Remark
Действия, сохраняющие меру - объект изучения эргодической теории. Для удобства можно думать о действии на компактном пространстве, т.ч. если групповым элементом "пошевелить" меру, то она не изменится. Пожалуй, один из самых эффектных результатов - это теорема…
В итоге, что мы видим: мы видим топологическое пространство, мы видим measure space, мы видим саму меру и преобразование Т, мы видим какую-то функцию на всём этом счастье. Как бы нам это формализовать?
(Преобразование - смена места термометра, которым мы меряем температуру)
(Преобразование - смена места термометра, которым мы меряем температуру)
Помогут нам всё формализовать стандартные пространства Бореля.
Для начала нужно разобраться с тем, кто такие Polish spaces.
Польское пространство (да, оно так переводится, сама удивилась) - это топологическое пространство, которое сепарабельно и completely metrizable (вот для этого перевод не нашла, буду благодарна за помощь)
Что подразумевается под этими словами?
В топологии сепарабельность - это когда в пространстве можно выделить счетное всюду плотное подмножество. Точно так же как действительное число можно представить как последовательность рациональных дробей, сходящихся к действительному числу, каждый элемент сепарабельного пространства можно представить как предел последовательности элементов из счётного множества. Очень удобно!
Для начала нужно разобраться с тем, кто такие Polish spaces.
Польское пространство (да, оно так переводится, сама удивилась) - это топологическое пространство, которое сепарабельно и completely metrizable (вот для этого перевод не нашла, буду благодарна за помощь)
Что подразумевается под этими словами?
В топологии сепарабельность - это когда в пространстве можно выделить счетное всюду плотное подмножество. Точно так же как действительное число можно представить как последовательность рациональных дробей, сходящихся к действительному числу, каждый элемент сепарабельного пространства можно представить как предел последовательности элементов из счётного множества. Очень удобно!
А вполне метризуемые (спасибо, Коля!) - это такие товарищи, на которых существует хотя бы одна метрика d, так что (X,d) является полным метрическим пространством (у каждой последовательности Коши есть предел, принадлежащий этому пространству)
Более того, во вполне метризуемых пространствах нам хотелось бы чтобы метрика d индуцировала топологию Т.
Более того, во вполне метризуемых пространствах нам хотелось бы чтобы метрика d индуцировала топологию Т.
А стандартное пространство Бореля - это замечательный зверь, (X, B), так что на Х существует польская топология, такая что В - Борелевская сигма-алгебра.
Без определения что такое сигма-алгебра (пусть это будет черный короб), но чтобы была какая-то интуиция, предлагаю представлять в голове аналогию Яира с разрешением экрана: сигма-алгебре будет соответствовать экран с бОльшим разрешением, а sub-sigma-алгебре - с меньшим. (Ещё мне нравится аналогия из истории про принятие решений и миров с бОльшим количеством информации и меньшим, и что очевидно в мире с бОльшим количеством информации можно сделать более точное предсказание - но это скорее к условной вероятности, хотя конечно все эти истории между собой очень связаны)
Борелевская сигма-алгебра - минимальная сигма-алгебра, построенная на открытых множествах топологического пространства (а имея это мы можем построить меру, то есть мы сейчас в нейтральных водах топологии и теории меры)
И мы, конечно, хотим рассматривать все пространства up to isomorphism, то есть изоморфные друг другу пространства я различать не умею и не собираюсь.
Сейчас, определив стандартное пространство Бореля, мы должны возрадоваться. Почему? Потому что есть несколько замечательных свойств:
1. Кардинальность стандартного пространства Бореля - конечная, счетная или континуум.
2. Два пространства Бореля изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же кардинальность
3. В частности, все несчетные стандартные пространства Бореля изоморфны интервалу [0,1]
4. Любое стандартное пространство Бореля сепарабельно, в смысле sigma({B_n})=B, и для любого x!=y существует такое n, что x є B_n, y !є B_n (мы умеем различать точки)
То есть, фактически, мы всегда можем работать только с интервалом [0,1] и в ус не дуть по поводу всех остальных пространств, потому что все несчетные пространства изоморфны друг другу!
Без определения что такое сигма-алгебра (пусть это будет черный короб), но чтобы была какая-то интуиция, предлагаю представлять в голове аналогию Яира с разрешением экрана: сигма-алгебре будет соответствовать экран с бОльшим разрешением, а sub-sigma-алгебре - с меньшим. (Ещё мне нравится аналогия из истории про принятие решений и миров с бОльшим количеством информации и меньшим, и что очевидно в мире с бОльшим количеством информации можно сделать более точное предсказание - но это скорее к условной вероятности, хотя конечно все эти истории между собой очень связаны)
Борелевская сигма-алгебра - минимальная сигма-алгебра, построенная на открытых множествах топологического пространства (а имея это мы можем построить меру, то есть мы сейчас в нейтральных водах топологии и теории меры)
И мы, конечно, хотим рассматривать все пространства up to isomorphism, то есть изоморфные друг другу пространства я различать не умею и не собираюсь.
Сейчас, определив стандартное пространство Бореля, мы должны возрадоваться. Почему? Потому что есть несколько замечательных свойств:
1. Кардинальность стандартного пространства Бореля - конечная, счетная или континуум.
2. Два пространства Бореля изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же кардинальность
3. В частности, все несчетные стандартные пространства Бореля изоморфны интервалу [0,1]
4. Любое стандартное пространство Бореля сепарабельно, в смысле sigma({B_n})=B, и для любого x!=y существует такое n, что x є B_n, y !є B_n (мы умеем различать точки)
То есть, фактически, мы всегда можем работать только с интервалом [0,1] и в ус не дуть по поводу всех остальных пространств, потому что все несчетные пространства изоморфны друг другу!
В частности, изоморфны друг другу с точки зрения теории меры квадрат и интервал, живите теперь с этим.
(А именно: для любого представителя интервала давайте закодируем его как 0.b_1b_2b_3... в двоичной системе. И теперь сделаем преобразование: 0.b_1b_2b_3... -> (0.b_1b_3b_5...; 0.b_2b_4b_6...)
У нас будут некоторые загадочные точки, для которых может существовать два разных разложения, но мера этого множества - ноль, так что можно не беспокоиться по этому поводу)
(А именно: для любого представителя интервала давайте закодируем его как 0.b_1b_2b_3... в двоичной системе. И теперь сделаем преобразование: 0.b_1b_2b_3... -> (0.b_1b_3b_5...; 0.b_2b_4b_6...)
У нас будут некоторые загадочные точки, для которых может существовать два разных разложения, но мера этого множества - ноль, так что можно не беспокоиться по этому поводу)
Лекции по случайным процессам под редакцией Гасникова
https://arxiv.org/pdf/1907.01060&ved=2ahUKEwji8LbYldPvAhVkoosKHbPhB-oQFjALegQIDRAC&usg=AOvVaw3GjSw2vaaPcHKnsank4BzO&cshid=1616940782000
https://arxiv.org/pdf/1907.01060&ved=2ahUKEwji8LbYldPvAhVkoosKHbPhB-oQFjALegQIDRAC&usg=AOvVaw3GjSw2vaaPcHKnsank4BzO&cshid=1616940782000
Я подключила комментарии!
Теперь к последующим постам можно будет задавать уточняющие вопросы!
Теперь к последующим постам можно будет задавать уточняющие вопросы!
Remark
А стандартное пространство Бореля - это замечательный зверь, (X, B), так что на Х существует польская топология, такая что В - Борелевская сигма-алгебра. Без определения что такое сигма-алгебра (пусть это будет черный короб), но чтобы была какая-то интуиция…
Давайте теперь введем в постановку задачи группу.
Группы у нас всюду будут счетные дискретные, но теория работает и для локально компактных со второй аксиомой счетности с небольшими поправками.
Действием группы на стандартном пространстве Бореля будем называть гомоморфизм групп a: Г -> Aut(X,B), где Aut - это группа автоморфизмов пространства (отображений само в себя).
В других словах, для любого g є Г является автоморфизмом Аg: X->X, если Ag•h = Ag•Ah
Группы у нас всюду будут счетные дискретные, но теория работает и для локально компактных со второй аксиомой счетности с небольшими поправками.
Действием группы на стандартном пространстве Бореля будем называть гомоморфизм групп a: Г -> Aut(X,B), где Aut - это группа автоморфизмов пространства (отображений само в себя).
В других словах, для любого g є Г является автоморфизмом Аg: X->X, если Ag•h = Ag•Ah
Прерываюсь для того чтобы сообщить всем, что ЛШСМ - одна из лучших вещей, которые случились в моей жизни и вам оно надо, если вы школьник или студент младших курсов!
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://mccme.ru/dubna/2021/
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда планируется в этом году с 19 по 30 июля в Дубне (в очном формате). Начинается прием заявок от школьников 10 и 11 классов и студентов I и II курсов.
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда планируется в этом году с 19 по 30 июля в Дубне (в очном формате). Начинается прием заявок от школьников 10 и 11 классов и студентов I и II курсов.
Remark
Обозначается действие группы так
Теперь, пусть Г действует на (X,B) и (Y,C), двух Борелевских пространствах.
Морфизмы, которые нас интересуют - эквивариантные функции pi: (X,B)->(Y,C), т.е. мы хотим чтобы функция коммутировала с действием.
\pi(gx)=g \pi(x)
\pi называется гамма-фактором, если \pi - сюръекция.
Морфизмы, которые нас интересуют - эквивариантные функции pi: (X,B)->(Y,C), т.е. мы хотим чтобы функция коммутировала с действием.
\pi(gx)=g \pi(x)
\pi называется гамма-фактором, если \pi - сюръекция.