В этом построении есть несколько интересных моментов. 1) Точка E не зависит от выбора точки X на окружности (это несложно, но неожиданно)
2) прямая GH - это поляра точки E относительно данной окружности - иными словами, если бы мы провели прямую EI, то она была бы касательной; E={II}. (Да, на это опирается стандартный способ построения касательной с помощью одной линейки)
3) В построениях точек D-H выбор порядка сопряжений кажется произвольным и потому странным. А что если бы мы мысленно поменяли B и С местами, то есть построили вместо D={AZ} точку D'={AY} ? Оказывается, если довести до конца такой вариант построения, то вместо прямой GH, дающей пару точек I, оно даст прямую G'H', дающую в пересечении с окружностью пару точек K. Тех же самых, которые возникают и в этом решении. (Да, это тоже можно доказать, и это не весть как сложно.)

А вот задача, которая на меня сегодня произвела сильнейшее впечатление.

Пусть B и С - две фикс. точки плоскости, а А - переменная точка прямой, не проходящей через B и С. Тогда ГМТ ортоцентров треугольников ABC - некоторая гипербола (ранее было написано парабола, это неправда).

Впечатление вызвано тем, что задача не бьется "счётом в лоб", а требует (ну, по крайней мере в найденном мной решении) некоторого синтеза идей алгебры и геометрии. Вполне школьных, кстати...

Давайте тоже закину задачку из прошлого (тривиальное решение знаю только у второго пункта, но вдруг)

Неориентированный граф G, у рёбер есть свои веса, у вершин тоже есть свои веса. Естественным образом определяется автоморфизм такого графа (вершина должна переходить в вершину с тем же весом, ребро - в ребро с тем же весом)

для G выполнены два свойства:
1. для любой вершины a найдётся автоморфизм f, такой что f(a) != a
2. для любого автоморфизма f найдётся вершина a, такая что f(a) = a

Нужно доказать три утверждения
1. число вершин G как минимум 10
2. существует граф с 10 вершинами и с такими свойствами
3. существует граф с 11 вершинами и с такими свойствами

Кто найдет самое интересное свойство у этого неинтересного числа?

2023, кстати, довольно скучное число, без каких-либо интересных свойств — хотя Раманужан наверняка бы возразил

1 января подходит к концу. Самое время извлечь в уме квадратный корень из 12345678987654321

В справочнике числовых последовательностей Нила Слоуна (1973 г.) порядок последовательностей был очень хорошо продуман. Например, под номером 174 там была последовательность значений, при которых квадратный трехчлен n^2-n+41 дает простые числа. Под номером 175 - числа, делящиеся на каждую свою ненулевую цифру, а под номером 172 - наименьшее число четвертых степеней, с помощью которых можно выразить натуральное число n. Догадайтесь, какая последовательность там шла под номером 173?

«Выход есть!» — ХI международный конкурс по решению головоломок
Каждому, кому от 7 до 100 лет и кто уже умеет читать, найдутся задачи по силам!
Конкурс состоится в воскресение 5 февраля 2023 года.
Инструкции к решению головоломок можно будет посмотреть ЗДЕСЬ после 20 января.
Регистрация будет здесь https://www.matznanie.ru/competitions/competitions.html
с 20 января 2022 года до 3 февраля 2022 года.
Предусмотрено очное и заочное участие.
Заочное участие будет проходить вне конкурсного зачёта.
Задания и инструкции будут доступны на русском, английском языках.
Участие бесплатное.

У всех четырех игральных кубиков сумма на противоположных гранях равна 7. Однако один из них все-таки не такой, как другие. Найдите отличающийся кубик.

Не особо сложная задача. Сколько всего подмножеств в S(5,6,12)?

система Штейнера S(t,k,n) — это такой набор k-элементных подмножеств (“блоков”) n-элементного множества, что любые t точек содержатся ровно в одном блоке

проективная плоскость над полем из p элементов дает пример системы Штейнера S(2,p+1,p²+p+1)

но есть и другие интересные примеры — в т.ч. системы S(5,6,12) и S(5,8,24), автоморфизмы которых суть исключительные простые группы Матье M₁₂ и M₂₄

Задача, которую я не умею решать.

"Докажите, что в каждом натуральном числе, кратном 111111, обязательно найдутся две одинаковые цифры."

#Комбинаторика #Задача

Задача от Петра Кима!

В отель "Весы" приехали 64 мудреца. Масса каждого мудреца равна 2024 тонны. На голову каждого мудреца надели колпак массой 1, 2, 3, ... 64 грамма соответственно. Мудрецы встают в очередь на заселение. Каждый видит только колпаки на головах впереди стоящих (мудрец не знает массу своего колпака). Владельца отеля зовут АГ и он маньяк. Каждого мудреца селят либо в правую половину отеля, либо в левую (мудрец может сам выбрать половину). После заселения владелец отеля отпускает рычаг и выясняется, что отель – весы. Мудрецы, оказавшиеся в тяжёлой половине падают и разбиваются. Далее оставшихся мудрецов снова ставят в очередь в таком же порядке проводят такую же процедуру. Если весы показывают равенство, то АГ погибает, а мудрецы спасаются. Какое наибольшее число мудрецов могут гарантированно выжить, если все мудрецы работают на общее благо и могут заранее договориться о стратегии?

Обсудить ваши решения вы можете в чате)

Мат в три хода