هندسه دیفرانسیل ابزاری است که ما برای درک چگونگی تطبیق مفاهیمی مانند فاصله بین دو نقطه، زاویه بین دو منحنی متقاطع یا انحنای یک منحنی مسطح با یک سطح استفاده می کنیم. به عنوان مثال، اگر روی یک کره زندگی می کنید، نمی توانید از یک نقطه به نقطه دیگر با یک خط مستقیم بروید در حالی که روی کره باقی می مانند. بنابراین چگونه می توان کوتاه ترین فاصله را از یک نقطه به نقطه دیگر پیدا کرد؟ مثال دیگر: چگونه تفاوت بین استوانه ای را که می توانید با خم کردن صفحه بدون کشش آن ایجاد کنید و کره ای که نمی توانید آن را مشخص کنیم؟
تصویر خرگوش بالا که هندسه معمولی توضیح میدهد.
تصویر پایین که بسیار واقعی تر هست مربوط به هندسه دیفرانسیل.

انحنا

انحنا یک مفهوم مهم در ریاضیات است که به طور گسترده در هندسه دیفرانسیل مطالعه شده است. به طور شهودی، انحنا نشان می دهد که یک شی چقدر از "مسطح" بودن (یا "مستقیم" اگر جسم یک خط باشد) منحرف می شود. برای یک نمای کلی خوب از تاریخچه مطالعه انحنا، مقاله مایکل گارمن و جسیکا بانی را ببینید. برای آشنایی با انحنا در دنیای واقعی، این مقاله عالی را ببینید•• . انحنا به دو نوع تقسیم می شود: "ذاتی" و "خارجی". برای تجسم تفاوت بین انحنای درونی و بیرونی، یک تکه کاغذ بردارید. می توان آن را خم کرد، نورد، برش داد و تا کرد (اما نه کشیده) تا سطوحی مانند مخروط، یا سیلندر. این امکان پذیر است زیرا این سطوح همگی دارای انحنای گاوسی صفر هستند. به آنها " سطوح توسعه پذیر" می گویند . توجه داشته باشید که چنین سطوحی دارای انحنای ذاتی (گاوسی) یکسانی هستند، اما دارای انحنای بیرونی بسیار متفاوتی هستند. به طور شهودی، یک استوانه به وضوح از یک جهت منحنی تر از یک تکه کاغذ صاف است: آنها انحنای بیرونی متفاوتی دارند. علاوه بر این، ما نمی‌توانیم یک ورق کاغذ را تغییر شکل دهیم تا سطوح منحنی ذاتی مانند کره‌ها را بدون کشش کاغذ ایجاد کنیم. این بینشی را در مورد اینکه چرا پیش‌بینی‌های نقشه زمین اغلب کاملاً رضایت‌بخش نیستند، می‌دهد.
تعریف دقیق رادیان بُعد طولی دارد.
و سرعت زاویه ای مفهوم کمابیش پیچیده توجیه می شود.

انحنای ذاتی

" انحنای ذاتی " انحنای یک نقطه از سطح را توصیف می کند، و مستقل از نحوه قرار گرفتن سطح در فضا است (یعنی "ذاتی" در سطح است)، تنها بسته به فواصل "در سطح اندازه گیری می شود". برای اندازه‌گیری فواصل در سطح، ما یک متریک (یعنی اندازه‌گیری فاصله) را با استفاده از ژئودزیک تعریف می‌کنیم (در زیر ژئودزیک‌ها را با جزئیات بیشتر بررسی می‌کنیم). برای درک بهتر این موضوع، یک کره را در نظر بگیرید. فاصله بین دو نقطه روی یک کره اکنون به‌عنوان طول رشته مورد نیاز برای اتصال به آنها با محکم نگه داشتن ریسمان در سراسر سطح اندازه‌گیری می‌شود، نه اینکه فقط از وسط کره اندازه‌گیری شود.

انحنای گاوسی رایج ترین اندازه گیری ذاتی انحنای مورد مطالعه است. در ادامه با جزئیات بیشتری در این مورد بحث خواهیم کرد. این یک مفهوم نسبتاً پیشرفته در هندسه دیفرانسیل است که برای منیفولدها (امتداد سطوح با ابعاد بزرگتر از دو) نیز کاربرد دارد. توجه داشته باشید که برای یک منیفولد 1 بعدی (به عنوان مثال یک خط، منحنی، دایره) هیچ انحنای ذاتی وجود ندارد، فقط انحنای بیرونی وجود دارد.

در کیهان شناسی فیزیکی ، انحنای ذاتی کلید درک شکل جهان است . فیزیکدانان انحنای درونی را به جای انحنای بیرونی مطالعه می‌کنند، زیرا ما فقط می‌توانیم فواصل درون کیهان را اندازه‌گیری کنیم تا در فضایی خارج از واقعیت.

در ابعاد بالاتر (بیشتر از دو)، مفهوم انحنا بسیار پیچیده است که بتوان آن را با یک عدد واحد (اسکالر) توصیف کرد. در این مورد ، تانسورها انحنا را، همانطور که توسط ریمان ارائه شده است، توصیف می‌کنند.

انحنای بیرونی

"انحنای بیرونی" مفهومی آشناتر است و از نظر تاریخی اولین موردی بود که در مورد این دو نوع انحنا مطالعه شد. انحنای بیرونی یک سطح به نحوه تعبیه آن در یک فضا بستگی دارد. نمونه هایی از اندازه گیری های بیرونی انحنا عبارتند از انحنای ژئودزیکی , انحنای متوسط ​​و انحنای اصلی . اکنون اجازه دهید برخی از مفاهیم انحنای سطوح را با انحنای اصلی شروع کنیم:



انحنای اصلی، نقاط ناصاف و خطوط انحنا

فرض کنید نقطه پی روی یک سطح م است، چرخش سطح را به گونه ای در نظر بگیرید که مماس برپای افقی است، با "بالا" در جهت متعامد به سطح اشاره می کند. هر صفحه عمودی از طریق، نشان داده شده باE، به صورت منحنی به سطح می رسدγE- تصویر زیر را برγE می بیند، در نقطه پیک "دایره نوسانی" وجود دارد که به بهترین وجه منحنی را تقریب می‌کند. با در نظر گرفتن خودرویی که در امتداد منحنی حرکت می کند، می توان دایره ارتعاشی را درک کرد. اگر همانطور که از آن عبور می کند فرمان قفل شود، سپس دایره‌ای که دور آن به حرکت ادامه می‌دهد، دایره‌ی انعکاسی ما است (اگر ماشین مستقیم به جلو حرکت می‌کند، «دایره» ما یک خط مستقیم است که می‌توان آن را دایره‌ای با شعاع بی‌نهایت در نظر گرفت). شعاعrاین دایره انحنا را تعریف می کندκE: =1rتقسیم برγE، با شعاع کوچکتر مربوط به انحنای بیشتر (و خط مستقیم مربوط به انحنای صفر). این انحنا مطابق با "سمت" سطحی که روی آن قرار دارد یک علامت مثبت نسبت داده می شود (این به جهت گیری سطح مرتبط است که از قانون دست راست پیروی می کند).

مفاهیم پیچیده تری نظیر انحنای ژیودزیک و منیفولد هم وجود دارند که ممکن هست از حوصله شما خارج باشن.

کاربرد هایی از مدل سازی های پیشرفته در علوم مختلف نظیر زیست شناسی، شیمی معدنی و آلی، مدل های رشد و ...

با سلام و احترام

به اطلاع علاقمندان به شرکت در سمینارهای فلسفه تحلیلی می رساند که برنامه سخنرانی امروز، دوشنبه 19 اردیبهشت 1401،  با سخنرانی خانم مرضیه لطفی با عنوان «در دفاع از سور بنیادین در اتاق انتولوژی» لغو شد و به زمان دیگری موکول گردید. زمان برگزاری این سخنرانی متعاقبا اعلام خواهد شد.

با تشکر
پژوهشکده فلسفه تحلیلی

وقت بیشتری برای مطالعه پیش نیاز ها

وقتی این کاغذ کادو رو دیدم اولین چیزی که به ذهنم رسید انتگرال بود.😂

چرا در دنده عقب رفتن ماشین راحت تر فرمان می گیرد؟

منتظر خبرهای جالبی باشید

بنا به درخواست من از دوستان یکی از اعضای کانال (آیناز نامی) قطعه پیانو موسیقی still از دکتر دره و اسنوپ داک رو نواختن.
واقعاً زیباست

سلام به همگی
طی هماهنگی های انجام گرفته با مدرسه تصمیم گرفتیم که یک آزمایشگاه خانگی با استفاده از وسایل مدرسه ایجاد کنیم و برای آزمایش مرحله سوم تمرین کنیم.
اما از این فرصت پیش آمده قصد داریم نهایت استفاده را ببریم. به همین منظور یک دوربین با کیفیت و میکروفون یقه ای قرار هست تا می تونیم آزمایش انجام بدیم.
و همه این ویدئو ها در همین کانال قرار خواهد گرفت.
بعلاوه گزارش کار اسکن شده و توضیحات تئوریک اضافه تر.
می تونید از این ویدئو ها برای رفع ابهامات درسی خود استفاده کنید چراکه قرار هست تعداد زیادی آزمایش آپلود بشود.

جدول برنامه هفتگی آزمایش های این هفته
فردا
ساخت یک ترازوی متفاوت
جمعه
محاسبه بسامد هسته آهنی در یک خود القاگر
شنبه
جعبه سیاه، تحلیل مدار
یکشنبه
محاسبه شتاب جاذبه
دوشنبه
محاسبه ظرفیت گرمایی آب
سه شنبه
محاسبه ضریب انبساط طولی میله فلزی
چهارشنبه
اپتیک

آزمایش شماره یک
ترازوی ابتکاری
#آزمایش