Чуть более подробно — вот пусть у нас есть динамическая система, то есть отображение T, которое мы итерируем (можно сказать, что оно сопоставляет текущему состоянию системы её состояние через одну секунду).

И пусть задана начальное состояние системы — некоторая точка x.

Тогда можно посмотреть, с какой скоростью итерации "соседних" с ней точек с её итерациями сближаются/разбегаются.

В размерности один — а мы будем считать, что мы работаем на отрезке, — это просто значит, что мы берём производную n-й итерации T^n в точке x:

(T^n)'(x) = T'(T^{n-1}(x)) * ... * T'(T(x)) * T'(x).

Теперь, чтобы сказать, "какое изменение приходится [в среднем] на одну итерацию", можно было бы извлечь корень n-й степени.

Но с корнями и произведениями очень неудобно работать. Поэтому от такого "среднего геометрического производных по орбите" берут логарифм — рассматривают
(1/n) log (T^n)'(x) = (1/n) \sum_{j=0}^{n-1} (log T')(T^j(x)).

(Да, "орбита" — это как раз последовательность итераций начальной точки: x, T(x), T^2(x), ...)

И переходят к пределу при n, стремящемся к бесконечности. Вот этот предел (который появляется на слайде выше) и называется показателем Ляпунова (отображения T в точке x).

В том случае, когда отображение T — кусочно-аффинное, порождающее канторово множество, производная у него на каждом отрезке области определения постоянна. Так что получается действительно почти "доля единиц" в кодировании точки, только чуть-чуть подкрученная.

Скажем, для самого стандартного канторова множества показатель Ляпунова будет просто log 3 в любой точке x, потому что производная T равна 3 везде. А вот если у нас два отрезка, [0,1/a] и [1-1/b,1], то у нас будет
(log a)*(доля итераций, попадающих в первый отрезок) + (log b)*(доля итераций, попадающих во второй).

(Я не хочу лезть в более конкретные детали или писать формулы; в конце концов, это должна быть сложная, но всё-таки байка!)

Так вот, из общей логики "есть естественный объект, давайте его исследовать" — можно смотреть на то, как устроено множество точек с заданным показателем Ляпунова. В частности, можно спросить, какая у него размерность. И как устроена функция "размерность в зависимости от показателя Ляпунова".

Эту функцию исследовал Howie Weiss. Он доказал (в определённых условиях, которые я не формулирую!) её аналитичность — и сказал, что она должна быть выпуклой.

Только вот выпуклость оказалась неправдой: J. Kiwi и G. Iommi нашли контрпример.

Оказалось, что достаточно взять кусочно-аффинное растягивающее отображение из двух интервалов.

И если длины кусочков сильно разные (если отношение их логарифмов большое) — то функция уже не выпуклая: