Яир Хартман предложил прекрасную аналогию для сигма-алгебр!
А именно: возьмём два экрана с разным разрешением, и более продвинутой сигма-алгебре будет соответствовать экран с бОльшим разрешением, а sub-sigma-algebra - экран с меньшим разрешением
И будем смотреть на них картинки!
И тогда разница между pi^*pi_* и pi_*pi^* становится очевидной:
В одном случае будет Id, потому что если поместить картинку с низким разрешением на более клевый экран а потом спроецировать обратно на старый экран, то ничего не поменяется
А во втором случае нам сначала нужно понизить разрешение, а потом повысить его обратно, и в таком случае очевидно Id будет только для постоянных функций
А именно: возьмём два экрана с разным разрешением, и более продвинутой сигма-алгебре будет соответствовать экран с бОльшим разрешением, а sub-sigma-algebra - экран с меньшим разрешением
И будем смотреть на них картинки!
И тогда разница между pi^*pi_* и pi_*pi^* становится очевидной:
В одном случае будет Id, потому что если поместить картинку с низким разрешением на более клевый экран а потом спроецировать обратно на старый экран, то ничего не поменяется
А во втором случае нам сначала нужно понизить разрешение, а потом повысить его обратно, и в таком случае очевидно Id будет только для постоянных функций
Прекрасная картинка про отношения между мерами: инвариантными (которыми занимается эргодическая теория), стационарными (которыми занимается стационарная динамика - и которые естественное расширение инвариантных мер) и не-сингулярными (которые тоже попадаются в эргодической теории, но у них меньше структуры: assume less - get less)
Утащено из jamboard курса по стационарной динамике, конспект которого будет частично появляться здесь (сейчас я слушаю первый раз, а на второй буду писать записки, больно уж хороший курс)
Утащено из jamboard курса по стационарной динамике, конспект которого будет частично появляться здесь (сейчас я слушаю первый раз, а на второй буду писать записки, больно уж хороший курс)
Действия, сохраняющие меру - объект изучения эргодической теории. Для удобства можно думать о действии на компактном пространстве, т.ч. если групповым элементом "пошевелить" меру, то она не изменится.
Пожалуй, один из самых эффектных результатов - это теорема Биркгоффа (Birkhoff): (X,m,T) - эргодическая система, сохраняющая меру (например иррациональные повороты S^1 с мерой Лебега на окружности), и f є L^1(X,m) (например, температура: мы берём термометр и в какой-то точке окружности измеряем температуру)
В таком случае утверждается, что временные средние будут стремиться к пространственному среднему:
lim \sum (f(T^k x) -> \int f(x) dm(x)
(для почти каждой точки с точки зрения меры m)
Есть естественное обобщение для аменабельных групп, но там нужны ряды Фолнера (Følner sequence) чтобы уметь брать средние, поэтому туда мы сейчас не пойдём.
Но вот два вопроса, которые приведут нас к случайным блужданиям на группах:
Во-первых, можно ли что-то сказать по поводу не аменабельных групп?
Во-вторых, можно ли что-то сделать по поводу не-инвариатных мер?
Эти два вопроса близко связаны, потому что одно из определений аменабельности как раз то, что когда аменабельная группа действует на компактном пространстве, всегда можно найти инвариантную меру.
(Отдельно замечу, что группа может не быть аменабельной, но её действие на достаточно хорошем пространстве при этом может быть аменабельным, но сюда мы пока что тоже не пойдем, хотя я страшно хочу разобрать эту работу Зиммера)
Касательно вопросов выше: случайное блуждание даёт нам хороший способ смотреть на средние, поэтому оно полезно в случае не-аменабельных групп; и имея случайное блуждание мы получаем стационарные меры, которые являются естественным обобщением инвариантных мер
Пожалуй, один из самых эффектных результатов - это теорема Биркгоффа (Birkhoff): (X,m,T) - эргодическая система, сохраняющая меру (например иррациональные повороты S^1 с мерой Лебега на окружности), и f є L^1(X,m) (например, температура: мы берём термометр и в какой-то точке окружности измеряем температуру)
В таком случае утверждается, что временные средние будут стремиться к пространственному среднему:
lim \sum (f(T^k x) -> \int f(x) dm(x)
(для почти каждой точки с точки зрения меры m)
Есть естественное обобщение для аменабельных групп, но там нужны ряды Фолнера (Følner sequence) чтобы уметь брать средние, поэтому туда мы сейчас не пойдём.
Но вот два вопроса, которые приведут нас к случайным блужданиям на группах:
Во-первых, можно ли что-то сказать по поводу не аменабельных групп?
Во-вторых, можно ли что-то сделать по поводу не-инвариатных мер?
Эти два вопроса близко связаны, потому что одно из определений аменабельности как раз то, что когда аменабельная группа действует на компактном пространстве, всегда можно найти инвариантную меру.
(Отдельно замечу, что группа может не быть аменабельной, но её действие на достаточно хорошем пространстве при этом может быть аменабельным, но сюда мы пока что тоже не пойдем, хотя я страшно хочу разобрать эту работу Зиммера)
Касательно вопросов выше: случайное блуждание даёт нам хороший способ смотреть на средние, поэтому оно полезно в случае не-аменабельных групп; и имея случайное блуждание мы получаем стационарные меры, которые являются естественным обобщением инвариантных мер
В идеале локально мы дойдем до границы Фюрстенберга-Пуассона (Furstenberg-Poisson boundary) - объекта, который хорошо "ловит" асимптотическое поведение случайного блуждания; и посмотрим на связи её и более естественных границ, например границы Громова (Gromov/visual boundary) для гиперболических групп или границы Тёрстона (Thurston boundary) для mapping class groups
Remark
Действия, сохраняющие меру - объект изучения эргодической теории. Для удобства можно думать о действии на компактном пространстве, т.ч. если групповым элементом "пошевелить" меру, то она не изменится. Пожалуй, один из самых эффектных результатов - это теорема…
В итоге, что мы видим: мы видим топологическое пространство, мы видим measure space, мы видим саму меру и преобразование Т, мы видим какую-то функцию на всём этом счастье. Как бы нам это формализовать?
(Преобразование - смена места термометра, которым мы меряем температуру)
(Преобразование - смена места термометра, которым мы меряем температуру)
Помогут нам всё формализовать стандартные пространства Бореля.
Для начала нужно разобраться с тем, кто такие Polish spaces.
Польское пространство (да, оно так переводится, сама удивилась) - это топологическое пространство, которое сепарабельно и completely metrizable (вот для этого перевод не нашла, буду благодарна за помощь)
Что подразумевается под этими словами?
В топологии сепарабельность - это когда в пространстве можно выделить счетное всюду плотное подмножество. Точно так же как действительное число можно представить как последовательность рациональных дробей, сходящихся к действительному числу, каждый элемент сепарабельного пространства можно представить как предел последовательности элементов из счётного множества. Очень удобно!
Для начала нужно разобраться с тем, кто такие Polish spaces.
Польское пространство (да, оно так переводится, сама удивилась) - это топологическое пространство, которое сепарабельно и completely metrizable (вот для этого перевод не нашла, буду благодарна за помощь)
Что подразумевается под этими словами?
В топологии сепарабельность - это когда в пространстве можно выделить счетное всюду плотное подмножество. Точно так же как действительное число можно представить как последовательность рациональных дробей, сходящихся к действительному числу, каждый элемент сепарабельного пространства можно представить как предел последовательности элементов из счётного множества. Очень удобно!
А вполне метризуемые (спасибо, Коля!) - это такие товарищи, на которых существует хотя бы одна метрика d, так что (X,d) является полным метрическим пространством (у каждой последовательности Коши есть предел, принадлежащий этому пространству)
Более того, во вполне метризуемых пространствах нам хотелось бы чтобы метрика d индуцировала топологию Т.
Более того, во вполне метризуемых пространствах нам хотелось бы чтобы метрика d индуцировала топологию Т.
А стандартное пространство Бореля - это замечательный зверь, (X, B), так что на Х существует польская топология, такая что В - Борелевская сигма-алгебра.
Без определения что такое сигма-алгебра (пусть это будет черный короб), но чтобы была какая-то интуиция, предлагаю представлять в голове аналогию Яира с разрешением экрана: сигма-алгебре будет соответствовать экран с бОльшим разрешением, а sub-sigma-алгебре - с меньшим. (Ещё мне нравится аналогия из истории про принятие решений и миров с бОльшим количеством информации и меньшим, и что очевидно в мире с бОльшим количеством информации можно сделать более точное предсказание - но это скорее к условной вероятности, хотя конечно все эти истории между собой очень связаны)
Борелевская сигма-алгебра - минимальная сигма-алгебра, построенная на открытых множествах топологического пространства (а имея это мы можем построить меру, то есть мы сейчас в нейтральных водах топологии и теории меры)
И мы, конечно, хотим рассматривать все пространства up to isomorphism, то есть изоморфные друг другу пространства я различать не умею и не собираюсь.
Сейчас, определив стандартное пространство Бореля, мы должны возрадоваться. Почему? Потому что есть несколько замечательных свойств:
1. Кардинальность стандартного пространства Бореля - конечная, счетная или континуум.
2. Два пространства Бореля изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же кардинальность
3. В частности, все несчетные стандартные пространства Бореля изоморфны интервалу [0,1]
4. Любое стандартное пространство Бореля сепарабельно, в смысле sigma({B_n})=B, и для любого x!=y существует такое n, что x є B_n, y !є B_n (мы умеем различать точки)
То есть, фактически, мы всегда можем работать только с интервалом [0,1] и в ус не дуть по поводу всех остальных пространств, потому что все несчетные пространства изоморфны друг другу!
Без определения что такое сигма-алгебра (пусть это будет черный короб), но чтобы была какая-то интуиция, предлагаю представлять в голове аналогию Яира с разрешением экрана: сигма-алгебре будет соответствовать экран с бОльшим разрешением, а sub-sigma-алгебре - с меньшим. (Ещё мне нравится аналогия из истории про принятие решений и миров с бОльшим количеством информации и меньшим, и что очевидно в мире с бОльшим количеством информации можно сделать более точное предсказание - но это скорее к условной вероятности, хотя конечно все эти истории между собой очень связаны)
Борелевская сигма-алгебра - минимальная сигма-алгебра, построенная на открытых множествах топологического пространства (а имея это мы можем построить меру, то есть мы сейчас в нейтральных водах топологии и теории меры)
И мы, конечно, хотим рассматривать все пространства up to isomorphism, то есть изоморфные друг другу пространства я различать не умею и не собираюсь.
Сейчас, определив стандартное пространство Бореля, мы должны возрадоваться. Почему? Потому что есть несколько замечательных свойств:
1. Кардинальность стандартного пространства Бореля - конечная, счетная или континуум.
2. Два пространства Бореля изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же кардинальность
3. В частности, все несчетные стандартные пространства Бореля изоморфны интервалу [0,1]
4. Любое стандартное пространство Бореля сепарабельно, в смысле sigma({B_n})=B, и для любого x!=y существует такое n, что x є B_n, y !є B_n (мы умеем различать точки)
То есть, фактически, мы всегда можем работать только с интервалом [0,1] и в ус не дуть по поводу всех остальных пространств, потому что все несчетные пространства изоморфны друг другу!
В частности, изоморфны друг другу с точки зрения теории меры квадрат и интервал, живите теперь с этим.
(А именно: для любого представителя интервала давайте закодируем его как 0.b_1b_2b_3... в двоичной системе. И теперь сделаем преобразование: 0.b_1b_2b_3... -> (0.b_1b_3b_5...; 0.b_2b_4b_6...)
У нас будут некоторые загадочные точки, для которых может существовать два разных разложения, но мера этого множества - ноль, так что можно не беспокоиться по этому поводу)
(А именно: для любого представителя интервала давайте закодируем его как 0.b_1b_2b_3... в двоичной системе. И теперь сделаем преобразование: 0.b_1b_2b_3... -> (0.b_1b_3b_5...; 0.b_2b_4b_6...)
У нас будут некоторые загадочные точки, для которых может существовать два разных разложения, но мера этого множества - ноль, так что можно не беспокоиться по этому поводу)