یک خم بسته، محدب و هموار را در نظر بگیرید و یک وتر با طول ثابت را حول این خم (مطابق شکل بالا) بچرخانید. ضمنا روی این وتر یک نقطه را در نظر بگیرید که طول وتر را به دو قسمت به طول‌های a و b تقسیم کند. هنگامیکه وتر حول خم می‌چرخد، این نقطه روی وتر یک خم دیگر را رسم می‌کند، که داخل خم قبل است.
مساحت بین این دو خم چیست؟ با استفاده از قضیه Holditch این مساحت برابر pi*a*b است.
@infinitymath

@inifinitymath
✅ Kakeya Needle Problem
مساله سوزن کاکیا
کاکیا ریاضی دان ژاپنی در سال 1917 مساله ای را مطرح کرد که بعدها به مساله سوزن کاکیا معروف شد. مساله بدین شکل بود:
((کمترین مساحت شکلی که در آن میتوان سوزنی به طول واحد را به طور پیوسته در صفحه به اندازه 180 درجه چرخاند، طوریکه که به جای اول خود برگردد ولی در جهت عکس، چند است؟ )) برای مثال در دایره ای به قطر 1 اگر وسط سوزن را در مرکز دایره قرار دهیم این کار امکان پذیر است. در نیم دایره ای با شعاع 1 نیز این امر امکان پذیر است !!!!
حدس کاکیا و فوجی وارا این بود که با فرض محدب بودن، کوچکترین مجموعه محدبی که میتوان سوزن را در آن 180 درجه چرخاند مثلث متساوی الاضلاع به ارتفاع 1 است که مساحت آن 1به روی رادیکال 3 است. در سال 1921 جولیوس پال این حدس را اثبات کرد. اگر شرط محدب بودن رابرداریم، مجموعه هایی که مساحت کمتر داشته باشند نیز یافت میشوند مانند deltoid با سه راس که مساحت آن phi/8 است که کمتر از مساحت مثلث متساوی الاضلاع به ارتفاع 1 است.
اما در این میان جواب حیرت انگیزی برای مساله پیدا شد: بسیکوویچ (Besicovitch) ریاضیدان روسی در حل مسایلی در آنالیز فوریه و آنالیز هارمونیک به ارتباط تناتنگی با مساله سوزن کاکیا پی برد، او نشان داد که مجموعه هایی با مساحت به دلخواه کوچک ( از اندازه 0 ) وجود دارند که سوزن به طول واحد میتواند به صورت پیوسته در آن سرو ته شود.
@infinitymath

@infinitymath

Deltoid curve
👇👇👇👇👇

می‌دانیم pi و e متعالی هستند. بنابراین
(x-pi)(x-e)=x^2- (e+pi)x + epi
نمی‌تواند ضرایب گویا داشته باشد. پس حداقل یکی از epi و e+pi گنگ هستند. اما آیا pi+e گویاست؟
@infinitymath

The perfect way to slice a pizza
@infinitymath

The perfect way to slice a pizza
@infinitymath

The perfect way to slice a pizza
@infinitymath

Infinity ...
... it's not big ...
... it's not huge ...
... it's not tremendously large ...
... it's not extremely humongously enormous ...
... it's ...
Endless!

Infinity has no end
Infinity is the idea of something that has no end.
In our world we don't have anything like it. So we imagine traveling on and on, trying hard to get there, but that is not actually infinity.
So don't think like that (it just hurts your brain!). Just think "endless", or "boundless".
If there is no reason something should stop, then it is infinite.

Infinity does not grow
Infinity is not "getting larger", it is already fully formed.
Sometimes people (including me) say it "goes on and on" which sounds like it is growing somehow. But infinity does not do anything, it just is.

Infinity is not a real number
Infinity is not a real number, it is an idea. An idea of something without an end.
Infinity cannot be measured.
Even these faraway galaxies can't compete with infinity.

Infinity is Simple
Yes! It is actually simpler than things which do have an end. Because when something has an end, we have to define where that end is.
@infinitymath

spinning cubes👇👇👇👇👇👇

Drawing Birds in Flight With Mathematics
@infinitymath

Above image shows all circles of the form
(x-A(k))2+(y-B(k))2=(R(k))2,

for k=-10000, -9999, ... , 9999, 10000, where

A(k)=(3k/20000)+(cos(37πk/10000))6sin((k/10000)7(3π/5))+(9/7)(cos(37πk/10000))16(cos(πk/20000))12sin(πk/10000),

B(k)=(-5/4)(cos(37πk/10000))6cos((k/10000)7(3π/5))(1+😔cos(πk/20000)cos(3πk/20000))8)+(2/3)(cos(3πk/200000)cos(9πk/200000)cos(9πk/100000))12,

R(k)=(1/32)+(1/15)(sin(37πk/10000))2((sin(πk/10000))2+(3/2)(cos(πk/20000))18).
@infinitymath

@infinitymath
Visit http://blogs.ams.org/visualinsight/2016/01/15/cairo-tiling/
to see how To construct the Cairo tiling
@infinitymath

Cantor space is the unique compact totally disconnected metrizible space topological space which has no isolated points.

Cantor Cube K^3 👆👆👆👆👆👆

Cantor cube is a cantor space and it is homeomorphic to cantor set in reals line K. In fact K^n is homeomorphic to K, for all n.
The above mentioned theorem on uniqueness of the cantor space is due to Brouwer.