Но все кристаллографы знали, что симметрии 10 порядка не бывает. Потому что если у решётки есть такая симметрия R, то для самого короткого вектора v решётки вектор v-R(v) будет тоже принадлежать решётке, и будет ещё короче.

Так вот — оказалось, что материалы тоже умеют образовывать не только периодические решётки-кристаллы, но и квазипериодические. Как раз такие, как мы видели выше — а-ля мозаика Пенроуза.
И это открытие, с одной стороны, Шехтману далось с большим боем (включая то, как ему советовали "перечитать учебник" и произносившееся в его сторону "Нет никаких квазикристаллов, есть только квазиучёные"), а с другой — в 2011-м принесло ему Нобелевскую премию.

Если от физики и геометрии вернуться к слову Фибоначчи, то я в прошлый раз обещал перекладывание отрезков и поворот окружности.

И мы в прошлый раз (очень естественно) раскрашивали точки в тот цвет, какая последняя буква была написана. Но можно их раскрашивать по тому, какая буква следующая. И получается другая раскраска:

С другой разделяющей линией — красные точки теперь сверху:

И проекция теперь выглядит не так, как раньше —

То есть "красный" и "синий" интервалы в проекции поменялись местами.

С другой стороны, красные точки при таком изменении раскраски сдвигаются на (1,0), потому что в одном случае мы саму "красящую" букву А считаем, в другом нет, а синие на (0,1).

С другой стороны, перекладывание двух отрезков это поворот окружности, которая из этих отрезков как из дуг склеивается. И если на всё это внимательно посмотреть (или поверить рассказчику на слово), то получается другое описание слова Фибоначчи.

А именно: окружность разбита на красную и синюю дуги с отношением длин Ф:1 —

Исходно на ней отмечена точка на границе дуг A и B, и каждый шаг она поворачивается на длину дуги B в положительном направлении. Если на k-м шаге она попадает в дугу А, то мы пишем А, а если в дугу B, то пишем B.

Всё хорошо, но пока что это описание исключительно "феноменологическое": мы что-то увидели на первых ~30 итерациях, и сделали из этого какие-то (формально — совершенно не доказанные) выводы.

Так вот — как раз поворот окружности это штука, к подстановочному правилу очень хорошо привязываемая.

Потому что — давайте смотреть не за всеми итерациями начальной точки, а только за теми, когда она попадает на дугу А.

Тогда дуга А разобьётся на две поддуги, А' и B'. Где, стартовав из поддуги B', мы сразу остаёмся в дуге A, а из поддуги A' сначала прыгаем в B, а потом в A: