Всё хорошо, но пока что это описание исключительно "феноменологическое": мы что-то увидели на первых ~30 итерациях, и сделали из этого какие-то (формально — совершенно не доказанные) выводы.

Так вот — как раз поворот окружности это штука, к подстановочному правилу очень хорошо привязываемая.

Потому что — давайте смотреть не за всеми итерациями начальной точки, а только за теми, когда она попадает на дугу А.

Тогда дуга А разобьётся на две поддуги, А' и B'. Где, стартовав из поддуги B', мы сразу остаёмся в дуге A, а из поддуги A' сначала прыгаем в B, а потом в A:

(То, что мы сейчас делаем, называется в теории динамических систем умными словами "отображение первого возвращения", "башня Какутани", и так далее — но это совершенно неважно.)

Так вот — склеив дугу А обратно в окружность, мы увидим на ней опять поворот (получившийся из перекладывания отрезков — дуг А' и B'), а восстановление исходного слова по слову в алфавите A' и B' это как раз наши правила подстановки:
"A' означает АB,
B' означает A"

А то, что отношение длин исходных дуг Ф:1, означает, что и отношение длин дуг А' к B' будет Ф:1. Так что картина повторяется снова и снова.

И вот из этого уже можно устроить доказательство — а заодно для других отношений длин возникает цепная дробь, а заодно те самые равномерные размещения, о которых писал Концевич в Кванте и говорил Веселов в Дубне.

Ну и на этом, кажется, предыдущее обещание выполнено.

Бонусом к сегодняшнему рассказу — несколько фотографий из Warwick University. Который, для простоты навигации, находится в два с половиной раза ближе к Coventry, чем к Warwick-у; не назвали его Coventry University потому, что Coventry University к тому моменту уже был и был достаточно известен.

Как написано на табличке-подписи,
"Оригинальная доска объявлений семинаров.
Важный исторический артефакт до-цифровой эры,
ок. 1963"

Новые семинары можно было вписывать вниз, перематывая бумагу с нижнего рулона на верхний.

А вот это — содержимое стоящего рядом шкафа с "интересными объектами":

Ну и — здание, где расположен математический факультет, называется в честь его основателя Zeeman building, и там висит его портрет. Но Zeeman не тот, который эффект Зеемана (тот физик, https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B5%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D0%BD,_%D0%9F%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80 ) — а математик (https://en.wikipedia.org/wiki/Christopher_Zeeman )