Готовы к труду и котообороне!

В 19:30 урок с 11 классом❤️
Егэшки вы тут?

Всем любителям профильной математики привет ❤️
Темой нашего вечернего разговора станет первообразная! Пошушкаемся?

Первообразная: Кто такая "мама" для функции и как это решает 8 номер на ЕГЭ?
Давайте поговорим о первообразной — одно из самых сложных понятий в контексте 8 задания ЕГЭ. Многие пугаются этого слова, но на самом деле все очень просто, если провести верную аналогию.

Формальное определение, которое стоит увидеть:

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для любого x из этого промежутка выполняется равенство: F'(x) = f(x)

✉️ Дифференцирование и интегрирование.Процессы-близнецы.

Давайте разберемся с главными операциями:
🔺Дифференцирование — это процесс нахождения производной (F(x) → f(x) и с этим вы знакомы).
🔺Интегрирование (нахождение первообразной) — это обратный процесс (f(x) → F(x)).
Эти две операции взаимно обратны, как сложение и вычитание, или умножение и деление.

📐 Обозначение интегрирования
Процесс нахождения первообразной записывается специальным знаком — интегралом:

∫ f(x) dx = F(x) + C

где:
∫ — знак интеграла
f(x) — подынтегральная функция (та, для которой ищем «маму»)
dx — указывает, по какой переменной ищем («дифференциал икс»)
C — постоянная интегрирования, или константа.

Что это значит?
Перед вами неопределенный интеграл. Его результат — это не одна функция, а целое семейство первообразных.
Пример: ∫ 2x dx = x² + C
Это целое семейство: x², x² + 1, x² - 5... или, короче, x² + C.

❤️Проверка: Если вы возьмете производную от любой из этих функций (x² + C)' = 2x, вы всегда вернетесь к исходной f(x).

А что же на ЕГЭ?
На экзамене нас в первую очередь интересуют определенные интегралы.
Их главное отличие:
Задается отрезок — пределы интегрирования, которые x «пробегает» (например, от a до b).
На выходе — конкретное число, а не семейство функций.
Смысл этого числа — площадь под графиком функции, и именно об этом мы подробно поговорим дальше.

❤️ А теперь разберемся кто есть кто: Функция-«дочка» и ее Первообразная-«мама»

В ЕГЭ по профильной математике вас не заставят вручную брать интегралы. От вас требуется не техника интегрирования, а понимание связи функции и первообразной. И вот самая лучшая аналогия для этого:

🔺Функция f(x) — это наша «дочка».
🔺Ее первообразная F(x) — это «мама».

Как это работает в нашей аналогии?
Производная — это «дочка», которая получила какие-то черты от «мамы». То есть, F'(x) = f(x).
Если мы знаем «маму» F(x), то, взяв производную, мы всегда найдем «дочку» f(x).

А что делает заботливая мама? Она накапливает лучшее для своей дочки.
В математике это «накопление» — это ПЛОЩАДЬ под графиком функции-«дочки» f(x).
Таким образом, разность F(B) - F(A) — это то, сколько «мама» накопила для «дочки» на промежутке от точки A до точки B. И это количество в геометрии равно площади под графиком f(x) на отрезке [A; B].

⭐️ Это и есть наша главная формула для 8 номера:
F(B) - F(A) = Площадь под графиком f(x) от A до B

Смотрите на мою любимую гифку, она идеально показывает, как работает интеграл! Давайте разберем ее по кадрам.

⬆️Сверху: Пустые координаты (x, F(x)), где будет строиться график первообразной F(x) (наша «мама»).
⬇️Снизу: График функции f(x) (наша «дочка»). Под ним мы начинаем «сканировать» площадь, двигаясь слева направо.

🎲 Как это работает:

1️⃣Мы берем первую узкую полоску площади под графиком f(x) и измеряем ее.
2️⃣Это значение переносится на правый график в виде точки. Ее координата y — это именно та накопленная площадь, которую мы насчитали к текущему моменту x. Фактически, это и есть значение первообразной F(x) в этой точке!
3️⃣Процесс повторяется. Мы берем следующую порцию площади под f(x), прибавляем ее к предыдущей и «отмечаем» новое, возросшее значение на правом графике.

⭐️Главный вывод, который делает гифка:
Траектория, которую вырисовывают эти точки на правом графике, — это и есть график первообразной F(x)!

Почему это гениально:
🔺Если f(x) растет (больше площадь в единицу времени), то F(x) круто взлетает вверх.
🔺Если f(x) падает, то F(x) растет, но все медленнее.
🔺Если f(x) отрицательна, мы начинаем «забирать» площадь назад, и график F(x) убывает.

Эта гифка — прямое доказательство той самой связи:
«Накопленная площадь под f(x) = Значение первообразной F(x)».
Теперь вы не просто знаете формулу, а видите ее в действии!💖

Вы можете не понять половину или даже больше (и это нормально), самое главное на ЕГЭ простыми словами:
✨ Первообразная — это та функция, от которой брали производную.
✨ Определенный интеграл — это площадь под графиком.

Давайте зафиксируем именно эти две мысли, а уже завтра я поделюсь с вами алгоритмами решения задач №8 в красивых карточках, ну и, конечно же, разберем примеры!
Согласны? - ❤️

Всем любителям профильной математики привет💖

Сегодня нам с вами предстоит раскрыть одно запутанное дело. Нам стало известно, что некий Похититель Спокойствия спрятал наши баллы. Все, что у нас есть — одна-единственная улика, оставленная им: √1849.
Преступник заявил, что это номер секретной ячейки, где лежат наши баллы. Он уверен, что вы не справитесь. Но мы-то знаем, что нет такой шифровки, которую нельзя было бы взломать с помощью математики! Ведь этот корень — на самом деле целое число. И мы его найдем.

1️⃣Фаза 1: Изучение улики (Анализ последней цифры)

Наша улика — число 1849. Начнем, как и полагается в хорошем расследовании, с деталей. Пристально посмотрим на последнюю цифру — это отпечаток пальцев нашего таинственного числа.

⭐️ Вопрос: какие числа, будучи возведенными в квадрат (то есть «умножившись сами на себя»), оставляют на месте «преступления» цифру 9?

Поднимаем архив квадратов:
🔺0² = 0 (оканчивается на 0)
🔺1² = 1 (оканчивается на 1)
🔺2² = 4 (оканчивается на 4)
🔺3² = 9 ← Найдено! Число оканчивается на 3.
🔺4² = 16 (оканчивается на 6)
🔺5² = 25 (оканчивается на 5)
🔺6² = 36 (оканчивается на 6)
🔺7² = 49 ← И снова! Число оканчивается на 7.
🔺8² = 64 (оканчивается на 4)
🔺9² = 81 (оканчивается на 1)
Профиль преступника сузился: загадочное число, которое мы ищем, должно оканчиваться либо на 3, либо на 7.

2️⃣Фаза 2: Определение круга подозреваемых (Анализ первых цифр)

Преступник хитер, но мы хитрее. Чтобы найти число, нужно определить его «группу». Мысленно зачеркиваем две последние цифры в нашей улике. Из 18|49 у нас остается 18.

⭐️ Теперь вопрос: какое самое большое целое число, квадрат которого не превышает 18? Это поможет нам найти «десятки» нашего числа.
🔺4² = 16(16 ≤ 18 — подходит)
🔺5² = 25 (25 > 18 — уже перебор)
Отлично! Это значит, что наше число лежит в диапазоне от 40 до 49, то есть начинается с 4. Мы нашли его «оперативный приказ».

3️⃣Фаза 3: Задержание и опознание (Проверка кандидатов)

У нас есть два главных подозреваемых, которые находятся в диапазоне от 40 до 49 и соответствуют «отпечатку пальца» (последней цифре):

1. Подозреваемый №1: Число, оканчивающееся на 3 → 43.
2. Подозреваемый №2: Число, оканчивающееся на 7 → 47.

Осталось провести очную ставку — проверить каждого. Мы заставляем их «повторить преступление», то есть возводим в квадрат и смотрим, получится ли наша улика 1849.
✔️ Проверка №43: 43² = (40 + 3)² = 1600 + 2*40*3 + 9 = 1600 + 240 + 9 = 1849. ✔️Совпадение полное!
✔️ Проверка №47: 47² = (50 - 3)² = 2500 - 2*50*3 + 9 = 2500 - 300 + 9 = 2209. Не сходится.

Дело раскрыто!Преступник спрятал баллы в ячейке номер 43.

Что же в итоге, мои юные Шерлоки?❤️
Вы не просто извлекли корень. Вы провели полноценное математическое расследование. Давайте закрепим ваш оперативный алгоритм для будущих дел:
1️⃣ Увидели квадрат большого числа → включите режим детектива.
2️⃣Изучите «отпечаток пальца» — последнюю цифру. Она даст возможные последние цифры ответа.
3️⃣Определите «группу причастных» — отбросьте две последние цифры и найдите ближайший меньший квадрат. Это даст вам первые цифры ответа.
4️⃣Проведите «очную ставку» — проверьте числа-кандидаты возведением в квадрат. Только один из них окажется настоящим «преступником».

Этот метод — наше тайное оружие на ЕГЭ.

✨ Где это может понадобиться? Прямо в первой части ЕГЭ!
Вы думали, что наша детективная история с корнями — это просто интересный трюк? А вот и нет! Этот навык может стать вашим секретным оружием в, казалось бы, не связанных с этим задачах. Рассмотрим Задание №10 из первой части:

«Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.»

Ты ещё сомневаешься — а вдруг не подойдёт?

Я развею твои сомнения. Попробуй полную версию обучения на неделю бесплатно. Не урезанную, а точно такую же, как у наших учеников. Чтобы ты сам всё прочувствовал.

Что будет на этой пробной неделе?
💚Ты посидишь на настоящих онлайн-уроках
💚 Сделаешь домашки
💚 Попробуешь сдать пробник
💚 Побудешь на нашей ИИ-платформе и зайдешь в общий чат.

Попробуй. Вдруг это именно то, что ты искал?

Всем любителям профильной математики привет 💖

На днях я задумалась о том, как нужно учить математику, чтобы она по-настоящему училась. Я ведь тоже когда-то была на вашем месте, да и сейчас постоянно осваиваю что-то новое. Порой кажется, что всё это невозможно уложить в голове, особенно когда время ограничено.

Но со временем я поняла: всё становится проще, когда находишь свой подход. За годы преподавания я выработала для себя и своих учеников несколько важных принципов. Я училась не просто пересказывать теорию, а показывать, как думает математик: как читать условие, с чего начинать решение, на что обращать внимание.

Вы наверняка замечали: то, что один схватывает на лету, другой разбирает несколько часов. Это не вопрос ума, а вопрос подхода. У каждого мозга свой формат усвоения информации.

Типичные проблемы при изучении математики

1️⃣Формальное понимание. Формулы заучиваются без понимания их смысла и связи с реальностью. В результате любое нестандартное условие в задаче ставит в тупик.
2️⃣Пробелы в базе. Математика системна. Не усвоив одну тему ,например, дроби, вы не поймете следующую.Проблемы накапливаются как снежный ком, здесь важно осознать вовремя что проблема есть!
3️⃣Отсутствие практики.Теория, не подкрепленная решением задач, быстро забывается. Математика учится руками.
4️⃣Страх ошибки. Боязнь неправильного ответа парализует, у меня есть личный опыт в физике и английском языке. Страх неудачи всегда заставлял на уроках робеть, в результате я не решалась пробовать сложные задачи или углубляться в тему.
5️⃣Непонимание терминов. Слова «доказать», «упростить», «вывести» - это конкретные инструкции. Если их значение размыто, непонятно, что именно требуется сделать.
Все эти пункты не чужды каждому из нас, поэтому я предлагаю обратиться к стилям обучения.Мы все очень разные и универсальной таблетки нет, но вы можете взять некоторые советы себе в копилку или предложить свои.

✉️Что такое когнитивный стиль?
Это не уровень способностей, а скорее манера думать: как вы воспринимаете, анализируете и запоминаете. Выделяют несколько пар стилей

Импульсивный или рефлексивный?
🔺Импульсивный склонен быстро давать ответ, часто ошибается в мелочах.
🔺Рефлексивный долго обдумывает, но действует точнее.(Я ближе к этому)

Что делать?
⭐️ Если вы импульсивны, приучите себя к паузе перед ответом. Спросите: «Я проверил все шаги? Я перечитал вопрос задачи? Я точно совершаю равносильный переход? Формула применена верно?»
⭐️ Если вы рефлексивны, тренируйтесь решать на время и учитесь отделять сложные задачи от тех, где можно действовать уверенно.

Аналитик или синтетик?
🔺Аналитик видит детали. Ему важно разобрать каждое свойство функции, каждое условие задачи.(Я сюда)
🔺Синтетик мыслит целостно. Ему нужно понять общую идею темы и ее связь с другими разделами.

Что делать?
⭐️ Аналитику полезно дробить задачу на этапы и следовать алгоритму.
⭐️ Синтетику стоит начинать с общего взгляда: зачем нужна эта тема, где она применяется, как связана с предыдущими.

Визуал или аудиал?
🔺Визуал помнит то, что видел: графики, схемы, цветные выделения в конспекте.
🔺Аудиал лучше понимает на слух. Объяснение вслух для него ценнее прочитанного.

Что делать?
⭐️ Визуалам стоит активно использовать графики, чертежи, схемы и структурные заметки.
⭐️ Аудиалам полезно проговаривать решения вслух, обсуждать задачи с другими, слушать качественные видеоразборы.

Все вышеперечисленное лишь малая часть подходов, которые используют в повседневной жизни люди. Сейчас как никогда сложно успеть все. Чаще всего мы учимся в том состоянии, в котором мы есть : уставшие, перегруженные, без мотивации. Порой личный план помогает сепарироваться и продолжать работать.

✔️ Ваша стратегия
1. Честно определите, что именно мешает: пробелы, страх, непонимание терминов?
2. Понаблюдайте за собой. Как вам легче усваивать новое?
3. Подберите подходящие методы. Если вы визуал, рисуйте схемы. Если вы синтетик, стройте связи между темами.
4. Не бойтесь комбинировать. Иногда заучивание формулы полезно дополнить визуализацией.

Я к вам с еще одной новостью!

В это воскресенье жду вас на разборе 5 варианта из сборника Ященко. Мы дружной командой(с моими чудесными учениками) решили, что будем решать с 1 по 12 задание + 13, 15, 16. Даже если вы пока не уверены в своих силах приходите! Обещаю лайфхаки и алгоритмы✔️

Место: Трансляция в ВК
Время: 15:00 по МСК

Буду с нетерпением вас ждать💖
Придешь? - ❤️