Но — я обещал одну оговорку. Дело в том, что в собственно плоскости Лобачевского высоты могут... не пересечься совсем.

В смысле модели Клейна это несложно увидеть — достаточно взять треугольник, у которого одна из вершин это евклидов центр диска P (и тем самым две его евклидовых высоты это и его высоты в смысле плоскости Лобачевского), и при этом который достаточно "тупоугольный" и "большой", чтобы точка евклидова пересечения высот попала бы за диск-модель.

В этом случае можно (во внутренних терминах геометрии Лобачевского) сказать, что у всех трёх высот есть общая перпендикулярная им прямая — или можно, следуя Арнольду, считать, что плоскость Лобачевского это часть плоскости со "знакоопределённой" метрикой, за которой есть релятивистский мир де Ситтера —

Скриншот отсюда — https://math.ru/lib/files/pdf/mehmat/mm3.pdf

(И мне кажется, там интересно посмотреть всё интервью; отдельно трогательны рисунки, сделанные рукой самого В.И.А.)

Кстати — такая же картинка есть и в "Мат. понимании природы" В.И.А.,
https://www.mccme.ru/free-books/arnold/VIA-mpp.pdf

Ну и на этой исторической ноте, кажется, мне правильно на сегодня прекратить дозволенные речи.

Пару недель назад прошёл очередной « Математический праздник » — и подборка задач разных лет (https://olimpiada.ru/article/863 ) мне напомнила о задаче 2001 года С. Маркелова:

« В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое число равно 23021^{377} – 1. Не опечатка ли это? »

Кстати, на самом Матпразднике из этой подборки сделали отдельный стенд, и мне кажется, это была исключительно удачная идея: все подходили и смотрели —

(Да, а вот тут коллеги выложили PDF-файл постера)

обновленный постер с задачами Математического праздника в подходящем для печати качестве

Так вот, сегодняшняя байка посвящена простым числам Мерсенна: простым числам вида M(p):=2^p-1, где p простое.
(Я её уже рассказывал год назад, но в непубличном чате; заранее прошу прощения у тех, кто её от меня уже тогда слышал.)

Чуть больше года назад, в декабре 2018-го, нашли очередное простое число Мерсенна, M(82 589 933), ставшее самым большим известным простым числом — что, разумеется, немедленно пробежало по новостям. А если посмотреть на список самых больших известных простых чисел (https://en.wikipedia.org/wiki/Largest_known_prime_number#The_twenty_largest_known_prime_numbers ), то там из первой десятки только одно не-Мерсенновское, да и остальные визуально очень на них похожи. И с 1952-го года только один раз на три года самое большой известное число было не-Мерсенновским: с 1989 по 1992 « царём горы » было 391581×2^{216193}-1.

При этом Мерсенновских чисел очень мало (это же «почти степень двойки») — при том, что вообще-то простых довольно много: доля простых среди первых n чисел это 1/ln n, что, конечно, стремится к 0 — но довольно медленно. Скажем, из 100-значных чисел простым будет примерно каждое 230-е; собственно, ровно так работает поиск простых для RSA-криптографии: тыкаем в случайные большие числа, пока не наткнёмся на простое. И тысяча-другая попыток тут это много, но не смертельно.(А вот если бы простых от 1 до n было бы порядка sqrt{n}, всё было бы совсем по-другому…)

Так почему же самые большие известные простые — Мерсенновские? Потому что « ищем под фонарём », то есть — потому что именно для них есть очень быстрый алгоритм проверки на простоту, тест Люка-Лемера. И с ним очень интересно разобраться.

Его "замкнутая" формулировка "в готовом к исполнению" виде выглядит, как совершенно непонятный « чёрный ящик »: ясно, куда подключать провода, но как и почему он работает, загадка.

А именно: строим последовательность вычетов s_n по модулю M, где M=2^p-1 — наш кандидат в простые Мерсенна, по следующему рекуррентному правилу:
- начинаем с s_1=4,
- каждое следующее s_{n+1}=s_n^2-2 (mod M).
Теорема. M простое тогда и только тогда, когда S_{p-1}=0.