Задача 6:
Автор - GeoGen, Ким Пётр

В треугольнике ABC вписанная окружность с центром I касается стороны AC в точке D. Внешняя биссектриса угла A пересекает BD в точке E, а внешняя биссектриса угла C - в точке F. M - середина CI. FM пересекает BI в точке K.
Доказать, что окружности BCK и ADE касаются.

Задача 7:
Автор - GeoGen, Чуев Савва

Дан треугольник ABC с прямым углом A, I - его инцентр. Точки X и Y выбраны на лучах BA и CA соответственно так, что BX = CY = (BA + CA)/2. I' - точка, симметричная I относительно прямой BC, H - ортоцентр треугольника BIC. Под каким углом виден отрезок XY из точки M, если M - середина отрезка I'H?

Задача 8:
Автор - GeoGen, Ким Пётр

В треугольнике ABC вписанная окружность с центром в I касается AC в точке D. Прямая BD пересекает внешние биссектрисы углов A и С в точках E и F соответственно. F' - отражение F относительно С. IF' пересекает BD в точке G. Доказать, что описанные окружности треугольников FEF' и IDG касаются.

Задача 9:
Автор - GeoGen, Пучков Пётр

Дан треугольник ABC. Его биссектрисы BD и CE пересекаются в точке I. Описанная окружность треугольника ABC пересекает прямую CE в точках C и W, а описанная окружность треугольника AEW пересекает прямую DE в точках E и F. Докажите, что точки B, I, E, F лежат на одной окружности.

Задача 10:
Автор - GeoGen, Чуев Савва

Дан треугольник ABC. В нём O, H, M - центр описанной окружности, ортоцентр, середина стороны BC соответственно. D и E - проекции M на AB и AC соответственно. P - точка пересечения прямых BE и CD. Докажите, что:

a) AO || HP.

b) точки P, Q, A лежат на одной прямой, где Q - точка пересечения прямых DE и HM.

Задача 11:
Автор - GeoGen, Чуев Савва

Дан треугольник ABC, а I - его инцентр. H - проекция точки C на внешнюю биссектрису угла B. Прямая HI пересекает описанную окружность треугольника AIC в точках I и D. Докажите, что описанные окружности треугольников AIB и DCH касаются.

Задача 12:
Автор - Чуев Савва

Дан треугольник ABC. На прямой, проходящей через точку A и параллельной BC, выбраны такие точки X и Y, что BA = BX и CA = CY. M и N - середины отрезков AB и AC соответственно. Прямые XM и YN пересекаются в точке P. Докажите, что углы XZY и BZC равны.

Задача 13:
Автор - GeoGen, Чуев Савва

AM - медиана в треугольнике ABC. Ib, Ic - центры вписанных окружностей треугольников ABM и ACM соответственно. Прямые BIc и CIb пересекаются в точке P. Докажите, что PM || AD, где D - точка касания вписанной окружности треугольника ABC с его стороной BC.

Задача 14:
Автор - GeoGen, Ким Пётр

В треугольнике ABC I - центр вписанной окружности, касающейся стороны AC в точке D. M - середина дуги ABC окружности ABC. MI вторично пересекает описанную окружность треугольника AIC в точке K. ID вторично пересекает окружность BDC в точке L. AM пересекает CL в точке N.
Доказать, что окружность (BCK) касается (MNL).

Задача 15:
Автор - GeoGen, Пучков Пётр

Дан треугольник ABC, AM - его медиана. Описанная окружность треугольника AMB пересекает биссектрису угла AMB в точках M и X. Описанная окружность треугольника AMC пересекает биссектрису угла AMC в точках M и Y. Докажите, что прямые XY и AM перпендикулярны.

Задача 16:
Автор - GeoGen, Чуев Савва, Пучков Пëтр

ABC - равнобедренный треугольник с основанием AB. Точки D и E на AC и BC соответственно таковы, что DE перпендикулярно AB.
Докажите, что точка пересечения BD и AE лежит на радикальной оси окружностей (ABC) и (DCE)

Задача 17:
Автор - GeoGen, Ким Пётр

Дан гармонический четырёхугольник ABCD. Касательные к его описанной окружности w в точках B и D пересекаются в точке E. На отрезке BD выбрана точка K, а на дуге BCD точка L такая, что угол BAK равен углу DAL. Окружность (EKС) пересекает вторично прямую AK в точке P.
Доказать, что окружность (EPL) проходит через 2 точки, не зависящие от выбора точек K и L.

Задача 18:
Автор - GeoGen, Пучков Пëтр

I - центр вписанной окружности треугольника ABC, D, E, F - точки касания этой окружности со сторонами BC, AC, AB соответственно. T - вторая точка пересечения окружностей (EAF) и (ABC). O - центр (ABC).
Докажите, что точка пересечения OT и DI лежит на средней линии треугольника ABC

Задача 19:
Автор - GeoGen, Пучков Пётр

Вписанная окружность треугольника ABC с центром в I касается его стороны BC в точке D. Точка E такова, что EAID - параллелограмм, M - середина BC. Описанная окружность треугольника AEM пересекакт прямую AD в точках A и H.
Докажите, что угол IHM - прямой.

Задача 20:
Автор - Чуев Савва

В треугольнике ABC на высоте, опущенной из A, выбрана точка P, а Q - изогонально сопряженная к ней. X и Y - проекции точки Q на прямые AC и AB соответственно.
Докажите, что прямые, проходящие через B и C, а также перпендикулярные XP и YP соответственно, пересекаются на прямой AP.

Комментарий:
Эта задача является обобщением задачи из паблика "Олимпиадная геометрия", выложенной 28го августа.

Задача 21:
Автор - GeoGen, Забазнов Григорий*

В треугольнике ABC H - ортоцентр. Окружность w1, построенная на AH как на диаметре пересекает описанную окружность ABC w в точке P. M - середина BC. На w1 и w соответственно выбраны точки K и L так, что углы CAK и BAL равны.
Доказать, что четырёхугольник PKLM - вписанный.

Задача 22:
Автор - GeoGen, Чуев Савва

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. T - ортоцентр треугольника BOC.
Докажите, что точка Лемуана треугольника ABC лежит на радикальной оси описанных окружностей треугольников BOC и AOT.

Задача 23:
Автор - GeoGen, Чуев Савва

В треугольнике ABC отмечены точки H и O - ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Прямая AH пересекает (ABC) в точках A и D. O' - центр (BOC).
Докажите, что точка пересечения прямых OH и O'D лежит на радикальной оси окружностей (ABC) и (AOH).

Задача 24:
Автор - Игнатьев Даниил
Источник - Южный математический турнир 2023

Пусть в треугольнике ABC вписанная окружность касается сторон BC и AC в точках A1 и B1 соответственно. Точки A2 и B2 - диаметрально противоположны точкам A1 и B1 на вписанной окружности.
Докажите, что центр окружности (AA2B1) лежит на (ABC) тогда и только тогда, когда центр окружности (BB2A1) лежит на (ABC).

Задача 25:
Автор - Терёшин Александр
Источник - Южный математический турнир 2023

Пусть точка A1 — середина меньшей дуги BC описанной около остроугольного треугольника ABC окружности. Точку A1 отразили относительно стороны BC, а затем её образ отразили относительно биссектрисы угла BAC и получили точку A2. Аналогично получили точки B2 и C2.
Докажите, что прямая Эйлера треугольника A2B2C2 проходит через центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

Задача 26:
Автор - Ким Пётр
Источник - Южный математический турнир 2023

Точка S вне описанной окружности w вписанного четырёхугольника ABCD такова, что (AS+BS)/AB = (CS+DS)/CD. Доказать, что существует окружность, касающаяся AB, CD, окружностей ASB, CSD.