Не то, чтобы это было обязательно — но вот пример для p=5 (которое приводит к действительно простому M=31):

Жирным тут выделены значения t_j — "вещественные части", половинки от последовательности s_j.

Итак, от z=2+\sqrt{3} (соответствующего s_1=4 или t_1=2) мы за p-2=3 итерации дошли до s_{p-1}=t_{p-1}=0, а за ещё одну — до z^{2^{p-1}}=-1 (и, соответственно, s_p=-2, t_p=-1). Если бы мы ещё один раз возвели в квадрат — воткнулись бы в единицу, которая для возведения в квадрат неподвижная точка.

Давайте посмотрим, почему мы этого не сделали — и почему всё было настолько « близко », что стоит M оказаться составным, и ничего не получится. И заодно выясним много интересного, что живёт «по соседству».

Во-первых, если у нас есть поле из q элементов (где q нечётное), то есть очень симпатичная формула, позволяющая проверить, является ли его элемент квадратом (в этом поле!). А именно — малая теорема Ферма для простого q и теорема Лагранжа для q=M^k утверждают, что w^{q-1}=1 для всех элементов поля.

Возьмём какое-нибудь ненулевое w, и давайте рассмотрим половинную степень — w^{(q-1)/2}.
Утверждение. w^{(q-1)/2}=1, если w это квадрат, и w^{(q-1)/2}=-1, если не квадрат.

Доказательство. Если w=r^2, то w^{(q-1)/2}=r^{q-1}=1.
Квадратов от ненулевых элементов поля ровно половина, поэтому все возможные корни уравнения w^{(q-1)/2}=1 (столько, какова его степень) мы уже посчитали. Но половинная степень, если её возвести в квадрат, должна дать w^{q-1}=1, а корни из 1 это только 1 и (-1). Значит, все не-квадраты дают (-1).

И уже сразу видна похожесть на нашу ситуацию — мы возводим в степень (правда, не совсем в ту), и получаем (-1).

Во-вторых, как и в комплексных числах, в таком «квадратичном расширении» тоже есть понятие нормы — произведение
||w||=w*conj(w),
где conj — сопряжение, изменяющее знак у \sqrt{3}.

Это скорее аналог квадрата длины комплексного числа, но в теории Галуа правильно использовать именно такое определение. И как легко видеть, наше z=2+\sqrt{3} имеет единичную норму:
(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1.

(А в общем случае — см.
https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/galoistheory/tracenorm.pdf или https://en.wikipedia.org/wiki/Field_trace )

В третьих, если у нас есть поле из M^k элементов (характеристики M), то у него есть автоморфизм
a->a^M.
Потому что, раскрыв по биному, получаем (a+b)^M=a^M+b^M (все остальные биномиальные коэффициенты делятся на M). Этот автоморфизм «именной» — он называется автоморфизмом Фробениуса.

Более того, он порождает группу автоморфизмов поля — которая оказывается циклической, и состоит из k элементов: после k его применений мы получаем возведение в степень M^k — которая есть тождественное отображение (как мы уже видели выше — в виде равенства w^{q-1}=1).

И вообще автоморфизм Фробениуса в теории Галуа это один из фундаментальных кирпичиков — такой же, как понятие предела или интеграла в анализе.

Но в нашем случае мы уже знаем единственный нетривиальный автоморфизм поля из M^2 элементов: это изменение знака у корня из 3. Значит, conj(w)=w^M, откуда
||w||=w*conj(w)=w^{M+1}.

И паззл начинает склеиваться — M+1=2^p. А у нас было возведение в половинную степень: нам нужно проверить, что
z^{2^{p-1}}=-1.

Так вот: давайте посмотрим не на всю группу ненулевых элементов поля, а на её подгруппу, состоящую из элементов нормы 1 — из корней уравнения w^{M+1}=1.

Эта группа состоит, как несложно видеть, из M+1 элемента, и это циклическая группа. Например, как подгруппа циклической, хотя приятнее тут сослаться на вообще общее утверждение: конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля циклична.

(Его доказательство — отдельное красивое упражнение, но речь сейчас не об этом :) ).

Так вот — у нас есть подгруппа элементов нормы 1, состоящая из N=M+1 элемента. Повторяя рассуждения выше, несложно увидеть, что её элемент w является квадратом внутри этой подгруппы тогда и только тогда, когда половинная степень w^{N/2} равна 1 — а иначе получаем (-1).