسوط در مورد گودل کسی باید بنویسه با این عنوان که: گودل چه نمی گوید!

در سال ۱۹۷۴ وقتی توسط جرالد فورد برای دریافت جایزه ملی علوم دعوت شد، نرفت، چون فکر می کرد در طول مسیر دچار بیماری می شه. در تمام عمر دچار خودبیمار انگاری بود. به طور روزانه دمای بدنش رو اندازه می گرفت، داروهای قلبی مصرف می کرد و کلی دارو برای بیماری هایی مصرف می کرد که اصلا به اون مبتلا نبود: روده، کلیه و مثانه و....
مرگش هم خاص و همراه نوعی طنز بود: از ترس وسواس گونه ای که از مسموم شدن داشت نتونست از منطق درونی بدگمانی که به اون گرفتار بود فرار کنه.

این مساله هم قبلا حل شده بود و هوش مصنوعی دوباره حلش کرده.
یکی متوجه شده و به این موضوع اشاره می کنه.
چیزی که برای من جالبه حضور تائو توی همه این بحث ها است. رفته اینجا هم کامنت گذاشته. کامنت هایی که تائو می ذاره، بقیه مقاله اش می کنند!
قبلا هم این اتفاق افتاده بود. به لحاظ حال گیری:
انسان 2 - هوش مصنوعی 0.
https://www.erdosproblems.com/forum/thread/897#post-2445

این سایت هم جالبه، تقریبا همه مقالات اردوش رو از سال ۱۹۲۹ جمع کرده یه جا.
https://users.renyi.hu/~p_erdos/Erdos.html