GEB, стр. 58
Теорема Евклида: простых чисел бесконечно много.
Доказательство: возьмём N! + 1
Это число не делится ни на одно число от 2 до N (остаток всегда 1).
Значит, либо оно само простое, либо его простые делители > N.
В любом случае: всегда есть простое число больше любого N.
🌀 Несколько коротких шагов уводят далеко от начала.
Теорема Евклида: простых чисел бесконечно много.
Доказательство: возьмём N! + 1
Это число не делится ни на одно число от 2 до N (остаток всегда 1).
Значит, либо оно само простое, либо его простые делители > N.
В любом случае: всегда есть простое число больше любого N.
🌀 Несколько коротких шагов уводят далеко от начала.
GEB, стр. 59
Минуя бесконечность.
Евклид не рассматривает каждый из бесконечных случаев.
Он использует: "каким бы N ни было", "все N".
Слово "все" — конечное, но воплощает бесконечность.
🌀 Мы думаем, что руководствуемся "значением" слова. На самом деле — следуем правилам.
Минуя бесконечность.
Евклид не рассматривает каждый из бесконечных случаев.
Он использует: "каким бы N ни было", "все N".
Слово "все" — конечное, но воплощает бесконечность.
🌀 Мы думаем, что руководствуемся "значением" слова. На самом деле — следуем правилам.
GEB: Соната для Ахилла соло
Диалог, где слышим только Ахилла. Черепаху — додумываем.
Как в сонатах Баха для скрипки соло: аккомпанемент не записан, но подразумевается.
🌀 Рисунок определяется фоном. Фон — рисунком.
ГЛАВА II ЗАВЕРШЕНА.
Диалог, где слышим только Ахилла. Черепаху — додумываем.
Как в сонатах Баха для скрипки соло: аккомпанемент не записан, но подразумевается.
🌀 Рисунок определяется фоном. Фон — рисунком.
ГЛАВА II ЗАВЕРШЕНА.
GEB, Глава III: Рисунок и фон
Задача: формальная система, где P––– теорема ⟺ количество тире — простое число.
P–– (2) — теорема
P–––– (4) — НЕ теорема
Как это сделать типографскими операциями? Можно только: читать, писать, копировать, стирать, сравнивать символы.
🌀 Простые числа слишком "сложны"?
Задача: формальная система, где P––– теорема ⟺ количество тире — простое число.
P–– (2) — теорема
P–––– (4) — НЕ теорема
Как это сделать типографскими операциями? Можно только: читать, писать, копировать, стирать, сравнивать символы.
🌀 Простые числа слишком "сложны"?
GEB, стр. 64
Система ur — умножение.
Аксиома: хu–rх (X×1=X)
Правило: из хuyrz получаем хuy–rzх
Пример: ––u–r–– (2×1=2) аксиома
→ ––u––r–––– (2×2=4)
→ ––u–––r–––––– (2×3=6)
🌀 Умножение ухвачено типографией.
Система ur — умножение.
Аксиома: хu–rх (X×1=X)
Правило: из хuyrz получаем хuy–rzх
Пример: ––u–r–– (2×1=2) аксиома
→ ––u––r–––– (2×2=4)
→ ––u–––r–––––– (2×3=6)
🌀 Умножение ухвачено типографией.
GEB, стр. 65–66
Соблазнительное правило:
"Если Sx НЕ теорема → тогда Px теорема"
Роковая ошибка! Проверка "нетеоремности" — не типографская операция.
Чтобы узнать что MU не теорема — пришлось выйти из системы.
🌀 Формальная система не может ссылаться на "таблицу не-теорем".
Соблазнительное правило:
"Если Sx НЕ теорема → тогда Px теорема"
Роковая ошибка! Проверка "нетеоремности" — не типографская операция.
Чтобы узнать что MU не теорема — пришлось выйти из системы.
🌀 Формальная система не может ссылаться на "таблицу не-теорем".
GEB, стр. 67–68
Рисунок vs фон в живописи.
Курсивно рисуемый: фон — побочный продукт
Рекурсивный: и рисунок, и фон — узнаваемые формы
"Существуют узнаваемые формы, чьё негативное пространство не является никакой узнаваемой формой."
🌀 Эшер — мастер рекурсивных рисунков.
Рисунок vs фон в живописи.
Курсивно рисуемый: фон — побочный продукт
Рекурсивный: и рисунок, и фон — узнаваемые формы
"Существуют узнаваемые формы, чьё негативное пространство не является никакой узнаваемой формой."
🌀 Эшер — мастер рекурсивных рисунков.
GEB, стр. 68–69
Надежда для Типографской Теории Чисел:
Множество ложных утверждений =
(1) негативное пространство теорем, или
(2) отрицания теорем
"Однако эта надежда окажется напрасной..."
🌀 Предвестие теоремы Гёделя: не все системы рекурсивны.
Надежда для Типографской Теории Чисел:
Множество ложных утверждений =
(1) негативное пространство теорем, или
(2) отрицания теорем
"Однако эта надежда окажется напрасной..."
🌀 Предвестие теоремы Гёделя: не все системы рекурсивны.
GEB, стр. 71–72
Ключевое утверждение:
"Существуют рекурсивно перечислимые множества, не являющиеся рекурсивными."
р.п. = теоремы можно выводить по правилам (рисунок)
рекурсивное = и рисунок, и фон можно выводить
Результат сравним по глубине с теоремой Гёделя!
🌀 Не каждый фон — сам рисунок.
Ключевое утверждение:
"Существуют рекурсивно перечислимые множества, не являющиеся рекурсивными."
р.п. = теоремы можно выводить по правилам (рисунок)
рекурсивное = и рисунок, и фон можно выводить
Результат сравним по глубине с теоремой Гёделя!
🌀 Не каждый фон — сам рисунок.
GEB, стр. 72–73
Следствие: существуют формальные системы без алгоритма разрешения.
Алгоритм разрешения отличает теоремы от не-теорем.
Если бы он был — можно было бы выводить не-теоремы.
Но для некоторых систем это невозможно.
🌀 Простые числа — можно вывести позитивно (через неделимость).
Но не всё так удачно.
Следствие: существуют формальные системы без алгоритма разрешения.
Алгоритм разрешения отличает теоремы от не-теорем.
Если бы он был — можно было бы выводить не-теоремы.
Но для некоторых систем это невозможно.
🌀 Простые числа — можно вывести позитивно (через неделимость).
Но не всё так удачно.
GEB, стр. 74
Формальная система для простых чисел найдена.
Принцип: монотонность, однонаправленность.
Нет игры между укорачиванием и удлинением.
"Именно сложностью систем со взаимодействием вперёд-назад объясняются теорема Гёделя и проблема остановки Тьюринга."
🌀 ГЛАВА III ЗАВЕРШЕНА.
Формальная система для простых чисел найдена.
Принцип: монотонность, однонаправленность.
Нет игры между укорачиванием и удлинением.
"Именно сложностью систем со взаимодействием вперёд-назад объясняются теорема Гёделя и проблема остановки Тьюринга."
🌀 ГЛАВА III ЗАВЕРШЕНА.
GEB: Акростиконтрапунктус
Черепаха объясняет Ахиллу "разбивальную музыку".
Краб купил "Идеальный Патефон" — воспроизводит любые звуки.
Черепаха изучила конструкцию и написала песню:
"Меня нельзя воспроизвести на Патефоне №1"
Результат: патефон разбился вдребезги.
🌀 Самореференция как оружие.
Черепаха объясняет Ахиллу "разбивальную музыку".
Краб купил "Идеальный Патефон" — воспроизводит любые звуки.
Черепаха изучила конструкцию и написала песню:
"Меня нельзя воспроизвести на Патефоне №1"
Результат: патефон разбился вдребезги.
🌀 Самореференция как оружие.
GEB, стр. 77
Ахилл понимает суть:
"Любой достаточно качественный патефон, способный воспроизвести разбивальную музыку, от неё же и погибнет!
Избежать может только плохонький патефон — но он уже не Идеальный.
ВСЕ они дефектны!"
🌀 Черепаха: "Изъян не в патефонах, а в наших представлениях о том, на что они способны."
Ахилл понимает суть:
"Любой достаточно качественный патефон, способный воспроизвести разбивальную музыку, от неё же и погибнет!
Избежать может только плохонький патефон — но он уже не Идеальный.
ВСЕ они дефектны!"
🌀 Черепаха: "Изъян не в патефонах, а в наших представлениях о том, на что они способны."
GEB, стр. 78
Патефон Омега: встроенная камера + компьютер.
Сканирует пластинку, вычисляет эффект, перестраивает свою структуру.
Ахилл: "Вашим проделкам конец!"
Черепаха: "Видимо, вы плохо знакомы с теоремой Гёделя о неполноте."
🌀 Даже самоперестраивающаяся система уязвима.
Патефон Омега: встроенная камера + компьютер.
Сканирует пластинку, вычисляет эффект, перестраивает свою структуру.
Ахилл: "Вашим проделкам конец!"
Черепаха: "Видимо, вы плохо знакомы с теоремой Гёделя о неполноте."
🌀 Даже самоперестраивающаяся система уязвима.
GEB, стр. 79
B-A-C-H = мелодия (си♭-ля-до-си).
Бах включил её в последнюю фугу "Искусства фуги".
На рукописи сын написал:
"В тот момент когда прозвучала мелодия B-A-C-H, композитор скончался."
🌀 Автограф в собственном произведении. Странная петля.
B-A-C-H = мелодия (си♭-ля-до-си).
Бах включил её в последнюю фугу "Искусства фуги".
На рукописи сын написал:
"В тот момент когда прозвучала мелодия B-A-C-H, композитор скончался."
🌀 Автограф в собственном произведении. Странная петля.
GEB, Глава IV: Непротиворечивость, полнота и геометрия
Смысл рождается из изоморфизма.
Чем сложнее изоморфизм — тем больше "техники" нужно для извлечения смысла.
Ошибка: приписывать значение слову, а не связи между словом и реальностью.
🌀 Как думать, что шум — свойство столкновения, забывая про воздух.
Смысл рождается из изоморфизма.
Чем сложнее изоморфизм — тем больше "техники" нужно для извлечения смысла.
Ошибка: приписывать значение слову, а не связи между словом и реальностью.
🌀 Как думать, что шум — свойство столкновения, забывая про воздух.
GEB, стр. 82–83
Два уровня значения пластинки:
1-й уровень: дорожки → звуки (музыка)
2-й уровень: звуки → вибрация патефона
Второй уровень неявный, но именно он разрушает патефон.
🌀 Неявное значение "атакует".
Два уровня значения пластинки:
1-й уровень: дорожки → звуки (музыка)
2-й уровень: звуки → вибрация патефона
Второй уровень неявный, но именно он разрушает патефон.
🌀 Неявное значение "атакует".
GEB, стр. 84–85
Соответствие "Акростиконтрапунктуса" и теоремы Гёделя:
патефон → система аксиом
"совершенный" патефон → полная система
пластинка → строчка системы
проигрываемая → теорема
непроигрываемая → не-теорема
разбивальная музыка → гёделевское предложение
🌀 Для любого патефона существует пластинка, которую нельзя проиграть.
Соответствие "Акростиконтрапунктуса" и теоремы Гёделя:
патефон → система аксиом
"совершенный" патефон → полная система
пластинка → строчка системы
проигрываемая → теорема
непроигрываемая → не-теорема
разбивальная музыка → гёделевское предложение
🌀 Для любого патефона существует пластинка, которую нельзя проиграть.
GEB, стр. 85
Ключевое соответствие:
Название песни Черепахи:
"Меня нельзя воспроизвести на патефоне Х"
↕️
Неявное значение строчки Гёделя:
"Меня нельзя вывести в формальной системе Х"
🌀 Quaerendo invenietis! (Ищущий да обрящет)
Ключевое соответствие:
Название песни Черепахи:
"Меня нельзя воспроизвести на патефоне Х"
↕️
Неявное значение строчки Гёделя:
"Меня нельзя вывести в формальной системе Х"
🌀 Quaerendo invenietis! (Ищущий да обрящет)
GEB, стр. 87–88
Проблема Евклида: он использовал обычные слова — "точка", "прямая", "круг".
У каждого уже есть ассоциации. Вместо принятия определений — руководствуемся "складом мозга".
Евклид не предупредил: это технические термины! Он считал, что его точки — точки реального мира.
🌀 Так ассоциации проникли в доказательства.
Проблема Евклида: он использовал обычные слова — "точка", "прямая", "круг".
У каждого уже есть ассоциации. Вместо принятия определений — руководствуемся "складом мозга".
Евклид не предупредил: это технические термины! Он считал, что его точки — точки реального мира.
🌀 Так ассоциации проникли в доказательства.
GEB, стр. 89
Пятый постулат Евклида — "гадкий утёнок".
Четыре первых — кратки и элегантны.
Пятый — громоздкий (о параллельных прямых).
Евклид не использовал его в первых 28 доказательствах.
Сотни математиков пытались вывести его из первых четырёх.
К 1763 году — 28 "доказательств". Все ошибочные.
🌀 Путаница интуиции и формальных свойств.
Пятый постулат Евклида — "гадкий утёнок".
Четыре первых — кратки и элегантны.
Пятый — громоздкий (о параллельных прямых).
Евклид не использовал его в первых 28 доказательствах.
Сотни математиков пытались вывести его из первых четырёх.
К 1763 году — 28 "доказательств". Все ошибочные.
🌀 Путаница интуиции и формальных свойств.