Kohei Kishida, in Chapter 8, uses category theory to develop a model theory for modal logic by focusing on the familiar Stone duality. Specifically, he aims to bring together Kripke semantics, topological semantics, quantified modal logic, and Lewis’ counterpart theory by taking categorical principles as both mathematically and philosophically unifying.
For too long, philosophy has thought to constrain its interest in any current mathematical research largely to set theory, when it has long been evident that it offers little or nothing as far as many core areas of mathematics are concerned, and especially the mathematics needed for physics.
Метрическое пространство называется полным если в нем есть фундаментальная последовательность сводящаяся к элементу пространства, а иначе компактность множества R в степени n, которое как раз и является полным, можно определить как возможность определить для любой последовательности такую подпоследовательность, предел который является элементом множества. Замкнутость и ограниченность множества из R^n эквивалентно его компактности (а если для любого пространства, то необходима вполне ограниченность). При этом компактность в метрических пространствах определяется как то, что для покрытия метрического пространства из открытых множеств (шаров) существует конечное подпокрытие.
Связь между компактностью выше и компактностью в модальной логике для оператора общего знания такая, что в последнем случае при объединении множества оператора E (everybody knows) в степени n с отрицанием оператора общего знания нельзя выполниить такую модель
Так как оператор общего знания предполагает степень E в бесконечности, то формально это никак не записать (поэтому это и неформула). Тогда для любой степени n найдется такой шаг n+1, что E на шаге n выполнялось, а общее знание уже нет. Поэтому она некомпактна. В логике под компактностью понимается, что выполнимость (satisfiability) конечного подмножества множеств формул гарантирует выполнимость множества вообще.
Так как оператор общего знания предполагает степень E в бесконечности, то формально это никак не записать (поэтому это и неформула). Тогда для любой степени n найдется такой шаг n+1, что E на шаге n выполнялось, а общее знание уже нет. Поэтому она некомпактна. В логике под компактностью понимается, что выполнимость (satisfiability) конечного подмножества множеств формул гарантирует выполнимость множества вообще.
Либо эту аналогию можно увидеть в сравнении с компактностью для топологических пространств, где одно из определений аналогично определению для метрических, а такжде между понятием фильтра для топологических пространств и для логики. Там еще есть какая-то связь, например, с алгеброй Линденбаума-Тарского и с алгеброй в более широком смысле, но тоже лишь на уровне общей идеи.
"In this paper, I will show why this sort of "naturalist" critique of metaphysics fails."
Вот, кстати, выясняется, что топологическая семантика Тарского прояснила алгебраические свойства открытых множеств топологических пространств и алгебры тоопологически замкнутых операций