Решение задачи из опроса

1️⃣ Типичный бот (по медиане, а не по среднему)
Каждая сделка – либо ×1.8, либо ×0.5.
Средний логарифмический рост за сделку:
0.5 × (ln 1.8 + ln 0.5) = –0.0526.
После 6 сделок: exp(6 × –0.0526) ≈ 0.73.
→ Медианный капитал ≈ 0.73 от начального, типичный бот теряет около 27%.
Ответ: капитал уменьшится.

2️⃣ Общий капитал группы (по среднему)
Арифметическое ожидание прибыли за сделку:
0.5 × (0.8 – 0.5) = +0.15 = +15%.
После 6 сделок средний капитал: 1.15⁶ ≈ 2.31.
→ Общий капитал увеличится более чем в 2 раза.
Ответ: увеличится.

Пример проще:
Три трейдера начинают с 1000.
– Первый всегда выигрывает → ×1.8⁶ = 34 000
– Второй всегда проигрывает → ×0.5⁶ = 15.6
– Третий 50/50 → ×0.73 = 730

Средний капитал ≈ 11 582 (общая прибыль),
но медианный – 730 (типичный участник в минусе).
Система прибыльна, но большинство теряет.

Меня натолкнуло на этот опрос видео: https://youtu.be/_FuuYSM7yOo

Парадокс в том, что даже стратегия с положительным ожиданием может обнулять счёт, если размер позиции превышает оптимальный.
Это же объясняет, почему проп-компания зарабатывает, даже если большинство её трейдеров – теряет: убытки большинства ограничены, а прибыль немногих покрывает потери остальных.
В сумме результат положительный, но типичный трейдер – в минусе.

Кому интересно, детально это показывает критерий Келли (или оптимальное f): он определяет, какую долю капитала оптимально ставить на каждую сделку, чтобы максимизировать рост капитала и минимизировать риск убытка.
В этой книге есть https://news.1rj.ru/str/algofox/47

Понравилась цитата отсюда: Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров / Ральф Винс.

Наконец, необходимо учитывать следующую аксиому. Если вы играете в игру с неограниченной ответственностью, то обанкротитесь с вероятностью, которая приближается к уверенности, когда длина игры приближается к бесконечности. Не очень приятная перспектива, не правда ли? Поясним сказанное на примере: если вы можете умереть от удара молнией, то в конце концов это произойдет. Если вы торгуете инструментом с неограниченной ответственностью (таким, как фьючер­сы), то в итоге понесете убыток такой величины, что потеряете все.

Вероятность того, что вас поразит молния именно сегодня, чрезвычайно мала, И чрезвычайно мала для вас в течение следующих пятидесяти лет. Однако эта ве­роятность существует, и если вам суждено прожить достаточно долго, то в конце ' концов эта микроскопическая вероятность реализуется. Таким же образом веро­ятность понести огромный убыток по позиции сегодня может быть чрезвычайно мала (но намного больше, чем умереть сегодня от молнии). Однако если вы торгу­ете достаточно долго, то в конце концов эта вероятность также будет реализована.

Существуют три подхода, которые вы можете использовать. Первый — это торговать только теми инструментами, где ответственность ограничена (напри­мер, длинная позиция по опционам). Второй — не торговать бесконечно долгий период времени. Большинство трейдеров умрут прежде, чем разорятся (или прежде, чем их поразит молния). Вероятность огромного выигрыша также суще­ствует, и одна из приятных сторон торговли заключается в том, что вам не обяза­тельно сразу получить гигантский выигрыш, достаточно многих маленьких по­бед. Поэтому если вы не собираетесь торговать финансовыми инструментами с ограниченной ответственностью и не собираетесь умирать, то пообещайте себе, что прекратите торговлю, когда баланс вашего счета достигнет некоторой заранее установленной цели. Если когда-нибудь вы достигнете этой цели, уходите с рын­ка и никогда не возвращайтесь.