https://users.mccme.ru/smirnoff/papers/friezes0317.pdf

записки миникурса Е.Смирнова про фризы и цепные дроби на ЛШСМ-2019 (особых предварительных знаний не требуется, можно читать старшеклассникам)

А именно — мы пытаемся расставлять числа в (повёрнутой на 45 градусов) квадратной решётке так, чтобы в любом квадрате разница произведений лево*право и верх*низ равнялась бы 1, начиная с двух горизонталей сначала из 0, потом из 1:

0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
3 5 5 4 3

Следующий ряд ещё понятно, как заполнить: произведение соседей минус 1:

0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
3 5 5 4 3
14 24 19 11

Но "почему-то" результат и дальше остаётся целым: скажем, в квадрате с верхней вершиной 5 и боковыми 14 и 24 в нижнее число мы должны вписать (14*24-1)/5 — и оно делится нацело!

И чем глубже мы спускаемся, тем больше становятся числа, и тем удивительнее делимость...

Так вот — там как раз возникают цепные дроби с c_j=-1, дроби Хирцебруха.

И много что ещё — но я возвращаюсь обратно к нашей задаче: нам осталось доказать угаданное разложение тангенса в цепную дробь.

А именно — мы хотим получить вот такое разложение:

Если домножить у каждой дроби числитель и знаменатель на x, то мы переходим к

Давайте ещё поделим на x и перевернём дроби:

И вот теперь можно запустить "алгоритм Евклида" — для пары из cos x и sin(x)/x.

Нам же не обязательно при разложении в цепную дробь начинать с чего-то и 1 — так давайте начинать с такого "вектора" (пусть и с функциями-компонентами) данного направления, с которым нам удобнее всего работать. А уж что приятно разлагать в ряд по x, так это синус и косинус.

Продолжим?

Так вот — именно для такой работы у Ламберта появлялись разложения синуса и косинуса. Потому что зачем работать с рядом Тейлора для тангенса, который ещё и регулярно придётся "переворачивать" (в смысле, переходить от f к 1/f), если можно работать с синусом и косинусом, которые сами по себе замечательные, и вычитать с нужным множителем.

В нашем случае мы (идя параллельно Ламберту, но чуть-чуть отклонившись) работаем с функциями
f_0(x)=cos x и f_1(x)=sin(x)/x —
в таком виде итоговое рассуждение окажется более коротким.

Раскладываем f_0 —