🧭 Секстант: как проложить путь в море

Что это за прибор и почему без него столетиями не выходили в океан? Секстант позволяет одновременно видеть два объекта в одной трубе и точно измерять угол между ними — даже при качке. Так определяли широту по высоте Солнца или звёзд и прокладывали курс.

Коротко об истории: идею описал Ньютон (1699), а в 1730-м прибор независимо сконструировали Джон Хэдли в Англии и Томас Годфри в Америке. Первые версии были «октантами» (дуга 1/8 окружности), позже перешли к «секстанту» (дуга 1/6 окружности). Со временем он вытеснил древнюю астролябию, а в небе осталась память об инструменте — созвездие Секстант.

Разбираем устройство инструмента: https://teletype.in/@history_math/Sekstant-03-28

#Инструменты #секстант #навигация #астрономия #мореплавание

📚 Математика с Мансур-абый

✌️ Математические забавы Л. Ф. Магницкого

В «Арифметике» Л. Ф. Магницкого забавы составляют особый раздел — «О утешных некиих действах, через арифметику употребляемых». Автор поясняет, что поместил их «для утехи и особенно для изощрения ума учащихся», хотя сами по себе эти задачи «и не зело нужные».

Первая забава

«Один из находящихся в компании восьми человек берёт кольцо и надевает на один из пальцев на определённый сустав. Требуется угадать, у кого, на каком пальце и на каком суставе находится кольцо».

Правила работают при любом числе участников не более 9.

Знаете ли вы, что у всех пальцев, кроме большого, три сустава? Для игры достаточно использовать 8 пальцев (без больших).

Чтобы не было путаницы, заранее договоримся о нумерации, одинаковой для всех:

• Люди: 1–8 стоят по кругу (или слева направо — как решите в начале).
• Пальцы: 1–4 на одной руке от указательного к мизинцу и 5–8 — на другой (без больших).
• Суставы: 1 — у основания пальца, 2 — средний, 3 — у ногтя.

Пусть кольцо у четвёртого человека, на пятом пальце, на втором суставе.

Магницкий даёт такой способ угадывания. Угадывающий (может даже отвернуться) просит кого-то выполнить на бумаге определённые действия, без озвучивания промежуточных чисел:

1) номер человека, имеющего кольцо, умножить на 2: 4 × 2 = 8;
2) к результату прибавить 5: 8 + 5 = 13;
3) полученную сумму умножить на 5: 13 × 5 = 65;
4) к результату прибавить номер пальца, на котором находится кольцо: 65 + 5 = 70;
5) полученное число умножить на 10: 70 × 10 = 700;
6) к результату прибавить номер сустава, на котором находится кольцо: 700 + 2 = 702.

Получившееся число сообщают угадывающему. Далее он просто отнимает 250: 702 − 250 = 452.

Читаем по цифрам слева направо: первая — номер человека (4), вторая — номер пальца (5), третья — номер сустава (2).

Итак: кольцо у 4-го человека, на 5-м пальце, на 2-м суставе.

Попробуйте сами расписать и объяснить секрет фокуса!

Решение (почему это работает)

Этот фокус легко объясняется. Все действия подобраны так, что угадываемые числа оказываются в разрядах сотен, десятков и единиц. В этом и заключается секрет этого фокуса.

Пусть кольцо у человека с номером a, на пальце b, на суставе c. Выполним те же операции символически:

1) 2 × a = 2a
2) 2a + 5
3) 5 × (2a + 5) = 10a + 25
4) 10a + 25 + b
5) 10 × (10a + 25 + b) = 100a + 250 + 10b
6) 100a + 10b + 250 + c
7) вычитаем 250: 100a + 10b + 250 + c − 250 = 100a + 10b + c

Получилось число, где сотни = a (номер человека), десятки = b (номер пальца), единицы = c (номер сустава).

Примечание. Почему ограничение «не более 9 участников»: чтобы все три показателя a, b и c были однозначными — тогда они корректно попадают в сотни, десятки и единицы.

#историяматематики #задачи #Магницкий #Забавы

📚 Математика с Мансур-абый

#брейн_ринг

1. Великий русский учёный называл «Арифметику» Леонтия Филипповича Магницкого и «Грамматику» Мелетия Смотрицкого «вратами своей учёности». «Арифметику» он выучил наизусть. Кто этот учёный?

2. Один слишком навязчивый аспирант довёл своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением, которое хранится в архивах Гёттингена. А вы как думаете, знал ли руководитель о том, можно ли вообще построить такой многоугольник циркулем и линейкой?

3. Математика была одним из юношеских увлечений Льва Толстого. Он, правда, довольно сдержанно рассказывает об этом в повести «Юность», в значительной мере автобиографической, где описано его поступление в Казанский императорский университет. На какое отделение он поступал?



Ответы:

1. Михаил Васильевич Ломоносов

2. Да. Теорема Гаусса-Ванцеля: «Правильный n-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n есть произведение степени двойки и различных простых чисел Ферма.» Числа Ферма имеют вид: Fₖ = 2^2ᵏ + 1 , k∈N₀, где F₄ = 2¹⁶ + 1 = 65537

3. Восточное отделение философского факультета, но не на математическое отделение

📚 Математика с Мансур-абый

🔷 Параллелограмм Вариньона: удивительное свойство любых четырёхугольников

Пьер Вариньон (Pierre Varignon, 1654–1722) — французский математик и механик, член Парижской академии (1688), Лондонского королевского общества (1714) и Берлинской академии (1713). Труды Вариньона относятся к математическому анализу, геометрии, физике, механике, статике, кинематике и гидромеханике.

Как бы вы установили такое свойство четырёхугольников: все четырёхугольники, имеющие одни и те же середины сторон, — равновеликие? Ищите ответ в конце поста.

В школьной геометрии можно было бы ввести ещё одну именную теорему: это известное свойство четырёхугольников. Теорема Вариньона: четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом. Его стороны параллельны диагоналям исходного четырёхугольника и равны половинам их длин.

Что особенно приятно: теорема верна для выпуклых, невыпуклых и даже самопересекающихся четырёхугольников. Попробуйте нарисовать парочку и самостоятельно проверить.

Обобщённым параллелограммом Вариньона называется любой параллелограмм, вершины которого лежат на сторонах исходного четырёхугольника, а стороны параллельны его диагоналям. Площадь обобщённого параллелограмма Вариньона не превосходит половины площади исходного четырёхугольника.

Ответ на вопрос в начале: все четырёхугольники с одинаковыми серединами сторон имеют один и тот же параллелограмм Вариньона, значит, их площади вдвое больше площади этого параллелограмма — то есть равновелики.

#Опыты #Вариньон #Параллелограмм #планиметрия #геометрия

📚 Математика с Мансур-абый

🤝🔢 Дружественные числа: 220 и 284 — как найти «вторую половинку» в арифметике

В Средние века носили талисманы с выгравированными числами 220 и 284. Люди верили, что они укрепляют любовь. Почему именно эти числа и как устроена их «дружба»?

Коротко о том, что такое дружественные числа и пифагорейский сюжет, как Эйлер находил новые пары и почему поиск до сих пор открыт: https://teletype.in/@history_math/Arifmetika-pifagorejcev-druzhestvennye-chisla-02-24

P. S. На обложке — Пифагор на Римском форуме. Римская копия с греческого оригинала, II–I вв. до н. э. Колизей, Рим.

#историяматематики #пифагорейцы #арифметика #дружественныечисла #теориячисел

📚 Математика с Мансур-абый

🎩 Де Морган шутит

Математик Август де Морган любил говорить, что ему исполнилось x лет в x² году. В каком году родился де Морган?

Заодно ответим на дополнительные вопросы: достаточно ли знать, что он жил в XIX столетии, и с какого столетия такая задача перестаёт иметь решение?

Решение

Пусть год рождения де Моргана равен M. Тогда условие «в x² году ему x лет» можно выразить так: x² = M + x ⟹ M = x² − x.

Если добавить исторический факт, что де Морган жил в XIX веке, то год x² должен попадать в интервал 1801–1900, M = 1800 + m, где 1 ≤ m ≤ 99. Ищем полные квадраты в этом диапазоне:

• 42² = 1764 — не подходит (XVIII век);
• 43² = 1849 — подходит;
• 44² = 1936 — не подходит (XX век).

Единственный подходящий вариант: x = 43. Тогда, используя это значение, можно вычислить год рождения: M = 43² − 43 = 1849 − 43 = 1806.

Ответ: де Морган родился в 1806 году; в 1849-м ему было 43 года.

Дополнительные вопросы

1) Достаточно ли указать, что де Морган жил в XIX столетии?

Да. В XIX веке ровно один «квадратный год» — 1849, поэтому решение единственно: x = 43, M = 1806.

2) Начиная с какого столетия подходящего решения может не быть вовсе?

С ростом n расстояние между соседними квадратами n² и (n + 1)² равно 2n + 1. Когда оно превышает 100, появляется 100-летний промежуток без квадратов.

Впервые 2n + 1 > 100 становится при n = 50: 50² = 2500 и 51² = 2601 разделены промежутком длиной 101.

XXVI столетие (годы 2501–2600) целиком лежит между 2500 и 2601, поэтому не содержит квадратов и задача там не имеет решения. До XXVI века в каждом столетии есть хотя бы один «квадратный год».

Примечание о границах: в исторической нотации столетие — это годы с окончаниями 01–00 (например, XIX: 1801–1900). Но здесь это не влияет на ответ, так как 1900 не является квадратом.

#историяматематики #задачи #Август #Морган #Возраст #Логика #Литцман

📚 Математика с Мансур-абый

#брейн_ринг

1. Знаменитый английский математик Сильвестер (1814–1897) назвал этого известного русского математика «победителем простых чисел, который первый стеснил их капризный поток в алгебраические границы». Этот математик вычислил «хорошие» границы количества простых чисел до любого натурального числа. Кто этот русский математик?

2. Будем говорить, что лист бумаги нормальный, если при сложении его вдвое получится подобный ему лист. Чему равно отношение сторон нормального листа?

3. Восхищённый «Началами» Евклида философ Спиноза в своей «Этике» хотел всё изложение построить «на геометрический манер», однако, хотя он старательно скопировал внешнюю структуру «Начал», его ожидало фиаско. Как вы думаете, почему?



Ответы:

1. Пафнутий Львович Чебышёв

2. √2 (корень квадратный из 2)

3. В «Этике» есть аксиомы, теоремы, леммы, доказательства, нет лишь самого духа математического метода. Его аксиомы содержат утверждения, которые нельзя назвать «не вызывающими сомнения»

📚 Математика с Мансур-абый

👒 Задача в стихах: Мадам, фуро и чепец

В старинных русских учебниках математики встречаются занимательные задачи в стихах. Одна из них — «задача Ефима Войтяховского».

Нововыезжей в Россию французской Мадаме
Вздумалось ценить своё богатство в чемодане;
Новой выдумки нарядное фуро
И праздничный чепец а ля Фигаро.
Оценщик был Русак.
Сказал Мадаме так:
«Богатства твоего первая вещь фуро
Вполчетверта дороже чепца а ля Фигаро;
Вообще же стоят не с половиною четыре алтына,
Но настоящая им цена всего только половина».
Спрашивается всякой вещи цена,
В чем французская Мадам к Россам привезена?

О задаче писал даже Д. Н. Мамин-Сибиряк: «В числе приведённых «экземплев» находились такие, которые решались по какому-то «слепому» или девичьему правилу, а под № 375 находилась такая задача в стихах».

Пояснения к тексту

• фуро (фр. fourreau) — узкое прямое платье;
• вполчетверта — в 3,5 раза;
• алтын — 3 копейки;
• «с половиною четыре алтына» — 4,5 алтына = 13,5 копеек.

Решение

Обозначим цену чепца через x копеек. Тогда цена фуро — 3,5x. По условию «настоящая им цена всего только половина» от 4,5 алтына (= 13,5 коп.), то есть 6,75 коп. Если решать задачу составлением уравнения, то оно получится таким:

x + 3,5x = 13,5 : 2
4,5x = 6,75
x = 1,5
3,5x = 5,25.

Ответ: чепец стоит 1,5 копейки (0,5 алтына), фуро — 5,25 копеек (1,75 алтына).

Историческая справка

1. Ефим Дмитриевич Войтяховский (1742–1812) — российский педагог-математик, кадровый военный (штык-юнкер артиллерии), преподавал в Артиллерийском и инженерном шляхетном корпусе. В 1781 году открыл в Москве частную математическую школу. Автор пятитомного «Теоретического и прикладного курса чистой математики» (1786–1790), переиздававшегося многократно.

Полное название курса подчёркивает широту содержания: «Теоретической и практической курс чистой математики: Содержащий в себе арифметику, геометрию, тригонометрию, с практикою и описанием пропорциональнаго циркуля или сектора, алгебру с вышними степеньми, криволинейную геометрию с теориею и практикою искусства бросания бомб: В пользу и употребление юношества и упражняющихся в математике».

2. «Слепое» или «девичье» правило — это метод решения задач, который заключается в том, чтобы начать действовать, даже если у вас нет полного плана или понимания, как достичь конечной цели. В школьной арифметике этим правилом часто называли наивные, но рабочие схемы вычислений, предшествующие строгому составлению уравнений.

Смысл в том, чтобы сделать первый, самый простой шаг, который приблизит вас к решению. Часто после этого шага открывается новый ракурс задачи, становится виден следующий шаг, и процесс решения запускается как бы «сам собой».

Это народное, немного устаревшее название. Оно основано на поговорке: «Сделай хоть что-нибудь, авось потом разберёшься».

#историяматематики #задачи #Войтяховский #мадам #стихи

📚 Математика с Мансур-абый

#брейн_ринг

1. «Алгебра — это та же геометрия в словах, лишь оперирует она символами. Геометрия — это не что иное, как алгебра, воплощённая в фигурах.» Так сказала известная французская женщина-математик XVIII–XIX века. Кто же эта женщина, математик, механик и философ?

2. Как известно, кратчайший путь между двумя точками на плоскости идёт по прямой. Расстояние между ними равно длине отрезка. А по какой линии идёт кратчайший путь между двумя точками на сфере?

3. Авторы некоторых книг для развития детей имеют слабое представление о вещах, относящихся к математике. В одной французской книге написано: «Четыре тысячи арабов босиком бежали вслед за верблюдом, оживленно жестикулируя и смеясь, и на солнце поблескивали 600 000 их белых зубов». Сколько зубов в среднем приходится на одного араба?



Ответы:

1. Софи Жермен (1776–1831)

2. По окружности большого круга

3. 150. Воистину, это народ, щедро одарённый природой! :)

📚 Математика с Мансур-абый

🙌 Пьер Ферма и «божественная теорема»

Пьер Ферма (Pierre de Fermat, 1601–1665) — французский математик и юрист, чьи идеи заложили основы теории чисел. Он сформулировал знаменитое утверждение, позже названное «Великой теоремой Ферма»: уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ, n > 2 не имеет решений в натуральных числах.

Дразня потомков ложными надеждами, он записал:

«Я открыл поистине чудесное доказательство, но поля этой страницы слишком узки, чтобы его вместить.»

(Оригинальная пометка на полях «Арифметики» Диофанта, лат.: “Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet.”)

Комментарий Ферма стал легендой. Достоверного доказательства от самого Ферма не найдено. Теорема была полностью доказана лишь в 1994–1995 годах Эндрю Уайлсом.

А как вы думаете, действительно ли у Ферма было «чудесное» доказательство?

Источник: Fermat’s Enigma by Simon Singh.

P. S. Об этой истории мы писали в статье «Великое сумасшествие: Ферма».

#математикишутят #цитаты #Ферма #теорема #математика

📚 Математика с Мансур-абый

🔺 Ещё одно применение треугольника Паскаля: степени числа 11

Всем знаком треугольник Паскаля (арифметический треугольник). Покажем красивый приём, как с его помощью можно в уме получать степени числа 11.

Наблюдение

Если просто склеивать цифры (конкатенация) в первых строках треугольника, получаются степени 11:

1 = 11⁰
11 = 11¹
121 = 11²
1331 = 11³
14641 = 11⁴

Дальше в строках появляются двузначные, трёхзначные и большие числа. Тогда нужно применить обратную к конкатенации операцию — декатенацию: всё, что больше 9, разделяем на единицы и десятки, затем десятки переносим влево к соседнему числу.

Пример для 11⁵

Строка биномиальных коэффициентов: 1, 5, 10, 10, 5, 1.

Простая конкатенация: 15101051.

Выделим двузначные биномиальные коэффициенты в скобки: 15(10)(10)51.

Перенесём десятки влево (декатенация): 1(5 + 1)(0 + 1)051 = 161051 = 11⁵.

Пример для 11⁶

Используем следующую строку треугольника Паскаля: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

Пишем: 16(15)(20)(15)61.

Переносим десятки: 1(6 + 1)(5 + 2)(0 + 1)561 = 1771561 = 11⁶.

Что делать, когда коэффициенты трёхзначные?

Например, возьмём 11¹⁰. Строка коэффициентов: 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1. Пошаговый перенос (удобнее идти справа налево, перенося десятки влево):

1(10)(45)(120)(210)(252)(210)(120)(45)(10)1 = (1 + 1)(0 + 4)(5 + 12)(0 + 21)(0 + 25)(2 + 21)(0 + 12)(0 + 4)(5 + 1)01 = 2(4 + 1)(7 + 2)(1 + 2)(5 + 2)424601 = 25937424601 = 11¹⁰

Конечно, на калькуляторе это делается быстрее — но здесь мы проводим опыты с числами и тренируем голову 🤓

Рекуррентный лайфхак (в одну строку)

Вычисления степени 11 можно выполнить рекуррентно, сводя умножение к сложению: 11ⁿ⁺¹ = 10·11ⁿ + 11ⁿ.

Например, 11⁶ = 10·11⁵ + 11⁵ = 1610510 + 161051 = 1771561.

Самостоятельное задание

Попробуйте восстановить по строке биномиальных коэффициентов 11⁷.

Ответ: 11⁷ = 19487171.

#Опыты #степени #Паскаль #конкатенация #декатенация

📚 Математика с Мансур-абый

🎣🐟 Задача из Болгарии

«Отец, по имени Николай, с сыном, и отец, по имени Пётр, с сыном, отправились удить рыбу. Число рыб, пойманных Николаем, оканчивается на 2, а число рыб, пойманных его сыном — на 3. Число рыб, пойманных Петром, также оканчивается на 3, а число рыб, пойманных его сыном — на 4. Число рыб, пойманных нашими рыболовами вместе, совпадает с квадратом некоторого натурального числа. Как зовут сына Николая?»

Решение

1) Может ли быть четыре рыбака?

Если все четверо — разные люди, то сумма последних цифр равна 2 + 3 + 3 + 4 = 12, то есть общая сумма оканчивается на 2. Квадраты на 2 не оканчиваются, значит такой вариант невозможен.

2) Значит рыбаков трое.

Один из «сыновей» одновременно является «отцом» другого: это семейная цепочка дед — отец — сын. Тогда 2 + 3 + 4 = 9, и сумма может быть квадратом.

3) Проверим, кто чей сын.

• Николай не может быть сыном Петра, так как улов Николая оканчивается на 2, а не на 4, как того требует условие задачи.

• Пётр может быть сыном Николая. Число рыб, пойманных Петром, так же как и пойманных сыном Николая, оканчивается на 3. Противоречий нет.

Итак, остаётся единственный вариант: Пётр — сын Николая.

Ответ: сына Николая зовут Пётр.

Примечания

1. Название «Задача из Болгарии» — условное: эта классическая логическая задача часто встречается в болгарских сборниках и олимпиадных подборках по математике, поэтому так закрепилась в пересказах.

2. Картина: Ольга Симонова — «Три рыбака» (2021), gallerix.ru.

#историяматематики #задачи #Болгария #рыбаки

📚 Математика с Мансур-абый

Последний #брейн_ринг года! 🎉

1. «Геометрические знания составляют основу всей точной науки, а самобытность геометрии Лобачевского — зарю самостоятельного развития науки в России. Посев научный взойдёт для жатвы народной. Почётный член Казанского университета …» Этими словами в телеграмме по случаю открытия памятника Лобачевскому в Казани (1896) откликнулся выдающийся российский химик. Кто именно?

2. Можно ли два одинаковых военных подразделения, построенные в квадраты, перестроить в один квадрат?

3. Забавно выглядят белки, когда они гонятся друг за другом по дереву. Будем считать ствол дерева цилиндрическим. По каким кратчайшим линиям бегут друг за другом белки?



Ответы:

1. Дмитрий Иванович Менделеев (1834–1907)

2. Нет. Целые стороны этих квадратов a и b должны будут удовлетворять уравнению a² = 2b²

3. По винтовым линиям. Чтобы найти кратчайший путь на цилиндре, можно разрезать его вдоль образующей и разложить на плоскости. Кратчайший путь между любыми двумя точками тогда будет идти по прямой, а эта прямая при свёртывании всей поверхности обратно в цилиндр образует винтовую линию

📚 Математика с Мансур-абый

🏛 Гаусс и Лобачевский

Карл Фридрих Гаусс (Carl Friedrich Gauss, 1777–1855) — немецкий математик, известный работами в алгебре, геометрии и астрономии. Гаусс высоко ценил работы Н. И. Лобачевского по неэвклидовой геометрии и в 1842 году рекомендовал его к избранию в корреспонденты Королевского общества наук в Гёттингене (Königliche Societät der Wissenschaften zu Göttingen). По итогам выборов Лобачевский стал членом-корреспондентом этого общества.

Из представления Гаусса в Общество (23.11.1842):

«Позволю себе предложить в корреспонденты нашего общества русского имперского статского советника Н. Лобачевского, профессора в Казани, одного из самых выдающихся математиков русского государства».

Из письма-уведомления Лобачевскому (2.12.1842):

«Высокородный господин, высокочтимый господин статский советник! Имею честь по поручению здешнего Королевского общества наук сообщить Вашему Высокородию, что оно, в признание Ваших выдающихся научных заслуг, избрало Вас своим корреспондентом…»

Как вам кажется, сыграла ли эта поддержка Гаусса ключевую роль в европейском признании работ Лобачевского?

Источники: представление Гаусса от 23.11.1842 и письмо-уведомление Гёттингенского общества от 2.12.1842.

#математикишутят #цитаты #Гаусс #Лобачевский #геометрия #историяматематики

📚 Математика с Мансур-абый

🎄🎁 С праздником!

Друзья, спасибо, что весь этот год вы были с нами — читали, спорили, задавали вопросы и делились постами. Для нас это не просто канал, а маленькая мастерская, где история математики оживает.

Есть фраза математика Давида Гильберта, которая особенно по-новогоднему звучит: «Мы должны знать — мы узнаем». Пусть в 2026-м у каждого будет своя ясная цель и свой красивый путь к ней.

В подарок для наших читателей мы вместе с автором канала, Мансуром Гильмуллиным, подготовили историко-математический календарь на 2026 год (он в первом комментарии к посту). Внутри — памятные даты и имена учёных, которые двигали математику вперед: от античных геометров до создателей современных идей.

Пусть 2026 год будет точным в планах, красивым в доказательствах и добрым в жизни.

С наступающим Новым годом! 🎁🎄

#историяматематики #математика #персоналии #ивенты #календарь #подарок #НовыйГод

📚 Математика с Мансур-абый