قضیه اول ناتمامیت گودل

قضیهٔ اول ناتمامیت گودل، شاید مشهورترین نتیجه در منطق ریاضیات باشد، که بیان می‌کند:
فرض کنید K یک نظریه در حساب باشد که قضایای اصلی حساب در آن اثبات شوند. در این صورت اگر K سازگار باشد، جمله‌ای مانند G وجود خواهد داشت به قسمی که:الف) اگر K نظریه‌ای سازگار باشد G در K اثبات پذیر نیست.ب) اگر K نظریه‌ای ω ـ سازگار باشد نقیض G در K اثبات پذیر نیست.بنابراین اگرK نظریه‌ای ω ـ سازگار باشد G یک جمله تصمیم ناپذیر از K است.
در این‌جا، «نظریه» به معنای تعدادی قواعد استنتاج، تعدادی علائم و مجموعه‌ای نامتناهی از گزاره‌ها است، که تعدادی متناهی از این گزاره‌ها بدون اثبات پذیرفته می‌شوند (که اصول موضوع خوانده می‌شوند)، و برخی دیگر از گزاره‌ها از اصول موضوع به دست می‌آیند؛ به این گزاره‌ها که با کمک قواعد استنتاج از اصول موضوع به دست می‌آیند قضیه می‌گوییم. «اثبات پذیر بودن در نظریه» یعنی «اشتقاق‌پذیر بودن از اصول موضوع نظریه به کمک قواعد استنتاج نظریه». یک نظریه «سازگار» است، در صورتی که هیچ‌گاه یک تناقض را اثبات نکند. بنا بر قضیه ناتمامیت اول گودل، هیچ نظریه اصل موضوعی که حداقل قضایای اساسی حساب را بتواند اثبات کند وجود ندارد که همه قضایا را اثبات یا رد کند. به عبارتی در هر نظام اصل موضوعی ریاضی جملاتی تصمیم ناپذیر وجود دارند. طبق منطق کلاسیک و منطق ارسطویی هر گزاره‌ای یا صادق است یا کاذب. قضیه ناتمامیت اول می‌گوید که نظام‌های اصل موضوعی که قابلیت نشان دادن توابع بازگشتی را داشته باشند نمی‌توانند چنین تصمیمی دربارهٔ گزاره‌های حساب بگیرند. یعنی جملاتی در این نظام‌ها وجود دارند که نه اثبات‌پذیرند و نه انکارپذیر. می‌توان نشان داد که اگر G را به K بیفزاییم و مجموعهٔ جدیدی تولید کنیم، باز هم می‌توانیم یک گزارهٔ جدید گودل برای مجموعهٔ فعلی ارائه کنیم که در نظریه جدید نه اثبات پذیر باشد و نه انکارپذیری و جامع بودن آن را نقض کنیم.
@Shahed_Math

🌑🌑🌑یکی از کتاب هایی که چهارچوب کلی این اثبات را به خوبی توضیح داده کتاب زیر است (ناتمامیت : اثر ربکا گلدستین : به ترجمه رضا امیر رحیمی) 👇👇👇:

به زودی قسمتی از این کتاب که در آن چهار چوب اثبات قضایا (قضیه اول و دوم ناتمامیت) توضیح داده شده در کانال قرار خواهد گرفت...

در باره این توضیح میتوان شکل زیر را ترسیم کرد...(توجه کنید که بزرگ ترین مستطیل خود نظریه یا همان theory است و کوچک ترین مستطیل مجموعه قضایا یا همان theorem است...)
نکته :با کمی چشم پوشی میتوان نظریه را سامانه ی صوری نامید...
فرمول های خوش فرم هم با کمی چشم پوشی ترکیب اشیایی نظیر p و q ، p یا p و... است
👇👇👇
@Shahed_Math

جالب است بدانید تنها دوست گودل اینشتین بود ...
این یک رفاقت عادی نبود تا جایی اینشتین میگفت در سال های پایانی عمرش فقط به خاطر قدم زدن با گودل به مرکز تحقیقات پیشرفته میرفته...
اما گودل نیز در نامه ای به مادرش می نویسد : " از وقتی پزشکان به اینشتین گفته اند برای بهبودی باید استراحت کند دیگر کاملا تنها شده ام و به ندرت به طور خصوصی با کسی حرف میزنم"...
این رفاقت جالب تر میشود اگر بدانید که در ان زمان اینشتین ۷۰ ساله بود و گودل در سن ۳۰ سالگی به سر میبرد....عکس زیر روایتی از یکی از ان روزهاست...👇
@Shahed_Math

🌑بنابر متن خبر نامه ی انجمن ریاضی ایران مکان برگزاری چهل و سومین مسابقات ریاضی دانشجویی ، دانشگاه محقق اردبیلی خواهد بود.
@Shahed_Math

👈👈👈سخنی از راسل👉👉👉
ریاضیات را می‌توان رشته‌ای تعریف کرد که در آن نه معلوم است از چه سخن می‌گوییم و نه می‌دانیم آنچه می‌گوییم صحت دارد.

ما در ریاضیات مطالب را نمی‌فهمیم، بلکه تنها به آنها عادت می‌کنیم.

آیا این سخن راسل را قبول دارید؟

🌑🌑خبر:
دانشمندان یک عدد اول جدید کشف کردند که برابر:
(2^(82,589,933))-1
است.

✳️ چهل و سومین مسابقه ریاضی دانشجویی کشور، از ۱۱ تا ۱۵ شهریور ماه ۹۸ در دانشگاه رفسنجان برگزار خواهد شد. برای کسب اطلاعات قطعی و تکمیلی، بهتر است با دبیرخانه انجمن ریاضی ایران تماس بگیرید.
@IMCUS

✳️ اطلاعیه برگزاری چهل و سومین مسابقه ریاضی دانشجویی کشور در دانشگاه رفسنجان.

✳️ فایل‌ها و فرم‌های مربوطه، توسط دبیرخانه انجمن ریاضی برای گروه‌های ریاضی دانشگاه‌های کشور ارسال شده است.