===
И — пара слов совсем о другом. Вот в теории бильярдов есть довольно много проблем, которые легко сформулировать, но которые при этом оказываются безумно сложными.
Один такой вопрос — это существование периодической траектории в бильярде в любом треугольнике.

(Чуть более формально — материальная точка движется внутри треугольника, отражаясь по закону "угол падения равен углу отражения"; траектории, в какой-то момент попадающие в вершины, мы не рассматриваем.)

Для остроугольного треугольника траекторию можно предъявить явно — простой и красивый геометрический факт состоит в том, что можно взять траекторию через три основания высот.

(Фото с лестницы МЦНМО — спасибо Г. Мерзону!)

А это фото с сегодняшней лекции А. Глуцюка (вводный рассказ о бильярдах) — и на правой половине левой доски видно как раз доказательство (школьное :) )

Так вот — в прямоугольном треугольнике это всё ещё упражнение. А вот в тупоугольных — большой открытый вопрос. (Нет, в любом конкретном, конечно, можно найти; и даже знают, что если все углы соизмеримы с π, то есть; но общий случай открыт.)

Кстати, про прямоугольный треугольник — есть прекрасная задача про столкновения масс на прямой, превращающаяся в задачу о бильярде и в итоге (spoilers!) приводящая к появлению π в ответе.
Вот тут есть ролик 3blue1brown об этом —
https://www.youtube.com/watch?v=HEfHFsfGXjs —
а я узнал об этом, если не ошибаюсь, в ЛШСМ-2004 от самого Гальперина, статью которого "Playing pool with π (the number π from a billiard point of view)" (https://www.maths.tcd.ie/~lebed/Galperin.%20Playing%20pool%20with%20pi.pdf ) 3blue1brown цитирует:

А ещё одна открытая проблема, которую сегодня Глуцюк упоминал, это гипотеза Иврия.
Вот если мы поставим точку прямо в центр круглого бильярда, то в какую бы сторону мы её не направили, траектория будет периодична. Или — если мы возьмём квадратный бильярд и запустим из любой точки траекторию под углом с рациональным коэффициентом наклона, опять-таки, траектория обязательно будет периодической.

А бывают ли такие "фокусирующие" бильярды (уже просто с гладкой границей, но вовсе не с многоугольной), у которых есть _открытое_ множество периодических траекторий? То есть если поставить шарик примерно в правильное место и ударить под примерно правильным углом — то траектория обязательно замкнётся?

Гипотеза (В. Иврий, 1980). Нет, таких бильярдов нет.

У него эта гипотеза возникла в связи с собственными значениями оператора Лапласа — в предположении, что таких открытых областей траекторий нет, он получил следующий член их асимптотики.

Так что он, недолго думая, пришёл на семинар Синая и спросил. И ему сказали, что ну конечно же, это правда, приходите через неделю на следующее заседание, всё докажем.

Он пришёл. Задача оказалась чуть более сложной — но ещё через неделю точно приходите, всё будет. Потом эта неделя стала месяцем...

...и вопрос открыт до сих пор. :)

Вот статья Иврия 1980 года — http://mi.mathnet.ru/faa1796 — а теорему о том, что таких четырёхугольных траекторий не бывает, доказали Глуцюк и Кудряшов в 2012 году:
http://www.aimsciences.org/article/doi/10.3934/jmd.2012.6.287

(Про треугольные знали раньше, пятиугольные и выше — вопрос всё ещё открыт...)

Ну и на этой истории я хочу на сегодня прекратить дозволенные речи.

Сегодняшняя байка будет о применении эллиптических кривых в криптографии, как для защиты (что более известно), так и для «нападения»-факторизации (что,
почему-то, известно заметно меньше, хотя алгоритм именной, называется алгоритмом Ленстры).
(На всякий случай: рассказ по открытым источникам :) )