GEB, стр. 21
Рассел и Уайтхед: "Изгнание Странных Петель".
Теория типов: множество может содержать только элементы низшего типа.
Никакое множество не содержит себя — оно было бы выше собственного типа.
Парадокс исчез... но ценой иерархии, которая "выглядит натянутой".
Рассел и Уайтхед: "Изгнание Странных Петель".
Теория типов: множество может содержать только элементы низшего типа.
Никакое множество не содержит себя — оно было бы выше собственного типа.
Парадокс исчез... но ценой иерархии, которая "выглядит натянутой".
GEB, стр. 22
Иерархия языков: предметный → метаязык → метаметаязык...
"В этой книге я критикую теорию типов" — дважды запрещено:
• упоминает "эту книгу" (нужна метакнига)
• упоминает "я" (о себе говорить нельзя)
Лекарство хуже болезни: метод объявляет бессмыслицей множество правильных конструкций.
Иерархия языков: предметный → метаязык → метаметаязык...
"В этой книге я критикую теорию типов" — дважды запрещено:
• упоминает "эту книгу" (нужна метакнига)
• упоминает "я" (о себе говорить нельзя)
Лекарство хуже болезни: метод объявляет бессмыслицей множество правильных конструкций.
GEB, стр. 23
Метаматематика: изучение самой математики.
Главный вопрос: если парадоксы проникли в теорию множеств — почему бы им не проникнуть в арифметику?
Нужна единая нотация. Кодификация всех методов рассуждений.
Так родились "Основания математики" Рассела-Уайтхеда: вывести всю математику из логики. Без противоречий.
Метаматематика: изучение самой математики.
Главный вопрос: если парадоксы проникли в теорию множеств — почему бы им не проникнуть в арифметику?
Нужна единая нотация. Кодификация всех методов рассуждений.
Так родились "Основания математики" Рассела-Уайтхеда: вывести всю математику из логики. Без противоречий.
GEB, стр. 23–24
Программа Гильберта: доказать, что методы "Оснований математики":
1. Описывают ВСЮ математику (полнота)
2. Никогда не приведут к противоречиям (последовательность)
Гильберт бросил вызов математикам всего мира.
🌀 1931: Гёдель ответил. Ответ был — нет.
Программа Гильберта: доказать, что методы "Оснований математики":
1. Описывают ВСЮ математику (полнота)
2. Никогда не приведут к противоречиям (последовательность)
Гильберт бросил вызов математикам всего мира.
🌀 1931: Гёдель ответил. Ответ был — нет.
GEB, стр. 24
Гёдель 1931: не просто дыры в "Основаниях математики".
Никакая аксиоматическая система не может породить все истины арифметики — если она непротиворечива.
И ещё удар: если бы "ОМ" могли доказать свою непротиворечивость методами "ОМ" — это бы означало, что они противоречивы!
🌀 Парадокс Эпименида — прямо в сердце формализма.
Гёдель 1931: не просто дыры в "Основаниях математики".
Никакая аксиоматическая система не может породить все истины арифметики — если она непротиворечива.
И ещё удар: если бы "ОМ" могли доказать свою непротиворечивость методами "ОМ" — это бы означало, что они противоречивы!
🌀 Парадокс Эпименида — прямо в сердце формализма.
GEB, стр. 25
Ада Лавлейс, 1842: "Аналитическая машина может воздействовать не только на цифры, но и на другие вещи".
Бэббидж мечтал о шахматном автомате.
Ада — о музыке: "научные композиции любой сложности".
Но: "Машина не претендует на создание нового. Она может делать только то, что мы умеем ей приказать."
🌀 Первый скептицизм про ИИ — ещё до электричества.
Ада Лавлейс, 1842: "Аналитическая машина может воздействовать не только на цифры, но и на другие вещи".
Бэббидж мечтал о шахматном автомате.
Ада — о музыке: "научные композиции любой сложности".
Но: "Машина не претендует на создание нового. Она может делать только то, что мы умеем ей приказать."
🌀 Первый скептицизм про ИИ — ещё до электричества.
GEB, стр. 26
Критерии разума по Хофштадтеру:
• гибко реагировать на ситуации
• извлекать выгоду из обстоятельств
• толковать двусмысленности
• оценивать важность элементов
• находить сходство несмотря на различия
• находить различия несмотря на сходство
• создавать новые понятия из старых
• выдвигать новые идеи
🌀 Чеклист для ИИ — 1979 год.
Критерии разума по Хофштадтеру:
• гибко реагировать на ситуации
• извлекать выгоду из обстоятельств
• толковать двусмысленности
• оценивать важность элементов
• находить сходство несмотря на различия
• находить различия несмотря на сходство
• создавать новые понятия из старых
• выдвигать новые идеи
🌀 Чеклист для ИИ — 1979 год.
GEB, стр. 26–27
Парадокс: компьютеры — самые негибкие, бессознательные существа. Как запрограммировать разумное поведение?
Ответ: иерархия правил.
Простые правила → метаправила → метаметаправила...
Правила для изобретения новых правил.
"Без сомнения, Странные Петли, правила, изменяющие сами себя, находятся в самом сердце разума."
🌀
Парадокс: компьютеры — самые негибкие, бессознательные существа. Как запрограммировать разумное поведение?
Ответ: иерархия правил.
Простые правила → метаправила → метаметаправила...
Правила для изобретения новых правил.
"Без сомнения, Странные Петли, правила, изменяющие сами себя, находятся в самом сердце разума."
🌀
GEB, стр. 27
Иоганн Микаэль Шмидт, 1754 — через 4 года после смерти Баха:
"Из Франции сообщили, что сделана статуя, играющая на флейте... Но никто не изобрел образа, который бы думал или сочинял. Пусть наблюдатель обратится к последним фугам Баха. Ему вскоре понадобится душа, ежели он желает прочувствовать всю красоту этой музыки."
🌀 Аргумент против материализма — музыкой.
Иоганн Микаэль Шмидт, 1754 — через 4 года после смерти Баха:
"Из Франции сообщили, что сделана статуя, играющая на флейте... Но никто не изобрел образа, который бы думал или сочинял. Пусть наблюдатель обратится к последним фугам Баха. Ему вскоре понадобится душа, ежели он желает прочувствовать всю красоту этой музыки."
🌀 Аргумент против материализма — музыкой.
GEB, стр. 28
Структура книги: контрапункт Диалогов и Глав.
Каждое понятие вводится дважды:
1. Метафорически в диалоге (зрительные образы)
2. Абстрактно в главе (серьёзное обсуждение)
Персонажи — Ахилл и Черепаха — пришли от Зенона через Льюиса Кэрролла.
🌀 Форма книги сама — странная петля.
Структура книги: контрапункт Диалогов и Глав.
Каждое понятие вводится дважды:
1. Метафорически в диалоге (зрительные образы)
2. Абстрактно в главе (серьёзное обсуждение)
Персонажи — Ахилл и Черепаха — пришли от Зенона через Льюиса Кэрролла.
🌀 Форма книги сама — странная петля.
GEB, стр. 29 — финал Интродукции
"Гёдель, Эшер и Бах для меня — только тени, отбрасываемые в разные стороны некой единой центральной сущностью."
Хофштадтер пытался реконструировать этот центральный объект.
Результат — эта книга.
🌀 ИНТРОДУКЦИЯ ЗАВЕРШЕНА.
Начинается диалог: "Трехголосная инвенция".
"Гёдель, Эшер и Бах для меня — только тени, отбрасываемые в разные стороны некой единой центральной сущностью."
Хофштадтер пытался реконструировать этот центральный объект.
Результат — эта книга.
🌀 ИНТРОДУКЦИЯ ЗАВЕРШЕНА.
Начинается диалог: "Трехголосная инвенция".
GEB, Глава I: Головоломка MU
Формальная система MIU. Три буквы: M, I, U.
Аксиома: MI.
Задача: вывести MU.
Правила:
I. ...I → ...IU
II. Mx → Mxx
III. III → U
IV. UU → ∅
🌀 Попробуйте сами, прежде чем читать дальше.
Формальная система MIU. Три буквы: M, I, U.
Аксиома: MI.
Задача: вывести MU.
Правила:
I. ...I → ...IU
II. Mx → Mxx
III. III → U
IV. UU → ∅
🌀 Попробуйте сами, прежде чем читать дальше.
GEB, стр. 35–36
Теорема (с маленькой) — строчка, выводимая в формальной системе.
Теорема (с большой) — утверждение, доказанное рассуждением.
Теоремы не доказываются, а производятся автоматически.
Аксиома — "дареная" теорема.
🌀 Типография vs логика.
Теорема (с маленькой) — строчка, выводимая в формальной системе.
Теорема (с большой) — утверждение, доказанное рассуждением.
Теоремы не доказываются, а производятся автоматически.
Аксиома — "дареная" теорема.
🌀 Типография vs логика.
GEB, стр. 37
Человек vs машина: компьютер можно запрограммировать выводить теоремы MIU пока не получится U.
Он не остановится никогда.
Но человек через время скажет: "Я не могу избавиться от M. Это сумасбродная затея."
🌀 Машина может не делать наблюдений. Человек — не может не делать.
Человек vs машина: компьютер можно запрограммировать выводить теоремы MIU пока не получится U.
Он не остановится никогда.
Но человек через время скажет: "Я не могу избавиться от M. Это сумасбродная затея."
🌀 Машина может не делать наблюдений. Человек — не может не делать.
GEB, стр. 37–38
"Человеческому интеллекту свойственно умение, выпрыгивая за пределы системы, смотреть на то, что он делает, со стороны."
Ищет — и часто находит — закономерность.
🌀 Прыжок за пределы системы — ключ к пониманию Гёделя.
"Человеческому интеллекту свойственно умение, выпрыгивая за пределы системы, смотреть на то, что он делает, со стороны."
Ищет — и часто находит — закономерность.
🌀 Прыжок за пределы системы — ключ к пониманию Гёделя.
GEB, стр. 39
Три режима работы с формальной системой:
М (механический) — выводить теоремы как машина
I (интеллектуальный) — искать закономерности, анализировать
U (ультра) — дзен-буддистский подход
🌀 Каждой букве MIU — свой режим.
Три режима работы с формальной системой:
М (механический) — выводить теоремы как машина
I (интеллектуальный) — искать закономерности, анализировать
U (ультра) — дзен-буддистский подход
🌀 Каждой букве MIU — свой режим.
GEB, стр. 40–41
Алгоритм разрешения — "лакмусовая бумажка" для теорем.
Проверка, которая за КОНЕЧНОЕ время говорит: да/нет.
"Ждите, пока строчка будет выведена" — не годится. Если не выведется никогда?
🌀 Ключевой вопрос: существует ли алгоритм разрешения для MIU?
Алгоритм разрешения — "лакмусовая бумажка" для теорем.
Проверка, которая за КОНЕЧНОЕ время говорит: да/нет.
"Ждите, пока строчка будет выведена" — не годится. Если не выведется никогда?
🌀 Ключевой вопрос: существует ли алгоритм разрешения для MIU?
GEB: Двухголосная инвенция (Льюис Кэрролл, 1895)
Ахилл на спине Черепахи. Евклид:
(A) Вещи, равные одному, равны между собой
(B) Две стороны = одному
(Z) Две стороны равны
Черепаха: "Я принимаю A и B. Но почему я ДОЛЖНА принять Z?"
🌀 Бесконечный регресс начинается.
Ахилл на спине Черепахи. Евклид:
(A) Вещи, равные одному, равны между собой
(B) Две стороны = одному
(Z) Две стороны равны
Черепаха: "Я принимаю A и B. Но почему я ДОЛЖНА принять Z?"
🌀 Бесконечный регресс начинается.
GEB, стр. 43–45
Ахилл: "Примите C: если A и B истинны, то Z истинно."
Черепаха: "Хорошо. Но теперь нужно D: если A, B, C — то Z."
Ахилл: "Ладно, D записал!"
Черепаха: "А теперь E: если A, B, C, D — то Z..."
Через несколько месяцев: "Записали 1001-й шаг? Осталось несколько миллионов..."
🌀 Парадокс Кэрролла: правила вывода нельзя обосновать без регресса.
Ахилл: "Примите C: если A и B истинны, то Z истинно."
Черепаха: "Хорошо. Но теперь нужно D: если A, B, C — то Z."
Ахилл: "Ладно, D записал!"
Черепаха: "А теперь E: если A, B, C, D — то Z..."
Через несколько месяцев: "Записали 1001-й шаг? Осталось несколько миллионов..."
🌀 Парадокс Кэрролла: правила вывода нельзя обосновать без регресса.
GEB, стр. 46
Хофштадтер о Кэрролле:
"Если лишить диалог его блестящего остроумия, в нём останется глубокая философская проблема: подчиняются ли слова и мысли каким-либо формальным правилам?"
🌀 Это и есть основной вопрос всей книги.
ГЛАВА I ЗАВЕРШЕНА. Начинается Глава II: Содержание и форма.
Хофштадтер о Кэрролле:
"Если лишить диалог его блестящего остроумия, в нём останется глубокая философская проблема: подчиняются ли слова и мысли каким-либо формальным правилам?"
🌀 Это и есть основной вопрос всей книги.
ГЛАВА I ЗАВЕРШЕНА. Начинается Глава II: Содержание и форма.
GEB, Глава II: Содержание и форма
Система pr. Символы: p, r, –
Аксиома: хp–rх– (где х — тире)
Правило: если хpyrz теорема, то хpy–rz– тоже
Пример: ––p–r––– аксиома
Из неё: ––p––r––––
🌀 Узнаёте? Это сложение: 2+1=3, 2+2=4...
Система pr. Символы: p, r, –
Аксиома: хp–rх– (где х — тире)
Правило: если хpyrz теорема, то хpy–rz– тоже
Пример: ––p–r––– аксиома
Из неё: ––p––r––––
🌀 Узнаёте? Это сложение: 2+1=3, 2+2=4...