Со старым Новым годом! В математике мы ценим утверждения, которые выдерживают повторение, — поэтому предлагаю просто принять следующие поздравления.
Пусть в новом году у вас и у всех ваших родных и близких всё будет нормально (Гаусс)
Притягивайтесь друг к другу и сближайтесь (Исаак Ньютон)
Пусть удача выталкивает вас вверх из любой ситуации, как архимедова сила! (Архимед)
Пусть новый год будет дискретным, чтобы вы могли наслаждаться каждым его моментом. Интегрируйте радость, а проблемы дифференцируйте до нуля! (Лейбниц)
Пусть всё сходится и ничего не расходится (Коши)
Пусть малые изменения приводят только к большим радостям, а траектории будут устойчивыми (Пуанкаре)
Пусть всё лишнее в жизни успешно сокращается (Артин)
Пусть любой жизненный шум разложится на гармоничные волны удачи (Фурье)
Пусть всё, что кажется хаосом, на деле имеет структуру (Мандельброт)
Пусть ваша удача будет бесконечной лентой — без начала, конца и изнанки (Мёбиус)
Пусть в новом году у вас всегда будет инвариант (Нётер)
Пусть все границы будут компактными (Хаусдорф)
Желаю, чтобы все пути оптимизировались автоматически (Беллман)
Желаю найти оптимальное решение для всех задач нового года (Эйлер)
Пусть вероятность успеха стремится к единице (Колмогоров)
Пусть ваш год будет разрешимым, а каждый день — алгоритмом, который всегда останавливается (Тьюринг)
Пусть любое противоречие имеет модель (Тарский)
Пусть всё будет доказуемо хорошо (Гильберт)
Пусть даже у тупиков всегда находится продолжение (Гёдель)
Пусть количество радостей будет больше, а количество проблем — строго меньше нуля (Стевин)
Пусть ваше настроение всегда будет положительно определённым (Сильвестр)
Пусть ваш жизненный путь будет кратчайшим, но самым насыщенным (Ферма)
И пусть даже самые абстрактные мечты находят реализацию (Гротендик)
Пусть в новом году у вас и у всех ваших родных и близких всё будет нормально (Гаусс)
Притягивайтесь друг к другу и сближайтесь (Исаак Ньютон)
Пусть удача выталкивает вас вверх из любой ситуации, как архимедова сила! (Архимед)
Пусть новый год будет дискретным, чтобы вы могли наслаждаться каждым его моментом. Интегрируйте радость, а проблемы дифференцируйте до нуля! (Лейбниц)
Пусть всё сходится и ничего не расходится (Коши)
Пусть малые изменения приводят только к большим радостям, а траектории будут устойчивыми (Пуанкаре)
Пусть всё лишнее в жизни успешно сокращается (Артин)
Пусть любой жизненный шум разложится на гармоничные волны удачи (Фурье)
Пусть всё, что кажется хаосом, на деле имеет структуру (Мандельброт)
Пусть ваша удача будет бесконечной лентой — без начала, конца и изнанки (Мёбиус)
Пусть в новом году у вас всегда будет инвариант (Нётер)
Пусть все границы будут компактными (Хаусдорф)
Желаю, чтобы все пути оптимизировались автоматически (Беллман)
Желаю найти оптимальное решение для всех задач нового года (Эйлер)
Пусть вероятность успеха стремится к единице (Колмогоров)
Пусть ваш год будет разрешимым, а каждый день — алгоритмом, который всегда останавливается (Тьюринг)
Пусть любое противоречие имеет модель (Тарский)
Пусть всё будет доказуемо хорошо (Гильберт)
Пусть даже у тупиков всегда находится продолжение (Гёдель)
Пусть количество радостей будет больше, а количество проблем — строго меньше нуля (Стевин)
Пусть ваше настроение всегда будет положительно определённым (Сильвестр)
Пусть ваш жизненный путь будет кратчайшим, но самым насыщенным (Ферма)
И пусть даже самые абстрактные мечты находят реализацию (Гротендик)
🔥28💘15❤13👏6💔2
Forwarded from AGDchan
Этнос и индивидуум соотносятся как волна и частица (корпускула, партикула) в квантовой механике. Этнос коллапсирует в индивидуума также как волна в частицу. Это происходит при смене размерности: на квантовом уровне мы имеем дело с волной, точнее даже с суперпозицией, когда и волна, и частица существуют одновременно, в неопределенности, а при переходе к мезоуровню (к размерности вещей нашего мира) вступает в ход декогеренция, просчитываемая гамильтонианом. И кажется, что частица есть, а волны нет. Но это не точно... Точно было сказать, что частица есть продукт коллапсирования волны, и ей неоткуда взяться, кроме как из волны. Чтобы что-то коллапсировало должно существовать нечто, что коллапсирует. Физики открыли эту закономерность и успокоились (не все, к частью), полагая, что на микроуровне действуют законы механики квантовой, а на мезоуровне — классической. Но это не так. Законы квантовой механики действуют и на мезоуровне, на чем строится технология квантовых компьютеров и новейшие эксперименты по конституции размазанных (квантовых) точек, то есть микросингулярностей с двумя ядрами.
Но вернемся к этносу и индивидууму. Этнос — это волна. Она есть всегда, и это текстура человеческого бытия. А индивидуум - продукт ее коллапсирования. Этнос утрачивает когерентность в индивидууме, отступает, перестает вести себя как волна, но он остается волной и тем, что конституирует индивидуум. Важно определить гамильтониан этого процесса.
Те, кто говорят, что этнос все, а индивидуум ничто, и те, кто говорят, что этнос ничто, а индивидуум все, кажется, что по-своему одинаково правы и просто они рассматривают две размерности. Квантовая механика человеческого бытия фундаментально этнична. И она-то и предопределяет эссенциальные основания человека. А коллапсируя в индивидуум, этнос становится якобы объектом классической механики — социальным атомом. Отсюда свобода, равенство и братство как атомистские концепты, напрямую сопряженные с триумфом ньютонианской картины мира в Западной Европе.
Это ложные тезисы. Они упускают из виду волну — этнос. Человек не индивидуум, он индивидуация. Он ткань этноса в состоянии декогерентности.
У древних обществ было предание,что после смерти индивидуум возвращается в цельное бытие своего народа, сливается с ним в одно. То есть он деколлапсирует и вновь превращается в волну. И это волна течет по родам и семьям от начала мира и до его конца.
Русская традиция называла это "тай-река".
Те, кто способны сделать свою личность, свою отчужденность, осмысленной и бессмертной, те идут по пути небес. К этому и зовет всех христианство. Но это особый и трудный путь. Путь святых, монахов, героев, мучеников. Он обращен к иной тай-реке, к онтологии церкви, к ткани чистого духа. Но и это волна — "все и о всех Христос".
При этом в русском народе обе волны - и этническая, и церковная - не противоречили друг другу. Сомнение вызывал лишь индивидуум, который тщетно пытался претендовать на свой суверенитет. Нет ничего более русофобского, нежели индивидуализм. Это омерзительная западническая ересь, сектантское мракобесие. Либо русский, ибо индивидуум.
Русские это прежде всего волна и даже сразу две волны, слияние двух рек — этнической и христианской (небесной).
Нам необходима квантовая физика русского народа. Кто высчитает русский гамильтониан, тот и победит.
Но вернемся к этносу и индивидууму. Этнос — это волна. Она есть всегда, и это текстура человеческого бытия. А индивидуум - продукт ее коллапсирования. Этнос утрачивает когерентность в индивидууме, отступает, перестает вести себя как волна, но он остается волной и тем, что конституирует индивидуум. Важно определить гамильтониан этого процесса.
Те, кто говорят, что этнос все, а индивидуум ничто, и те, кто говорят, что этнос ничто, а индивидуум все, кажется, что по-своему одинаково правы и просто они рассматривают две размерности. Квантовая механика человеческого бытия фундаментально этнична. И она-то и предопределяет эссенциальные основания человека. А коллапсируя в индивидуум, этнос становится якобы объектом классической механики — социальным атомом. Отсюда свобода, равенство и братство как атомистские концепты, напрямую сопряженные с триумфом ньютонианской картины мира в Западной Европе.
Это ложные тезисы. Они упускают из виду волну — этнос. Человек не индивидуум, он индивидуация. Он ткань этноса в состоянии декогерентности.
У древних обществ было предание,что после смерти индивидуум возвращается в цельное бытие своего народа, сливается с ним в одно. То есть он деколлапсирует и вновь превращается в волну. И это волна течет по родам и семьям от начала мира и до его конца.
Русская традиция называла это "тай-река".
Те, кто способны сделать свою личность, свою отчужденность, осмысленной и бессмертной, те идут по пути небес. К этому и зовет всех христианство. Но это особый и трудный путь. Путь святых, монахов, героев, мучеников. Он обращен к иной тай-реке, к онтологии церкви, к ткани чистого духа. Но и это волна — "все и о всех Христос".
При этом в русском народе обе волны - и этническая, и церковная - не противоречили друг другу. Сомнение вызывал лишь индивидуум, который тщетно пытался претендовать на свой суверенитет. Нет ничего более русофобского, нежели индивидуализм. Это омерзительная западническая ересь, сектантское мракобесие. Либо русский, ибо индивидуум.
Русские это прежде всего волна и даже сразу две волны, слияние двух рек — этнической и христианской (небесной).
Нам необходима квантовая физика русского народа. Кто высчитает русский гамильтониан, тот и победит.
💊11🤮10🤯3❤2🔥2🤔2🤡2🖕1
Ниже — формальное развитие идей предыдущего текста с использованием строгого математического языка и минимального числа дополнительных допущений.
О строгом формализме квантово-этнической теории, или о том, как выглядит физико-математическая стилизация, оторванная от содержания
Для устранения разночтений введём строгий математический аппарат.
Определение 1. Этнос Ψ — волновая функция со значениями в пространстве интерпретаций Ξ, которое не может быть задано явно без потери эссенциальной глубины модели. На Ξ введена неархимедова норма: |«свой» | = 0, | «чужой» | = ∞, что решает проблему границ. В русской традиции Ξ имеет две компоненты: Ξₑ (этническую) и Ξ𝚌 (церковную), причём Ξ𝚌 объявляется подпространством повышенной когерентности.
Определение 2. Индивидуум — значение Ψ в точке наблюдения. Поскольку наблюдатель входит в Ψ, точка наблюдения равна Ψ(Ψ). Следовательно, индивидуум существует тогда и только тогда, когда его существование уже предположено. В подпространстве Ξ𝚌 он трактуется как сингулярное возмущение волны, допустимое в канонической форме Ψ.
Определение 3 (аксиома самоподтверждения).
Модель корректна, если выводы не противоречат интуиции автора. Интуиция — собственный вектор этнического гамильтониана Ĥ с собственным значением «Истина» (в Ξ𝚌 — по умолчанию вечным).
Лемма 1 (о несвободе).
Свобода индивидуума невозможна.
Доказательство. Если индивидуум свободен, он выбирает состояние; если он выбирает состояние, он существует вне Ψ; если он существует вне Ψ, то по определению 2 он не существует. Противоречие. ∎
Следовательно, «воля» есть осознанная этническая необходимость; в церковной компоненте — её тождество с траекторией Ψ.
Динамика.
Введём этнический гамильтониан Ĥ. Его явный вид принципиально невыразим, но он корректен по аксиоме 3. Ĥ не коммутирует ни с одним оператором, включая тождество, поскольку любая однозначность меняет систему. Тем не менее Ĥ сохраняет норму Ψ, иначе нарушилась бы интуиция устойчивости.
Из уравнения iℏ dΨ/dt = ĤΨ следует, что время является функцией этноса. Отсюда пересмотр прошлого при недостаточной убедительности настоящего; в Ξ𝚌 — пересмотр смысла без изменения фактов.
Лемма 2 (о непроверяемости).
Теория не допускает экспериментальной проверки.
Доказательство. Эксперимент есть измерение; измерение есть декогеренция; декогеренция уничтожает когерентное состояние Ψ. Следовательно, эксперимент уничтожает объект исследования. ∎
Неподтверждающий эксперимент некорректен, подтверждающий — избыточен.
Интерпретационные операторы.
Введём оператор этничности Ê со спектром {1 — «свой», 0 — «чужой»} и, для Ξ𝚌, проектор Ê𝚌 на «предание». Применение оператора к Ψ(Ψ) всегда даёт 1; наблюдаемые нули объясняются коллапсом в параллельный этнос. Среднее значение любого показателя Â задаётся интегралом по Ξ : ∫_Ξ Ψ*ÂΨ dμ; поскольку мера μ неизвестна, интеграл берётся по контуру вокруг полюса «Мы» и по теореме вычетов заведомо положителен.
Теорема (об абсолютной самоподтверждаемости).
Любая критика модели подтверждает модель.
Доказательство. Критика либо производится внутри Ψ и является её динамикой, либо производится вне Ψ и потому несущественна. ∎
О строгом формализме квантово-этнической теории, или о том, как выглядит физико-математическая стилизация, оторванная от содержания
Для устранения разночтений введём строгий математический аппарат.
Определение 1. Этнос Ψ — волновая функция со значениями в пространстве интерпретаций Ξ, которое не может быть задано явно без потери эссенциальной глубины модели. На Ξ введена неархимедова норма: |«свой» | = 0, | «чужой» | = ∞, что решает проблему границ. В русской традиции Ξ имеет две компоненты: Ξₑ (этническую) и Ξ𝚌 (церковную), причём Ξ𝚌 объявляется подпространством повышенной когерентности.
Определение 2. Индивидуум — значение Ψ в точке наблюдения. Поскольку наблюдатель входит в Ψ, точка наблюдения равна Ψ(Ψ). Следовательно, индивидуум существует тогда и только тогда, когда его существование уже предположено. В подпространстве Ξ𝚌 он трактуется как сингулярное возмущение волны, допустимое в канонической форме Ψ.
Определение 3 (аксиома самоподтверждения).
Модель корректна, если выводы не противоречат интуиции автора. Интуиция — собственный вектор этнического гамильтониана Ĥ с собственным значением «Истина» (в Ξ𝚌 — по умолчанию вечным).
Лемма 1 (о несвободе).
Свобода индивидуума невозможна.
Доказательство. Если индивидуум свободен, он выбирает состояние; если он выбирает состояние, он существует вне Ψ; если он существует вне Ψ, то по определению 2 он не существует. Противоречие. ∎
Следовательно, «воля» есть осознанная этническая необходимость; в церковной компоненте — её тождество с траекторией Ψ.
Динамика.
Введём этнический гамильтониан Ĥ. Его явный вид принципиально невыразим, но он корректен по аксиоме 3. Ĥ не коммутирует ни с одним оператором, включая тождество, поскольку любая однозначность меняет систему. Тем не менее Ĥ сохраняет норму Ψ, иначе нарушилась бы интуиция устойчивости.
Из уравнения iℏ dΨ/dt = ĤΨ следует, что время является функцией этноса. Отсюда пересмотр прошлого при недостаточной убедительности настоящего; в Ξ𝚌 — пересмотр смысла без изменения фактов.
Лемма 2 (о непроверяемости).
Теория не допускает экспериментальной проверки.
Доказательство. Эксперимент есть измерение; измерение есть декогеренция; декогеренция уничтожает когерентное состояние Ψ. Следовательно, эксперимент уничтожает объект исследования. ∎
Неподтверждающий эксперимент некорректен, подтверждающий — избыточен.
Интерпретационные операторы.
Введём оператор этничности Ê со спектром {1 — «свой», 0 — «чужой»} и, для Ξ𝚌, проектор Ê𝚌 на «предание». Применение оператора к Ψ(Ψ) всегда даёт 1; наблюдаемые нули объясняются коллапсом в параллельный этнос. Среднее значение любого показателя Â задаётся интегралом по Ξ : ∫_Ξ Ψ*ÂΨ dμ; поскольку мера μ неизвестна, интеграл берётся по контуру вокруг полюса «Мы» и по теореме вычетов заведомо положителен.
Теорема (об абсолютной самоподтверждаемости).
Любая критика модели подтверждает модель.
Доказательство. Критика либо производится внутри Ψ и является её динамикой, либо производится вне Ψ и потому несущественна. ∎
🔥7❤5👍3💊3🤣1🙉1
Заключительное замечание.
Физические термины — «коллапс», «волна», «размерность», «гамильтониан», «декогеренция» — используются метафорически, без условий применимости. В физике коллапс волновой функции — это редукция описания при измерении, а не «превращение волны в частицу»; гамильтониан — оператор энергии системы, а не универсальный инструмент объяснения; квантовые эффекты на макроуровне существуют, но не означают применимость квантовой механики к социальным объектам. В результате построена не теория, а инвариант относительно смысла: проверка невозможна, опровержение запрещено, уточнение избыточно. Это не квантовая механика этноса, а идеальная модель идеологии — формально корректная, логически замкнутая и содержательно пустая.
Настоящий формализм применим при выполнении следующих условий:
1) читатель заранее согласен с выводами;
2) несогласие интерпретируется как частный случай декогеренции;
3) логические возражения интерпретируются как результат неверного выбора базиса.
Физические термины — «коллапс», «волна», «размерность», «гамильтониан», «декогеренция» — используются метафорически, без условий применимости. В физике коллапс волновой функции — это редукция описания при измерении, а не «превращение волны в частицу»; гамильтониан — оператор энергии системы, а не универсальный инструмент объяснения; квантовые эффекты на макроуровне существуют, но не означают применимость квантовой механики к социальным объектам. В результате построена не теория, а инвариант относительно смысла: проверка невозможна, опровержение запрещено, уточнение избыточно. Это не квантовая механика этноса, а идеальная модель идеологии — формально корректная, логически замкнутая и содержательно пустая.
Настоящий формализм применим при выполнении следующих условий:
1) читатель заранее согласен с выводами;
2) несогласие интерпретируется как частный случай декогеренции;
3) логические возражения интерпретируются как результат неверного выбора базиса.
🔥9👍6❤4💊2🥴1🤣1🤪1🙉1
Математика музыки
Почему 12 нот — это компромисс
Когда мы говорим, что одна нота выше другой «на октаву», мы имеем в виду не разницу, а отношение. Если одна струна колеблется с частотой f, то та же самая нота на октаву выше колеблется с частотой 2f.
Это не условность и не договорённость. Если зажать струну ровно посередине, её длина уменьшится вдвое — и частота автоматически удвоится. Ухо воспринимает этот звук как «тот же самый», только выше. Именно это ощущение тождества задаёт основу всей музыкальной системы.
Здесь стоит сделать небольшую оговорку. В повседневной речи часто говорят о «семи нотах» — до, ре, ми, фа, соль, ля, си. Но это лишь названия ступеней диатонической гаммы.
Если же рассматривать все устойчивые высотные позиции внутри октавы — включая полутоны между ними, — таких позиций оказывается двенадцать. Именно эти двенадцать равных шагов и образуют привычную нам хроматическую шкалу, на которой основана современная музыкальная система.
Однако в реальности струна звучит сложнее. Она не издаёт один чистый тон — её колебание раскладывается в целый спектр гармоник. Вместе с основной частотой f звучат 2f, 3f, 4f, 5f… Получается, что в одном-единственном звуке уже присутствуют другие ноты:
2f — та же нота через октаву,
3f — квинта,
4f — снова октава,
5f — большая терция.
Трудности начинаются, когда эту естественную красоту пытаются превратить в замкнутую систему настройки.
Представьте, что вы настраиваете инструмент, последовательно откладывая чистые квинты — каждый раз умножая частоту на 3/2. После 12 таких шагов вы проходите полный круг по всем нотам хроматического ряда. По высоте это соответствует подъёму примерно на 7 октав. Естественно ожидать, что эти два пути приведут в одну и ту же точку.
Но проверка показывает иное:
(3/2)¹² ≈ 129,746,
2⁷ = 128.
Разница невелика — около 1,36%, — но она принципиальна. Последовательность чистых квинт не замыкается точно в октавах. Это небольшое, но неизбежное расхождение известно как пифагорова комма.
Если же попытаться совместить в одном строе ещё и чистые большие терции с отношением 5:4, противоречия только усиливаются. Инструмент с фиксированными клавишами невозможно настроить так, чтобы все основные интервалы были одновременно чистыми.
Историческое решение оказалось простым по идее: ошибку нужно распределить.
Так возникла темперация — система сознательных микроскопических отклонений от идеальных соотношений.
В среднетоновом строе жертвовали чистотой квинт ради красивых терций, но платили за это появлением сильно фальшивых интервалов и непригодных тональностей.
Переломный момент связан с именем Иоганна Себастьяна Баха. В «Хорошо темперированном клавире» он показал, что инструмент можно настроить так, чтобы все тональности стали пригодными для игры. Не равными по звучанию — но рабочими.
Квинты в таких строях оставались почти чистыми, но с разными микроскопическими поправками. В результате каждая тональность приобретала собственный характер: одна звучала устойчиво и спокойно, другая — напряжённо и ярко.
Современный стандарт пошёл ещё дальше. Равномерная темперация делит октаву на 12 абсолютно равных шагов: каждый полутон равен 2¹ᐟ¹².
Квинта становится чуть-чуть фальшивой (≈ 1,498 вместо 1,5), но зато система замыкается строго: модуляция возможна в любую тональность без дополнительных проблем.
Цена этого решения — исчезновение индивидуального «характера» тональностей. Все они настроены одинаково точно — и одинаково неточно по отношению к чистым интервалам.
Таким образом, западная музыкальная система — не естественный закон и не произвольная условность. Это аккуратно рассчитанный компромисс: отказ от точной чистоты отдельных интервалов ради универсальности, замкнутости и свободы гармонического движения. И именно этот компромисс оказался необычайно плодотворным.
Почему 12 нот — это компромисс
Когда мы говорим, что одна нота выше другой «на октаву», мы имеем в виду не разницу, а отношение. Если одна струна колеблется с частотой f, то та же самая нота на октаву выше колеблется с частотой 2f.
Это не условность и не договорённость. Если зажать струну ровно посередине, её длина уменьшится вдвое — и частота автоматически удвоится. Ухо воспринимает этот звук как «тот же самый», только выше. Именно это ощущение тождества задаёт основу всей музыкальной системы.
Здесь стоит сделать небольшую оговорку. В повседневной речи часто говорят о «семи нотах» — до, ре, ми, фа, соль, ля, си. Но это лишь названия ступеней диатонической гаммы.
Если же рассматривать все устойчивые высотные позиции внутри октавы — включая полутоны между ними, — таких позиций оказывается двенадцать. Именно эти двенадцать равных шагов и образуют привычную нам хроматическую шкалу, на которой основана современная музыкальная система.
Однако в реальности струна звучит сложнее. Она не издаёт один чистый тон — её колебание раскладывается в целый спектр гармоник. Вместе с основной частотой f звучат 2f, 3f, 4f, 5f… Получается, что в одном-единственном звуке уже присутствуют другие ноты:
2f — та же нота через октаву,
3f — квинта,
4f — снова октава,
5f — большая терция.
Трудности начинаются, когда эту естественную красоту пытаются превратить в замкнутую систему настройки.
Представьте, что вы настраиваете инструмент, последовательно откладывая чистые квинты — каждый раз умножая частоту на 3/2. После 12 таких шагов вы проходите полный круг по всем нотам хроматического ряда. По высоте это соответствует подъёму примерно на 7 октав. Естественно ожидать, что эти два пути приведут в одну и ту же точку.
Но проверка показывает иное:
(3/2)¹² ≈ 129,746,
2⁷ = 128.
Разница невелика — около 1,36%, — но она принципиальна. Последовательность чистых квинт не замыкается точно в октавах. Это небольшое, но неизбежное расхождение известно как пифагорова комма.
Если же попытаться совместить в одном строе ещё и чистые большие терции с отношением 5:4, противоречия только усиливаются. Инструмент с фиксированными клавишами невозможно настроить так, чтобы все основные интервалы были одновременно чистыми.
Историческое решение оказалось простым по идее: ошибку нужно распределить.
Так возникла темперация — система сознательных микроскопических отклонений от идеальных соотношений.
В среднетоновом строе жертвовали чистотой квинт ради красивых терций, но платили за это появлением сильно фальшивых интервалов и непригодных тональностей.
Переломный момент связан с именем Иоганна Себастьяна Баха. В «Хорошо темперированном клавире» он показал, что инструмент можно настроить так, чтобы все тональности стали пригодными для игры. Не равными по звучанию — но рабочими.
Квинты в таких строях оставались почти чистыми, но с разными микроскопическими поправками. В результате каждая тональность приобретала собственный характер: одна звучала устойчиво и спокойно, другая — напряжённо и ярко.
Современный стандарт пошёл ещё дальше. Равномерная темперация делит октаву на 12 абсолютно равных шагов: каждый полутон равен 2¹ᐟ¹².
Квинта становится чуть-чуть фальшивой (≈ 1,498 вместо 1,5), но зато система замыкается строго: модуляция возможна в любую тональность без дополнительных проблем.
Цена этого решения — исчезновение индивидуального «характера» тональностей. Все они настроены одинаково точно — и одинаково неточно по отношению к чистым интервалам.
Таким образом, западная музыкальная система — не естественный закон и не произвольная условность. Это аккуратно рассчитанный компромисс: отказ от точной чистоты отдельных интервалов ради универсальности, замкнутости и свободы гармонического движения. И именно этот компромисс оказался необычайно плодотворным.
❤21✍11🔥6👌2
Что скрывается за пределами 12 нот
Двенадцать нот кажутся естественными — настолько привычными, что трудно представить музыку иначе. Однако с математической точки зрения это всего лишь одно из решений задачи на приближение.
Равномерно темперированный строй изящен тем, что аккуратно устраняет пифагорову комму и делает систему замкнутой. Но за это приходится платить точностью: некоторые важные интервалы он приближает довольно грубо.
Например, чистая большая терция — это отношение 5:4 = 1,25. В 12-ступенном строе ей соответствует интервал 2⁴ᐟ¹² ≈ 1,2599. Разница невелика, но для слуха она заметна.
Если поставить цель приблизить натуральные интервалы точнее, математика сразу подсказывает следующий шаг: увеличить число ступеней.
Деление октавы на 19, 31 или 53 равные части даёт значительно лучшие приближения квинт, терций и других интервалов гармонического ряда. В 53-ступенном строе квинта отличается от идеального отношения 3:2 менее чем на один процент — это практически предел слуховой различимости.
Здесь нет никакой мистики. Мы просто ищем такие целые числа a и b, чтобы
(3/2)ᵃ ≈ 2ᵇ.
Число 53 возникает как знаменатель одной из удачных рациональных аппроксимаций логарифма log₂(3/2). Музыкальный строй в этом смысле оказывается побочным результатом теории чисел.
Но можно сделать и более радикальный шаг — отказаться от самой октавы как базового цикла.
В гармоническом ряду после удвоения частоты (2f) следует утроение (3f). Если взять отношение 3:1 за основной период, возникает шкала Болена–Пирса. Она строится не на октаве, а на тритаве и делит её на 13 равных шагов, каждый из которых равен 3¹ᐟ¹³.
В этой системе отсутствуют привычные мажор и минор. Консонансы опираются на нечётные гармоники — например, отношения 3:5:7. Звучание оказывается непривычным, но при этом внутренне согласованным: система строго следует собственным правилам.
Все эти строи — не экзотика ради экзотики. Они наглядно показывают, что любая музыкальная теория является вычислительной моделью.
Каждая из них оптимизирует одни параметры, жертвуя другими:
чистый строй — акустически точные аккорды, но ограниченная модуляция;
12 нот — умеренная точность и полная универсальность;
31 или 53 ступени — высокая точность и усложнение исполнения;
шкала Болена–Пирса — иной базовый интервал и иная гармоническая структура.
Выбор двенадцатиступенного строя — исторически удачное решение конкретной задачи с конкретными ограничениями. Но математика показывает, что таких решений существует множество. И каждое из них задаёт собственный способ упорядочить звук и услышать гармонию.
Музыка, как и математика, значительно шире привычной нам шкалы.
Двенадцать нот кажутся естественными — настолько привычными, что трудно представить музыку иначе. Однако с математической точки зрения это всего лишь одно из решений задачи на приближение.
Равномерно темперированный строй изящен тем, что аккуратно устраняет пифагорову комму и делает систему замкнутой. Но за это приходится платить точностью: некоторые важные интервалы он приближает довольно грубо.
Например, чистая большая терция — это отношение 5:4 = 1,25. В 12-ступенном строе ей соответствует интервал 2⁴ᐟ¹² ≈ 1,2599. Разница невелика, но для слуха она заметна.
Если поставить цель приблизить натуральные интервалы точнее, математика сразу подсказывает следующий шаг: увеличить число ступеней.
Деление октавы на 19, 31 или 53 равные части даёт значительно лучшие приближения квинт, терций и других интервалов гармонического ряда. В 53-ступенном строе квинта отличается от идеального отношения 3:2 менее чем на один процент — это практически предел слуховой различимости.
Здесь нет никакой мистики. Мы просто ищем такие целые числа a и b, чтобы
(3/2)ᵃ ≈ 2ᵇ.
Число 53 возникает как знаменатель одной из удачных рациональных аппроксимаций логарифма log₂(3/2). Музыкальный строй в этом смысле оказывается побочным результатом теории чисел.
Но можно сделать и более радикальный шаг — отказаться от самой октавы как базового цикла.
В гармоническом ряду после удвоения частоты (2f) следует утроение (3f). Если взять отношение 3:1 за основной период, возникает шкала Болена–Пирса. Она строится не на октаве, а на тритаве и делит её на 13 равных шагов, каждый из которых равен 3¹ᐟ¹³.
В этой системе отсутствуют привычные мажор и минор. Консонансы опираются на нечётные гармоники — например, отношения 3:5:7. Звучание оказывается непривычным, но при этом внутренне согласованным: система строго следует собственным правилам.
Все эти строи — не экзотика ради экзотики. Они наглядно показывают, что любая музыкальная теория является вычислительной моделью.
Каждая из них оптимизирует одни параметры, жертвуя другими:
чистый строй — акустически точные аккорды, но ограниченная модуляция;
12 нот — умеренная точность и полная универсальность;
31 или 53 ступени — высокая точность и усложнение исполнения;
шкала Болена–Пирса — иной базовый интервал и иная гармоническая структура.
Выбор двенадцатиступенного строя — исторически удачное решение конкретной задачи с конкретными ограничениями. Но математика показывает, что таких решений существует множество. И каждое из них задаёт собственный способ упорядочить звук и услышать гармонию.
Музыка, как и математика, значительно шире привычной нам шкалы.
❤17🔥14✍6👌2
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Это запись произведения, исполненного на Supercembalo — необычном клавишном инструменте с 53 ступенями на октаву. Такая настройка (EDO-53) гораздо точнее приближает чистые интервалы, включая большие терции и квинты, чем привычная система из 12 равномерных шагов.
❤11🔥5✍4
Наткнулся на видео, где с инженерной точки зрения разбирают физические основы музыкального строя, темперации и альтернативные системы (вплоть до шкалы Болена–Пирса).
Наглядное напоминание:
привычная система — лишь один частный случай среди множества возможных моделей.
https://www.youtube.com/watch?v=sKH1NGR7GYI
Наглядное напоминание:
привычная система — лишь один частный случай среди множества возможных моделей.
https://www.youtube.com/watch?v=sKH1NGR7GYI
YouTube
Физика музыки (Bohlen–Pierce scale)
Bohlen–Pierce scale
Поддержите автора:
Бусти: https://boosty.to/lightcone
Сайт: http://lightcone.ru/about/
Телеграм: https://news.1rj.ru/str/lightcone_qm
ВК: https://vk.com/lightcone
Моя музыка: https://lightcone.bandcamp.com/
Поддержите автора:
Бусти: https://boosty.to/lightcone
Сайт: http://lightcone.ru/about/
Телеграм: https://news.1rj.ru/str/lightcone_qm
ВК: https://vk.com/lightcone
Моя музыка: https://lightcone.bandcamp.com/
❤13👏6🔥3👌1
Задача 1.
Камень массой 31 кг разбился на минимально возможное количество частей так, что, кладя их только на одну чашу весов, можно взвесить любой целый груз от 1 до 31 кг. Какие это части?
Решение.
При таком взвешивании каждая гиря может находиться лишь в одном из двух состояний: либо она лежит на чаше, либо не используется. Поэтому любой результат есть просто сумма выбранных гирь.
Предположим, что у нас уже есть несколько гирь, с помощью которых можно получить все целые веса от 1 до S кг. Теперь мы хотим добавить ещё одну гирю и не потерять это свойство. Сколько она может весить?
Пусть новая гиря имеет массу m. Тогда с её участием можно получить веса от m до S + m. Чтобы все значения от 1 до S + m по-прежнему были достижимы без разрывов, необходимо, чтобы вес S + 1 не «выпал». Это возможно тогда и только тогда, когда m ≤ S + 1. Если же m больше S + 1, то вес S + 1 невозможно собрать никаким способом: он слишком мал, чтобы использовать новую гирю, и слишком велик, чтобы обойтись старыми.
Из этого условия следует единственно возможная стратегия. Начинать приходится с гири массы 1. После этого максимально допустимая масса каждой следующей гири в точности равна сумме всех предыдущих плюс единица. Так мы последовательно получаем набор гирь:
1, 2, 4, 8, 16.
Их суммарная масса равна 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31,
и любой вес от 1 до 31 кг получается простым выбором подходящего подмножества этих гирь.
В более общем виде: если есть n гирь массами 1, 2, 4, …, 2ⁿ⁻¹, то максимальный взвешиваемый груз равен 2ⁿ − 1. В нашем случае 2⁵ − 1 = 31, значит пяти частей достаточно, и меньше уже быть не может.
Ответ: камень разбился на части массой 1, 2, 4, 8 и 16 кг.
За этой задачей легко увидеть более общую картину. Каждая гиря здесь ведёт себя как двоичный разряд: либо она участвует во взвешивании, либо нет. Любая масса фактически задаётся набором таких решений, а весы просто складывают выбранные значения.
Пять гирь дают 2⁵ = 32 возможных комбинации. Одна из них соответствует нулю (когда ни одна гиря не используется), остальные 31 — массам от 1 до 31 кг. Мы буквально кодируем массу с помощью двух состояний.
Камень массой 31 кг разбился на минимально возможное количество частей так, что, кладя их только на одну чашу весов, можно взвесить любой целый груз от 1 до 31 кг. Какие это части?
Решение.
При таком взвешивании каждая гиря может находиться лишь в одном из двух состояний: либо она лежит на чаше, либо не используется. Поэтому любой результат есть просто сумма выбранных гирь.
Предположим, что у нас уже есть несколько гирь, с помощью которых можно получить все целые веса от 1 до S кг. Теперь мы хотим добавить ещё одну гирю и не потерять это свойство. Сколько она может весить?
Пусть новая гиря имеет массу m. Тогда с её участием можно получить веса от m до S + m. Чтобы все значения от 1 до S + m по-прежнему были достижимы без разрывов, необходимо, чтобы вес S + 1 не «выпал». Это возможно тогда и только тогда, когда m ≤ S + 1. Если же m больше S + 1, то вес S + 1 невозможно собрать никаким способом: он слишком мал, чтобы использовать новую гирю, и слишком велик, чтобы обойтись старыми.
Из этого условия следует единственно возможная стратегия. Начинать приходится с гири массы 1. После этого максимально допустимая масса каждой следующей гири в точности равна сумме всех предыдущих плюс единица. Так мы последовательно получаем набор гирь:
1, 2, 4, 8, 16.
Их суммарная масса равна 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31,
и любой вес от 1 до 31 кг получается простым выбором подходящего подмножества этих гирь.
В более общем виде: если есть n гирь массами 1, 2, 4, …, 2ⁿ⁻¹, то максимальный взвешиваемый груз равен 2ⁿ − 1. В нашем случае 2⁵ − 1 = 31, значит пяти частей достаточно, и меньше уже быть не может.
Ответ: камень разбился на части массой 1, 2, 4, 8 и 16 кг.
За этой задачей легко увидеть более общую картину. Каждая гиря здесь ведёт себя как двоичный разряд: либо она участвует во взвешивании, либо нет. Любая масса фактически задаётся набором таких решений, а весы просто складывают выбранные значения.
Пять гирь дают 2⁵ = 32 возможных комбинации. Одна из них соответствует нулю (когда ни одна гиря не используется), остальные 31 — массам от 1 до 31 кг. Мы буквально кодируем массу с помощью двух состояний.
👍10🔥8❤5🥱1
Задача 2. Сколько различных показаний чашечных весов можно получить, используя 4 одинаковые гири, если каждую гирю можно положить на левую чашу, на правую или не использовать?
Anonymous Quiz
22%
7
23%
9
22%
16
12%
40
12%
81
9%
Если масса не указана — взвешивание невозможно в принципе, вопрос некорректен
❤4👍3
Задача 3. Сколькими различными способами можно разместить 4 различимые (пронумерованные) гири на весах, если каждая гиря может быть на левой чаше, на правой или не использоваться?
Anonymous Quiz
3%
7
9%
9
13%
16
13%
40
53%
81
9%
Число исходов зависит от наблюдателя
👍4❤🔥2❤2
Задача 4.
Камень массой 40 кг разбился на минимально возможное число частей так, что, кладя их на обе чаши весов, можно взвесить любой целый груз от 1 до 40 кг. Какие это части?
Решение.
Теперь у гирь появляется больше свободы. Каждую из них можно положить на правую чашу, на левую чашу или не использовать вовсе. Удобно считать, что гиря на правой чаше даёт вклад +1, на левой — −1, а отсутствию гири соответствует 0. Тогда результат взвешивания — это сумма вкладов всех гирь с учётом их масс.
Иными словами, каждая гиря может находиться уже в трёх состояниях: −1, 0 или +1. Мы работаем не только с суммами, но и с разностями масс.
Предположим, что у нас уже есть несколько гирь, с помощью которых можно получить все целые значения разности масс от −S до +S. Какую гирю можно добавить, чтобы диапазон остался непрерывным?
Если добавить гирю массы m, то она позволит получить новые значения от −(S + m) до +(S + m). Но чтобы не возникло «дырок», необходимо, чтобы m ≤ S + 1. Если m > S + 1, то разность S + 1 (или −(S + 1)) становится недостижимой.
Отсюда вновь следует оптимальная стратегия: начинать с гири массы 1 и каждый раз добавлять максимально возможную гирю, не нарушающую это условие. Но теперь рост идёт быстрее. Мы получаем последовательность:
1, 3, 9, 27.
Проверка проста: после гири 1 достижимы значения от −1 до +1, то есть S = 1; следующая гиря может иметь массу не больше 2, но максимальный выигрыш даёт 3; затем S = 4, следующая гиря — 9; далее S = 13, следующая — 27. После этого суммарный диапазон становится от −40 до +40.
Сумма гирь равна 1 + 3 + 9 + 27 = 40, и любой груз массой от 1 до 40 кг можно уравновесить, раскладывая гири по обеим чашам.
Ответ: камень разбился на части массой 1, 3, 9 и 27 кг.
С математической точки зрения здесь происходит переход к так называемой сбалансированной троичной системе счисления. Любое число от −40 до +40 представляется в виде суммы коэффициентов −1, 0 и +1, умноженных на степени тройки.
Если в предыдущей задаче каждая гиря фактически играла роль двоичного разряда, то теперь каждая из них соответствует троичному разряду. Четыре такие гири дают 3 в степени 4, то есть 81 возможное состояние — ровно столько целых значений содержится в интервале от −40 до +40 включительно.
Здесь проявляется важное различие между двумя ситуациями. В задаче 1 пять гирь позволяли покрыть диапазон из 32 значений. В задаче 4 всего четыре гири охватывают уже 81 значение. Добавление всего одного возможного состояния для каждого элемента резко увеличивает возможности всей системы.
Гири перестают быть просто кусками камня. Они начинают играть роль разрядов и состояний, то есть носителей информации.
Камень массой 40 кг разбился на минимально возможное число частей так, что, кладя их на обе чаши весов, можно взвесить любой целый груз от 1 до 40 кг. Какие это части?
Решение.
Теперь у гирь появляется больше свободы. Каждую из них можно положить на правую чашу, на левую чашу или не использовать вовсе. Удобно считать, что гиря на правой чаше даёт вклад +1, на левой — −1, а отсутствию гири соответствует 0. Тогда результат взвешивания — это сумма вкладов всех гирь с учётом их масс.
Иными словами, каждая гиря может находиться уже в трёх состояниях: −1, 0 или +1. Мы работаем не только с суммами, но и с разностями масс.
Предположим, что у нас уже есть несколько гирь, с помощью которых можно получить все целые значения разности масс от −S до +S. Какую гирю можно добавить, чтобы диапазон остался непрерывным?
Если добавить гирю массы m, то она позволит получить новые значения от −(S + m) до +(S + m). Но чтобы не возникло «дырок», необходимо, чтобы m ≤ S + 1. Если m > S + 1, то разность S + 1 (или −(S + 1)) становится недостижимой.
Отсюда вновь следует оптимальная стратегия: начинать с гири массы 1 и каждый раз добавлять максимально возможную гирю, не нарушающую это условие. Но теперь рост идёт быстрее. Мы получаем последовательность:
1, 3, 9, 27.
Проверка проста: после гири 1 достижимы значения от −1 до +1, то есть S = 1; следующая гиря может иметь массу не больше 2, но максимальный выигрыш даёт 3; затем S = 4, следующая гиря — 9; далее S = 13, следующая — 27. После этого суммарный диапазон становится от −40 до +40.
Сумма гирь равна 1 + 3 + 9 + 27 = 40, и любой груз массой от 1 до 40 кг можно уравновесить, раскладывая гири по обеим чашам.
Ответ: камень разбился на части массой 1, 3, 9 и 27 кг.
С математической точки зрения здесь происходит переход к так называемой сбалансированной троичной системе счисления. Любое число от −40 до +40 представляется в виде суммы коэффициентов −1, 0 и +1, умноженных на степени тройки.
Если в предыдущей задаче каждая гиря фактически играла роль двоичного разряда, то теперь каждая из них соответствует троичному разряду. Четыре такие гири дают 3 в степени 4, то есть 81 возможное состояние — ровно столько целых значений содержится в интервале от −40 до +40 включительно.
Здесь проявляется важное различие между двумя ситуациями. В задаче 1 пять гирь позволяли покрыть диапазон из 32 значений. В задаче 4 всего четыре гири охватывают уже 81 значение. Добавление всего одного возможного состояния для каждого элемента резко увеличивает возможности всей системы.
Гири перестают быть просто кусками камня. Они начинают играть роль разрядов и состояний, то есть носителей информации.
❤9👍6🔥4🥱1
Гири превращаются в биты
Если немного отойти от вопроса задач о взвешивании груза, легко заметить интересную вещь. Гири, которые только что были для нас просто кусками камня, вдруг начали вести себя как разряды системы счисления. Вопрос «как взвесить груз?» незаметно сменился другим: сколько различных состояний вообще может иметь такая система?
В задаче 1 с одной чашей у каждой гири было всего два варианта поведения: либо она лежит на весах, либо нет. По сути, это точная копия двоичной логики.
Если есть n гирь, то каждая из них выбирает одно из двух состояний. Значит, всего возможно 2ⁿ различных конфигураций. Одна из них соответствует нулю (когда ни одна гиря не используется), остальные — различным положительным массам. Поэтому максимальный взвешиваемый груз равен 2ⁿ − 1.
В задаче 4 картина меняется радикально. Теперь гиря может лежать на правой чаше, на левой или вообще не участвовать во взвешивании. То есть у неё уже не два состояния, а три: −m, 0 и +m. Это уже троичная логика.
Если у нас n таких гирь, то число возможных конфигураций равно 3ⁿ. А достижимые значения образуют симметричный интервал от −(3ⁿ − 1)/2 до +(3ⁿ − 1)/2.
Соответствующая формула возникает почти без усилий. Если взять гири массами 1, 3, 9, …, 3ⁿ⁻¹, то любая разность масс записывается как
a₀·1 + a₁·3 + … + aₙ₋₁·3ⁿ⁻¹,
где каждый коэффициент aᵢ равен −1, 0 или +1.
Это сбалансированная троичная система счисления — система, в которой отрицательные и положительные числа устроены совершенно симметрично.
Если посмотреть на это глазами теории информации, становится ещё интереснее. В первой задаче каждая гиря несёт log₂2, то есть ровно 1 бит информации. Во второй — log₂3 бита, примерно 1,585. Та же самая «физическая деталь» системы вдруг начинает хранить заметно больше состояний.
Отсюда и численный эффект. Пять двоичных гирь дают 2⁵ = 32 возможных состояния. А всего четыре троичных гири — уже 3⁴ = 81.
Но за этим сразу проявляется компромисс. Чем больше состояний мы разрешаем элементу, тем труднее эти состояния надёжно различать. Двоичный разряд чрезвычайно удобен: сигнал либо есть, либо его нет. Троичный требует устойчиво поддерживать уже три уровня — и это намного сложнее инженерно.
Поэтому в реальных компьютерах победила двоичная логика. Не потому, что она математически лучше, а потому, что она проще и надёжнее физически. Тем не менее попытки пойти другим путём были. Самый известный пример — советская троичная машина «Сетунь», работавшая именно на сбалансированной троичной системе.
Если вернуться к весам, смысл можно сформулировать так. Разрешив гирям лежать на обеих чашах, мы не просто сократили их количество. Мы фактически сменили язык, на котором описываются числа. В этом языке отрицательные значения возникают естественно, как равноправные участники системы.
И в этот момент весы перестают быть просто измерительным прибором. Они начинают вести себя как примитивный компьютер: выполняют сложение, вычитание и кодирование. А гири оказываются не грузами, а физическими носителями информации.
Если немного отойти от вопроса задач о взвешивании груза, легко заметить интересную вещь. Гири, которые только что были для нас просто кусками камня, вдруг начали вести себя как разряды системы счисления. Вопрос «как взвесить груз?» незаметно сменился другим: сколько различных состояний вообще может иметь такая система?
В задаче 1 с одной чашей у каждой гири было всего два варианта поведения: либо она лежит на весах, либо нет. По сути, это точная копия двоичной логики.
Если есть n гирь, то каждая из них выбирает одно из двух состояний. Значит, всего возможно 2ⁿ различных конфигураций. Одна из них соответствует нулю (когда ни одна гиря не используется), остальные — различным положительным массам. Поэтому максимальный взвешиваемый груз равен 2ⁿ − 1.
В задаче 4 картина меняется радикально. Теперь гиря может лежать на правой чаше, на левой или вообще не участвовать во взвешивании. То есть у неё уже не два состояния, а три: −m, 0 и +m. Это уже троичная логика.
Если у нас n таких гирь, то число возможных конфигураций равно 3ⁿ. А достижимые значения образуют симметричный интервал от −(3ⁿ − 1)/2 до +(3ⁿ − 1)/2.
Соответствующая формула возникает почти без усилий. Если взять гири массами 1, 3, 9, …, 3ⁿ⁻¹, то любая разность масс записывается как
a₀·1 + a₁·3 + … + aₙ₋₁·3ⁿ⁻¹,
где каждый коэффициент aᵢ равен −1, 0 или +1.
Это сбалансированная троичная система счисления — система, в которой отрицательные и положительные числа устроены совершенно симметрично.
Если посмотреть на это глазами теории информации, становится ещё интереснее. В первой задаче каждая гиря несёт log₂2, то есть ровно 1 бит информации. Во второй — log₂3 бита, примерно 1,585. Та же самая «физическая деталь» системы вдруг начинает хранить заметно больше состояний.
Отсюда и численный эффект. Пять двоичных гирь дают 2⁵ = 32 возможных состояния. А всего четыре троичных гири — уже 3⁴ = 81.
Но за этим сразу проявляется компромисс. Чем больше состояний мы разрешаем элементу, тем труднее эти состояния надёжно различать. Двоичный разряд чрезвычайно удобен: сигнал либо есть, либо его нет. Троичный требует устойчиво поддерживать уже три уровня — и это намного сложнее инженерно.
Поэтому в реальных компьютерах победила двоичная логика. Не потому, что она математически лучше, а потому, что она проще и надёжнее физически. Тем не менее попытки пойти другим путём были. Самый известный пример — советская троичная машина «Сетунь», работавшая именно на сбалансированной троичной системе.
Если вернуться к весам, смысл можно сформулировать так. Разрешив гирям лежать на обеих чашах, мы не просто сократили их количество. Мы фактически сменили язык, на котором описываются числа. В этом языке отрицательные значения возникают естественно, как равноправные участники системы.
И в этот момент весы перестают быть просто измерительным прибором. Они начинают вести себя как примитивный компьютер: выполняют сложение, вычитание и кодирование. А гири оказываются не грузами, а физическими носителями информации.
❤8🔥6🥱3👍2
Почему троичная система оптимальна
Мы сравнили двоичную и сбалансированную троичную системы и увидели, что троичная при том же числе «физических элементов» позволяет кодировать больше состояний. После этого почти неизбежно возникает вопрос: а можно ли пойти ещё дальше? Что будет, если разрешить каждому элементу не два и не три, а k различных состояний?
Рассмотрим простую абстрактную модель. Пусть у нас есть n одинаковых элементов, каждый из которых может находиться в k устойчивых состояниях. Тогда общее число возможных конфигураций равно kⁿ. Ровно столько различных состояний или чисел такая система способна различать.
Но здесь важно учитывать не только количество состояний, но и цену, которую мы за них платим. Чем больше различных значений должен надёжно различать один элемент, тем сложнее физически реализовать и стабилизировать такую систему. Поэтому естественно смотреть не на kⁿ само по себе, а на то, насколько быстро растёт число состояний в пересчёте на один элемент. Эта величина равна k¹ᐟᵏ.
И вот здесь появляется неожиданно красивый факт. Если рассмотреть функцию f(k) = k¹ᐟᵏ для вещественных k > 0, то она достигает максимума при k = e ≈ 2,718 — основании натурального логарифма. Это можно проверить обычным дифференцированием.
Среди целых значений k максимум величины k¹ᐟᵏ достигается при k = 3. То есть система, в которой каждый элемент имеет три состояния, оказывается информационно оптимальной.
Именно поэтому в задачах с гирями переход от двух состояний к трём даёт столь сильный эффект. В двоичной модели каждая гиря даёт 2 состояния, и n гирь покрывают 2ⁿ значений. В сбалансированной троичной каждая гиря даёт 3 состояния, и n гирь покрывают 3ⁿ значений. Этот выигрыш связан не просто с заменой числа 2 на 3, а с тем, что именно 3 — оптимальное целое основание.
При дальнейшем увеличении k число состояний одного элемента продолжает расти, но относительный выигрыш уменьшается. Система становится всё более сложной, а дополнительная информационная отдача — всё менее заметной.
С этой точки зрения выбор основания системы счисления — это всегда баланс между плотностью кодирования и физической реализуемостью. Двоичная система оказалась удобнее для массовой техники, потому что её проще реализовать и стабилизировать. Троичная — привлекательнее с информационной точки зрения, но более требовательна к физической реализации. Различие между ними — не в «правильности», а в том, какой компромисс выбран.
Мы сравнили двоичную и сбалансированную троичную системы и увидели, что троичная при том же числе «физических элементов» позволяет кодировать больше состояний. После этого почти неизбежно возникает вопрос: а можно ли пойти ещё дальше? Что будет, если разрешить каждому элементу не два и не три, а k различных состояний?
Рассмотрим простую абстрактную модель. Пусть у нас есть n одинаковых элементов, каждый из которых может находиться в k устойчивых состояниях. Тогда общее число возможных конфигураций равно kⁿ. Ровно столько различных состояний или чисел такая система способна различать.
Но здесь важно учитывать не только количество состояний, но и цену, которую мы за них платим. Чем больше различных значений должен надёжно различать один элемент, тем сложнее физически реализовать и стабилизировать такую систему. Поэтому естественно смотреть не на kⁿ само по себе, а на то, насколько быстро растёт число состояний в пересчёте на один элемент. Эта величина равна k¹ᐟᵏ.
И вот здесь появляется неожиданно красивый факт. Если рассмотреть функцию f(k) = k¹ᐟᵏ для вещественных k > 0, то она достигает максимума при k = e ≈ 2,718 — основании натурального логарифма. Это можно проверить обычным дифференцированием.
Среди целых значений k максимум величины k¹ᐟᵏ достигается при k = 3. То есть система, в которой каждый элемент имеет три состояния, оказывается информационно оптимальной.
Именно поэтому в задачах с гирями переход от двух состояний к трём даёт столь сильный эффект. В двоичной модели каждая гиря даёт 2 состояния, и n гирь покрывают 2ⁿ значений. В сбалансированной троичной каждая гиря даёт 3 состояния, и n гирь покрывают 3ⁿ значений. Этот выигрыш связан не просто с заменой числа 2 на 3, а с тем, что именно 3 — оптимальное целое основание.
При дальнейшем увеличении k число состояний одного элемента продолжает расти, но относительный выигрыш уменьшается. Система становится всё более сложной, а дополнительная информационная отдача — всё менее заметной.
С этой точки зрения выбор основания системы счисления — это всегда баланс между плотностью кодирования и физической реализуемостью. Двоичная система оказалась удобнее для массовой техники, потому что её проще реализовать и стабилизировать. Троичная — привлекательнее с информационной точки зрения, но более требовательна к физической реализации. Различие между ними — не в «правильности», а в том, какой компромисс выбран.
👍15🔥11❤5
Математика компромиссов
К прошлому посту пришёл интересный комментарий:
«Удивительно, насколько это похоже на зависимость удельной энергии связи атомного ядра от массового числа. Это совпадение или здесь есть фундаментальная связь?»
Короткий ответ: это не совпадение, но и не прямая физическая связь.
Похожей оказывается не формула, а сама математическая ситуация.
Во многих очень разных областях возникает одна и та же схема.
Есть некоторый параметр x — размер системы, число элементов, сложность, основание системы счисления, количество узлов, размер организма…
Есть «выигрыш», который с ростом x увеличивается.
И есть «стоимость» или ограничения, которые тоже растут по мере увеличения x.
Пока выигрыш растёт быстрее, эффективность увеличивается. Когда ограничения начинают доминировать, эффективность падает.
На графике это почти всегда выглядит одинаково: сначала рост, затем максимум, а потом медленный спад.
В задачах про системы счисления это проявляется так. Чем больше состояний у одного разряда, тем больше информации он несёт. Но чем больше этих состояний, тем труднее физически различать и устойчиво поддерживать каждое из них. В результате оптимум достигается при трёх состояниях.
В ядерной физике действует похожая логика. Добавление нуклонов увеличивает суммарную энергию связи. Но поверхностные эффекты, кулоновское отталкивание и асимметрия начинают уменьшать выигрыш на один нуклон. В итоге максимум приходится на ядра около железа.
В биологии наблюдается та же структура. Метаболизм растёт с массой организма, но не линейно. Крупные организмы в среднем эффективнее мелких, однако бесконечно увеличивать размер нельзя — ограничения постепенно перевешивают.
Похожие кривые возникают и в экономике. Рост фирмы повышает производительность за счёт масштаба. Но слишком большие организации теряют гибкость, растут издержки управления, и относительная эффективность снижается.
В сетях и инфраструктуре — то же самое. Добавление узлов расширяет возможности. Но сложность координации растёт ещё быстрее.
Формулы при этом везде разные. В системах счисления появляется k¹ᐟᵏ. В ядерной физике — суммы степенных членов. В биологии — степенные законы. В экономике — эмпирические зависимости.
Совпадают не формулы. Совпадает тип задачи.
Это задачи на оптимизацию: максимизировать отношение вроде «выигрыш / стоимость» или сбалансировать несколько конкурирующих эффектов.
Такие задачи почти неизбежно рождают кривые с максимумом. Поэтому здесь уместнее говорить не о скрытой универсальной формуле, а об универсальной математике компромиссов.
Математика компромиссов в сущности оказывается математикой пределов. Она говорит о том, где заканчивается рост, где начинается плата за сложность и почему гармония возникает не из стремления параметров к пределу, а из баланса сил, который математически проявляется как экстремум. Такие графики формируют полезную интеллектуальную привычку: если что-то растёт слишком хорошо, стоит спросить, какой ценой — и почти всегда оказывается, что цена существует. Часто оптимальное решение находится не на краю шкалы, а между крайностями. В этом смысле математика здесь говорит не столько о величинах, сколько о границах возможного. Это напоминание универсально: прежде чем наращивать систему, полезно задуматься, в какой момент она перестанет выигрывать от собственного роста. Оптимумы возникают не потому, что мир стремится к совершенству, а потому, что у него есть пределы.
К прошлому посту пришёл интересный комментарий:
«Удивительно, насколько это похоже на зависимость удельной энергии связи атомного ядра от массового числа. Это совпадение или здесь есть фундаментальная связь?»
Короткий ответ: это не совпадение, но и не прямая физическая связь.
Похожей оказывается не формула, а сама математическая ситуация.
Во многих очень разных областях возникает одна и та же схема.
Есть некоторый параметр x — размер системы, число элементов, сложность, основание системы счисления, количество узлов, размер организма…
Есть «выигрыш», который с ростом x увеличивается.
И есть «стоимость» или ограничения, которые тоже растут по мере увеличения x.
Пока выигрыш растёт быстрее, эффективность увеличивается. Когда ограничения начинают доминировать, эффективность падает.
На графике это почти всегда выглядит одинаково: сначала рост, затем максимум, а потом медленный спад.
В задачах про системы счисления это проявляется так. Чем больше состояний у одного разряда, тем больше информации он несёт. Но чем больше этих состояний, тем труднее физически различать и устойчиво поддерживать каждое из них. В результате оптимум достигается при трёх состояниях.
В ядерной физике действует похожая логика. Добавление нуклонов увеличивает суммарную энергию связи. Но поверхностные эффекты, кулоновское отталкивание и асимметрия начинают уменьшать выигрыш на один нуклон. В итоге максимум приходится на ядра около железа.
В биологии наблюдается та же структура. Метаболизм растёт с массой организма, но не линейно. Крупные организмы в среднем эффективнее мелких, однако бесконечно увеличивать размер нельзя — ограничения постепенно перевешивают.
Похожие кривые возникают и в экономике. Рост фирмы повышает производительность за счёт масштаба. Но слишком большие организации теряют гибкость, растут издержки управления, и относительная эффективность снижается.
В сетях и инфраструктуре — то же самое. Добавление узлов расширяет возможности. Но сложность координации растёт ещё быстрее.
Формулы при этом везде разные. В системах счисления появляется k¹ᐟᵏ. В ядерной физике — суммы степенных членов. В биологии — степенные законы. В экономике — эмпирические зависимости.
Совпадают не формулы. Совпадает тип задачи.
Это задачи на оптимизацию: максимизировать отношение вроде «выигрыш / стоимость» или сбалансировать несколько конкурирующих эффектов.
Такие задачи почти неизбежно рождают кривые с максимумом. Поэтому здесь уместнее говорить не о скрытой универсальной формуле, а об универсальной математике компромиссов.
Математика компромиссов в сущности оказывается математикой пределов. Она говорит о том, где заканчивается рост, где начинается плата за сложность и почему гармония возникает не из стремления параметров к пределу, а из баланса сил, который математически проявляется как экстремум. Такие графики формируют полезную интеллектуальную привычку: если что-то растёт слишком хорошо, стоит спросить, какой ценой — и почти всегда оказывается, что цена существует. Часто оптимальное решение находится не на краю шкалы, а между крайностями. В этом смысле математика здесь говорит не столько о величинах, сколько о границах возможного. Это напоминание универсально: прежде чем наращивать систему, полезно задуматься, в какой момент она перестанет выигрывать от собственного роста. Оптимумы возникают не потому, что мир стремится к совершенству, а потому, что у него есть пределы.
🔥21❤7👍6
Империи как задача оптимизации
Применимо ли подобное рассуждение к социальным системам — например, к государствам?
Любая расширяющаяся держава сначала выигрывает от роста.
Больше территории — больше ресурсов.
Больше населения — больше налогов и солдат.
Больше связей — выше торговый оборот.
Больше влияния — выше безопасность.
Рост напрямую конвертируется в силу.
Но у роста есть и другая сторона. Управление становится сложнее. Коммуникации удлиняются. Контроль требует всё большего аппарата. Растёт коррупция, инерция, внутренние противоречия. Цена поддержания порядка увеличивается быстрее, чем раньше.
Пока выигрыш от расширения превышает цену, система растёт.
Когда выигрыш и цена сравниваются, рост замедляется.
Когда цена начинает превышать выигрыш, рост перестаёт быть источником силы.
Это и есть точка максимума эффективности.
Она не обязана выглядеть как «пик территории» или «пик населения». Чаще это момент, после которого любое новое расширение делает систему менее устойчивой.
И здесь не требуется никаких специальных исторических теорий. Работает та же самая логика компромиссов, что и в физике, биологии или теории информации.
Империи гибнут не «из-за пороков», не из-за отдельных ошибочных решений и не просто из-за внешних ударов вроде войн или вторжений. Чаще война становится последним толчком для системы, уже вошедшей в область собственной уязвимости.
Личности могут ускорять или замедлять процесс, но они не меняют форму кривой.
Попытка ответить на нарастающую сложность ещё большим усложнением — разрастанием бюрократии, созданием новых уровней управления, стремлением всё регламентировать и контролировать, наращиванием силовых структур, внешней экспансией — часто приносит кратковременное ощущение управляемости, но резко увеличивает будущую цену.
Система начинает тратить всё большую долю ресурсов не на развитие, а на поддержание самой себя.
С этого момента историю обычно описывают словами «стагнация», «кризис», «распад». Но математически это всего лишь движение по нисходящей ветви той же кривой.
Важно подчеркнуть: здесь нет попытки построить модель, вычислять траектории или спорить с различными философиями истории. Это не теория исторического процесса. Это применение очень общего и универсального принципа к ещё одной области.
История при таком взгляде оказывается не чередой моральных уроков и не набором случайностей, а последовательностью столкновений сложных систем с их собственными пределами.
В этом смысле государства, как и системы счисления, как и живые организмы, подчиняются одному и тому же закону:
рост полезен, но не бесконечно.
И тогда главный объект исследования смещается.
Это уже не сами системы, не их достижения и не их ошибки. Это границы их устойчивости.
Математика компромиссов в конечном счёте сводится к простой идее:
устойчивость возможна только там, где сохраняется баланс.
Применимо ли подобное рассуждение к социальным системам — например, к государствам?
Любая расширяющаяся держава сначала выигрывает от роста.
Больше территории — больше ресурсов.
Больше населения — больше налогов и солдат.
Больше связей — выше торговый оборот.
Больше влияния — выше безопасность.
Рост напрямую конвертируется в силу.
Но у роста есть и другая сторона. Управление становится сложнее. Коммуникации удлиняются. Контроль требует всё большего аппарата. Растёт коррупция, инерция, внутренние противоречия. Цена поддержания порядка увеличивается быстрее, чем раньше.
Пока выигрыш от расширения превышает цену, система растёт.
Когда выигрыш и цена сравниваются, рост замедляется.
Когда цена начинает превышать выигрыш, рост перестаёт быть источником силы.
Это и есть точка максимума эффективности.
Она не обязана выглядеть как «пик территории» или «пик населения». Чаще это момент, после которого любое новое расширение делает систему менее устойчивой.
И здесь не требуется никаких специальных исторических теорий. Работает та же самая логика компромиссов, что и в физике, биологии или теории информации.
Империи гибнут не «из-за пороков», не из-за отдельных ошибочных решений и не просто из-за внешних ударов вроде войн или вторжений. Чаще война становится последним толчком для системы, уже вошедшей в область собственной уязвимости.
Личности могут ускорять или замедлять процесс, но они не меняют форму кривой.
Попытка ответить на нарастающую сложность ещё большим усложнением — разрастанием бюрократии, созданием новых уровней управления, стремлением всё регламентировать и контролировать, наращиванием силовых структур, внешней экспансией — часто приносит кратковременное ощущение управляемости, но резко увеличивает будущую цену.
Система начинает тратить всё большую долю ресурсов не на развитие, а на поддержание самой себя.
С этого момента историю обычно описывают словами «стагнация», «кризис», «распад». Но математически это всего лишь движение по нисходящей ветви той же кривой.
Важно подчеркнуть: здесь нет попытки построить модель, вычислять траектории или спорить с различными философиями истории. Это не теория исторического процесса. Это применение очень общего и универсального принципа к ещё одной области.
История при таком взгляде оказывается не чередой моральных уроков и не набором случайностей, а последовательностью столкновений сложных систем с их собственными пределами.
В этом смысле государства, как и системы счисления, как и живые организмы, подчиняются одному и тому же закону:
рост полезен, но не бесконечно.
И тогда главный объект исследования смещается.
Это уже не сами системы, не их достижения и не их ошибки. Это границы их устойчивости.
Математика компромиссов в конечном счёте сводится к простой идее:
устойчивость возможна только там, где сохраняется баланс.
🔥8❤7👍6🥴1
Парадокс пружины: 1 = ½?
Мысленный эксперимент. На вертикально стоящую на столе пружину жёсткости k кладём сверху груз массы m. Пружина сжимается на x.
1. Сила тяжести уравновешена силой упругости:
mg = kx. (1)
2. Груз опустился на x, значит потерял потенциальную энергию mgx. Эта энергия перешла в энергию пружины:
mgx = ½ kx². (2)
Поделим (2) на x:
mg = ½ kx. (3)
Совмещаем (1) и (3):
kx = ½ kx ⇒ 1 = ½.
Где ошибка?
Мысленный эксперимент. На вертикально стоящую на столе пружину жёсткости k кладём сверху груз массы m. Пружина сжимается на x.
1. Сила тяжести уравновешена силой упругости:
mg = kx. (1)
2. Груз опустился на x, значит потерял потенциальную энергию mgx. Эта энергия перешла в энергию пружины:
mgx = ½ kx². (2)
Поделим (2) на x:
mg = ½ kx. (3)
Совмещаем (1) и (3):
kx = ½ kx ⇒ 1 = ½.
Где ошибка?
❤2🔥2
Объяснение парадокса
Что означает формула mg = kx?
Это условие статического равновесия. Тело покоится, ускорение равно нулю. Обозначим это сжатие как xₛₜ— статическое.
Что означает формула mgx = ½ kx²?
Если груз положить на пружину и отпустить, он начнёт двигаться вниз, проскочит точку равновесия с максимальной скоростью и остановится лишь в самой нижней точке.
Именно для этой нижней точки (где скорость снова равна нулю) справедливо равенство энергий.
Обозначим это максимальное сжатие как xₘₐₓ.
Для него верно:
mg xₘₐₓ = ½ k xₘₐₓ².
Из уравнений:
mg = k xₛₜ,
mg xₘₐₓ = ½ k xₘₐₓ²
легко получить:
xₘₐₓ = 2 xₛₜ.
То есть динамическое максимальное сжатие в два раза больше статического.
Где возник «парадокс»?
В подстановке одного и того же x сразу в две формулы, которые описывают разные физические ситуации.
mg = kx — покой;
mgx = ½ kx² —мгновенная остановка в колебательном движении.
Законы верны. Парадокс возник из-за смешения режимов.
А что происходит на самом деле?
Если просто отпустить груз, система начнёт колебаться между точками x = 0 и xₘₐₓ = 2xₛₜ. В точке xₛₜ но кинетическая энергия максимальна — именно она и «потерялась» в наивном энергетическом рассуждении.
Из-за трения колебания постепенно затухнут, и груз в итоге остановится в точке статического равновесия
xₛₜ, а лишняя энергия ½ k xₛₜ² рассеется в виде тепла.
Что означает формула mg = kx?
Это условие статического равновесия. Тело покоится, ускорение равно нулю. Обозначим это сжатие как xₛₜ— статическое.
Что означает формула mgx = ½ kx²?
Если груз положить на пружину и отпустить, он начнёт двигаться вниз, проскочит точку равновесия с максимальной скоростью и остановится лишь в самой нижней точке.
Именно для этой нижней точки (где скорость снова равна нулю) справедливо равенство энергий.
Обозначим это максимальное сжатие как xₘₐₓ.
Для него верно:
mg xₘₐₓ = ½ k xₘₐₓ².
Из уравнений:
mg = k xₛₜ,
mg xₘₐₓ = ½ k xₘₐₓ²
легко получить:
xₘₐₓ = 2 xₛₜ.
То есть динамическое максимальное сжатие в два раза больше статического.
Где возник «парадокс»?
В подстановке одного и того же x сразу в две формулы, которые описывают разные физические ситуации.
mg = kx — покой;
mgx = ½ kx² —мгновенная остановка в колебательном движении.
Законы верны. Парадокс возник из-за смешения режимов.
А что происходит на самом деле?
Если просто отпустить груз, система начнёт колебаться между точками x = 0 и xₘₐₓ = 2xₛₜ. В точке xₛₜ но кинетическая энергия максимальна — именно она и «потерялась» в наивном энергетическом рассуждении.
Из-за трения колебания постепенно затухнут, и груз в итоге остановится в точке статического равновесия
xₛₜ, а лишняя энергия ½ k xₛₜ² рассеется в виде тепла.
👍11❤6🔥5👏2🎉1
Применение алгебры Жегалкина для решения логических задач
Из книги С.В. Буфеев, И.С. Буфеев «Основы математической логики и теории множеств»
Задача 1. Алёша, Илья и Добрыня нашли в земле хорошо сохранившийся стеклянный сосуд с жидкостью. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения:
Алёша: «Это сосуд французский и имеет 5 звёздочек».
Илья: «Это сосуд испанский и имеет 3 звёздочки».
Добрыня: «Это сосуд не французский и имеет 4 звёздочки».
Змей Горыныч объяснил ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений.
Где изготовлен сосуд и во сколько звёздочек оценивается его качество?
Решение. Обозначим высказывания:
«Сосуд — французский» — F,
«Сосуд — испанский» — S,
«Сосуд имеет n звёздочек» — Zₙ.
Условие задачи можно записать в виде:
(F ⊕ Z₅) (S ⊕ Z₃) (F ⊕ 1 ⊕ Z₄) = 1.
Упростим левую часть равенства.
(F ⊕ Z₅) (S ⊕ Z₃) (F ⊕ 1 ⊕ Z₄) =
= (F S ⊕ F Z₃ ⊕ Z₅ S ⊕ Z₅ Z₃) (F ⊕ Z₄ ⊕ 1) =
= F Z₃ ⊕ S Z₅ = 1.
Получившееся равенство возможно в двух случаях:
F = 1, Z₃ = 1, S = 0, Z₅ = 0
или
S = 1, Z₅ = 1, F = 0, Z₃ = 0.
Однако первый случай не реализуется, ибо третий множитель исходной формулы при этом даёт решение Z₄ = 1, что невозможно при Z₃ = 1. Поэтому S = 1, Z₅ = 1.
Ответ: сосуд испанский, 5 звёздочек.
Задача 2. По подозрению в совершении преступления задержали Брауна, Джонса и Смита.
Браун: «Я совершил это. Джонс не виноват».
Джонс: «Браун не виноват. Преступление совершил Смит».
Смит: «Я не виноват. Виновен Браун».
В процессе следствия выяснилось, что у одного из подозреваемых оба утверждения ложны, у другого одно истинно, а другое ложно, у третьего оба истинны, а также что преступник только один. Требуется определить имя преступника и выяснить, кто говорил правду, а кто нет.
Решение. Обозначим буквами B, J, S соответственно высказывания «Виноват Браун», «Виноват Джонс», «Виноват Смит». Тогда утверждения, высказанные задержанными, можно записать в виде конъюнкций B ¬J, ¬B S, B ¬S, из которых по условию задачи две ложны, а одна истинна. Истинной будет формула
F = B ¬J ∨ ¬B S ∨ B ¬S = 1.
Упростим её:
F = B (J⊕1) ∨ (B⊕1) S ∨ B (S⊕1) =
= B ∨ S ∨ B = B ∨ S = 1.
Значит, преступление совершил Браун или Смит. Предположим, преступник Браун. Тогда из трёх конъюнкций, составляющих функцию F, истинными будут две. А это противоречит условию задачи. Поэтому B = 0, и очевидно, S = 1 удовлетворяет условию задачи.
Ответ: преступник — Смит, оба его высказывания ложны, у Брауна одно высказывание ложно, другое нет, Джонс сказал правду.
Задача 3. Один из пяти братьев разбил окно.
— Это мог сделать только или Виктор, или Сергей, — сказал Андрей.
— Я окно не разбивал, — возразил Виктор, — и Егор тоже.
— Вы оба говорите неправду, — заявил Сергей.
— Нет, Сергей, один из них сказал правду, а другой сказал неправду, — возразил Дмитрий.
— Ты, Дмитрий, неправ, — вмешался Егор.
Их отец, которому, конечно, можно доверять, уверен, что трое братьев сказали правду. Кто разбил окно?
Решение. Введём логические переменные A, B, C, D, E, определяющие, кто из братьев разбил окно, — соответственно Андрей, Виктор, Сергей, Дмитрий, Егор.
Запишем алгебраически высказывания братьев:
Андрей: a = B ⊕ C,
Виктор: b = ¬B ¬E = (B⊕1)(E⊕1) = B⊕E⊕1 = A⊕C⊕D.
(Мы воспользовались тем, что B E = 0, поскольку по условию задачи окно разбил только один из братьев.)
Сергей: c = ¬a ¬b = ¬(B⊕C) ¬(¬B ¬E) =
= ¬B ¬C (B⊕E) = ¬B ¬C E = E.
Дмитрий: d = a ¬b ⊕ ¬a b =
= (B⊕C) ¬(¬B ¬E) ⊕ ¬(B⊕C) (¬B ¬E) =
= (B⊕C) (B⊕E) ⊕ ¬B ¬C ¬B ¬E =
= B ⊕ (B E) ⊕ (B C) ⊕ (C E) ⊕ ¬B ¬C ¬E =
= B ⊕ (B⊕1)(C⊕1)(E⊕1) =
= B ⊕ (B ⊕ C ⊕ E ⊕ 1) = B ⊕ C ⊕ E ⊕ 1 = A ⊕ D.
Егор: e = ¬d = ¬(A ⊕ D) = B ⊕ C ⊕ E.
По условию задачи, трое братьев сказали правду. Образуем из формул a, b, c, d, e конъюнкции, беря в каждую по три формулы:
abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.
Поскольку a и c, b и c, c и d в конъюнкции дают противоречия, то из десяти сочетаний оставляем только три: abd, abe и bde. Легко видеть, что
abd = (B⊕C) (A⊕C⊕D) (A⊕D) = 0,
bde = (A⊕C⊕D) (A⊕D) (B⊕C⊕E) = 0,
abe = (B⊕C) (A⊕C⊕D) (B⊕C⊕E) = 1 при C = 1.
Ответ: стекло разбил Сергей.
Из книги С.В. Буфеев, И.С. Буфеев «Основы математической логики и теории множеств»
Задача 1. Алёша, Илья и Добрыня нашли в земле хорошо сохранившийся стеклянный сосуд с жидкостью. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения:
Алёша: «Это сосуд французский и имеет 5 звёздочек».
Илья: «Это сосуд испанский и имеет 3 звёздочки».
Добрыня: «Это сосуд не французский и имеет 4 звёздочки».
Змей Горыныч объяснил ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений.
Где изготовлен сосуд и во сколько звёздочек оценивается его качество?
Решение. Обозначим высказывания:
«Сосуд — французский» — F,
«Сосуд — испанский» — S,
«Сосуд имеет n звёздочек» — Zₙ.
Условие задачи можно записать в виде:
(F ⊕ Z₅) (S ⊕ Z₃) (F ⊕ 1 ⊕ Z₄) = 1.
Упростим левую часть равенства.
(F ⊕ Z₅) (S ⊕ Z₃) (F ⊕ 1 ⊕ Z₄) =
= (F S ⊕ F Z₃ ⊕ Z₅ S ⊕ Z₅ Z₃) (F ⊕ Z₄ ⊕ 1) =
= F Z₃ ⊕ S Z₅ = 1.
Получившееся равенство возможно в двух случаях:
F = 1, Z₃ = 1, S = 0, Z₅ = 0
или
S = 1, Z₅ = 1, F = 0, Z₃ = 0.
Однако первый случай не реализуется, ибо третий множитель исходной формулы при этом даёт решение Z₄ = 1, что невозможно при Z₃ = 1. Поэтому S = 1, Z₅ = 1.
Ответ: сосуд испанский, 5 звёздочек.
Задача 2. По подозрению в совершении преступления задержали Брауна, Джонса и Смита.
Браун: «Я совершил это. Джонс не виноват».
Джонс: «Браун не виноват. Преступление совершил Смит».
Смит: «Я не виноват. Виновен Браун».
В процессе следствия выяснилось, что у одного из подозреваемых оба утверждения ложны, у другого одно истинно, а другое ложно, у третьего оба истинны, а также что преступник только один. Требуется определить имя преступника и выяснить, кто говорил правду, а кто нет.
Решение. Обозначим буквами B, J, S соответственно высказывания «Виноват Браун», «Виноват Джонс», «Виноват Смит». Тогда утверждения, высказанные задержанными, можно записать в виде конъюнкций B ¬J, ¬B S, B ¬S, из которых по условию задачи две ложны, а одна истинна. Истинной будет формула
F = B ¬J ∨ ¬B S ∨ B ¬S = 1.
Упростим её:
F = B (J⊕1) ∨ (B⊕1) S ∨ B (S⊕1) =
= B ∨ S ∨ B = B ∨ S = 1.
Значит, преступление совершил Браун или Смит. Предположим, преступник Браун. Тогда из трёх конъюнкций, составляющих функцию F, истинными будут две. А это противоречит условию задачи. Поэтому B = 0, и очевидно, S = 1 удовлетворяет условию задачи.
Ответ: преступник — Смит, оба его высказывания ложны, у Брауна одно высказывание ложно, другое нет, Джонс сказал правду.
Задача 3. Один из пяти братьев разбил окно.
— Это мог сделать только или Виктор, или Сергей, — сказал Андрей.
— Я окно не разбивал, — возразил Виктор, — и Егор тоже.
— Вы оба говорите неправду, — заявил Сергей.
— Нет, Сергей, один из них сказал правду, а другой сказал неправду, — возразил Дмитрий.
— Ты, Дмитрий, неправ, — вмешался Егор.
Их отец, которому, конечно, можно доверять, уверен, что трое братьев сказали правду. Кто разбил окно?
Решение. Введём логические переменные A, B, C, D, E, определяющие, кто из братьев разбил окно, — соответственно Андрей, Виктор, Сергей, Дмитрий, Егор.
Запишем алгебраически высказывания братьев:
Андрей: a = B ⊕ C,
Виктор: b = ¬B ¬E = (B⊕1)(E⊕1) = B⊕E⊕1 = A⊕C⊕D.
(Мы воспользовались тем, что B E = 0, поскольку по условию задачи окно разбил только один из братьев.)
Сергей: c = ¬a ¬b = ¬(B⊕C) ¬(¬B ¬E) =
= ¬B ¬C (B⊕E) = ¬B ¬C E = E.
Дмитрий: d = a ¬b ⊕ ¬a b =
= (B⊕C) ¬(¬B ¬E) ⊕ ¬(B⊕C) (¬B ¬E) =
= (B⊕C) (B⊕E) ⊕ ¬B ¬C ¬B ¬E =
= B ⊕ (B E) ⊕ (B C) ⊕ (C E) ⊕ ¬B ¬C ¬E =
= B ⊕ (B⊕1)(C⊕1)(E⊕1) =
= B ⊕ (B ⊕ C ⊕ E ⊕ 1) = B ⊕ C ⊕ E ⊕ 1 = A ⊕ D.
Егор: e = ¬d = ¬(A ⊕ D) = B ⊕ C ⊕ E.
По условию задачи, трое братьев сказали правду. Образуем из формул a, b, c, d, e конъюнкции, беря в каждую по три формулы:
abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.
Поскольку a и c, b и c, c и d в конъюнкции дают противоречия, то из десяти сочетаний оставляем только три: abd, abe и bde. Легко видеть, что
abd = (B⊕C) (A⊕C⊕D) (A⊕D) = 0,
bde = (A⊕C⊕D) (A⊕D) (B⊕C⊕E) = 0,
abe = (B⊕C) (A⊕C⊕D) (B⊕C⊕E) = 1 при C = 1.
Ответ: стекло разбил Сергей.
🔥18❤8👍5