Fun facts:
Логика S4 это логика класса всех топологических пространств (и можно сузить до метрических) по тереме Маккинси-Тарского.
Топологическая интерпетация бокса в модальной логике: Бокс как внутренность множества в топологическом пространстве. То есть топологическое пространство состоит из множества и набора подмножеств, которые мы называем открытыми множествами. Внутренний оператор берет множество и возвращает по нему максимальное по включение открытое подмножество, то есть наибольшее подмножество, открытое в данной топологии. Аксиомы Куратовского совпадают для оператора замыкания совпадают и аксиомами S4 (идемпотентность внутренности это транзитивность, например). А ромбик в топологической модальности это замыкание, то есть оно возвращает самое маленькое замкнутое подмножество.
Но в отличие от семантики Крипке, которая реляционная, топологическая семантика это окрестностная (видимо? не уверен, что в модальной логике это одно и то же, но если у нас есть шкала S4, то с ней можно связять топологическое пространство).
Логика S4 это логика класса всех топологических пространств (и можно сузить до метрических) по тереме Маккинси-Тарского.
Топологическая интерпетация бокса в модальной логике: Бокс как внутренность множества в топологическом пространстве. То есть топологическое пространство состоит из множества и набора подмножеств, которые мы называем открытыми множествами. Внутренний оператор берет множество и возвращает по нему максимальное по включение открытое подмножество, то есть наибольшее подмножество, открытое в данной топологии. Аксиомы Куратовского совпадают для оператора замыкания совпадают и аксиомами S4 (идемпотентность внутренности это транзитивность, например). А ромбик в топологической модальности это замыкание, то есть оно возвращает самое маленькое замкнутое подмножество.
Но в отличие от семантики Крипке, которая реляционная, топологическая семантика это окрестностная (видимо? не уверен, что в модальной логике это одно и то же, но если у нас есть шкала S4, то с ней можно связять топологическое пространство).
Интересные применения модальной логики, про которые я не знал:
1) Временная логика пространств Минковского (работа Гольдблатта)
2) Модальная логика для анализа данных и искуственного интеллекта (Balbiani)
3) Соответсвие Карри-Говарда для конструктивных модальных логик. То есть модальные операторы в интуиционистской конструктивной логике можно рассматривать как отображение на типах. По соответствию Карри-Говарда можно расширить типизированное лямбда исчисление для функционального программирования. И, соответственно, Евгений Могги придумал использование монад в функциональных языках, которое по изоморфизму Карри-Говарда можно рассматривать как оператор интуиционистской модальной логики. Но придумал он это на 10 лет позже, чем такая модальная логика появилась. А первый описал ее Гольдблатт, когда пытался описать топологии Гротендика. Получается монадические вычисления Хаскелля можно тоже рассматривать модальную логику
1) Временная логика пространств Минковского (работа Гольдблатта)
2) Модальная логика для анализа данных и искуственного интеллекта (Balbiani)
3) Соответсвие Карри-Говарда для конструктивных модальных логик. То есть модальные операторы в интуиционистской конструктивной логике можно рассматривать как отображение на типах. По соответствию Карри-Говарда можно расширить типизированное лямбда исчисление для функционального программирования. И, соответственно, Евгений Могги придумал использование монад в функциональных языках, которое по изоморфизму Карри-Говарда можно рассматривать как оператор интуиционистской модальной логики. Но придумал он это на 10 лет позже, чем такая модальная логика появилась. А первый описал ее Гольдблатт, когда пытался описать топологии Гротендика. Получается монадические вычисления Хаскелля можно тоже рассматривать модальную логику
Empty Name
https://www.youtube.com/watch?v=wMJjf-PrJf8
'I read islamic studies for two years at Cambridge, where basically i was just growing my hair and taking drugs'
Since then, Lawvere has been proposing, more or less explicitly, that at least some key parts of Hegel’s Logic, notably his concepts of unity of opposites, of Aufhebung (sublation) and of abstract general, concrete general and concrete particular as well as the concepts of objective logic and subjective logic as such have an accurate, useful and interesting formalization in categorical logic.
Lawvere also proposed formalizations in category theory and topos theory of various terms appearing prominently in Hegel’s Philosophy of Nature, such as the concept of intensive or extensive quantity and of cohesion.
Lawvere also proposed formalizations in category theory and topos theory of various terms appearing prominently in Hegel’s Philosophy of Nature, such as the concept of intensive or extensive quantity and of cohesion.