(Ключевой момент — подсчёт пар непересекающихся путей)

Присоединяюсь — это должно быть интересно.

А вот кому онлайн-семинар по теории вероятностей: https://www.wim.uni-mannheim.de/doering/one-world/ (встречи каждый четверг, докладчики все замечательные).

Через полчаса (в 6 вечера по Москве) доклад Nathanael Berestycki (Vienna) - Random walks on random planar maps and Liouville Brownian motion - про асимптотику случайных графов и квантовую гравитацию

Зум: https://zoom.us/j/997986033

Я подозреваю, что вот эта иллюстрация Николя Курьяна (Nicolas Curien) весьма в тему того доклада, который начнётся через 10 минут:

(Это "случайным образом собранная сфера"; интересно, что такая сфера — с той метрикой на ней, которая получается — имеет хаусдорфову размерность 4, а вовсе не 2.)

Давайте я продолжу "абелевский сезон" — и в этот раз расскажу про два результата Маргулиса.

Я начну со случайной теоремы Минковского — которую уже упоминал qtasep:

Я был на одном докладе Маргулиса, на конференции 50-летия ИППИ летом 2011 года (в коем ИППИ и я, и Маргулис до сих пор формально числимся). Эта конференция довольно важная для меня, т.к. сразу после нее я переехал в Штаты на постдок.

Ну так вот, Маргулис там прочитал доклад про относительно просто формулируемый, но очень красивый результат про случайную теорему Минковского. Конечно, это не главный его результат - про более важные вещи есть книги и доступные обзоры на них (https://www.ams.org/journals/bull/2005-42-02/S0273-0979-05-01051-7/S0273-0979-05-01051-7.pdf, https://www.ams.org/journals/bull/1992-27-01/S0273-0979-1992-00306-3/S0273-0979-1992-00306-3.pdf)

Неслучайная теорема Минковского формулируется так. Пусть есть выпуклое центрально симметричное множество A в R^n, объема больше 2^n. Тогда для любой унимодулярной решетки (в частности, для стандартной решетки Z^n), A содержит ненулевой элемент этой решетки.

Случайность позволяет ослабить предположения о симметричности и выпуклости A. Пусть A - произвольное множество положительного объема. Возьмем случайную решетку по мере Хаара на SL(n,R) / SL(n,Z). Тогда вероятность того, что случайная решетка не пересекает A, оценивается сверху как C(n)/m(A), где m(A) - объем множества A, а константа C(n) зависит от размерности.

В частности, если объем A стремится к бесконечности, то A пересекает почти все решетки, независимо от предположений симметричности и выпуклости.

Интересно, что доказательство для в размерности 2 наиболее сложное, и требует теории автоморфных форм.

Вот так и получаются очень красивые результаты, если добавить немного вероятности к известным 100 лет классическим теоремам.

Собственно, из формулировок тут уже всё сказано — но давайте я скажу пару слов более подробно про доказательства.
Давайте начнём с классической теоремы Минковского. Вот пусть у нас есть выпуклое, симметричное относительно начала координат тело в R^n. Утверждается, что максимальный объём, который может у такого тела быть, чтобы оно не содержало внутри ни одной другой точки Z^n — это 2^n, объём куба [-1,1]^n.

И доказательство очень простое и изящное: давайте сожмём наше тело в 2 раза, а потом отправим R^n в тор
T^n = R^n / Z^n.
Если объём тела был больше 2^n, то после сжатия он больше 1 — то есть больше объёма тора. Значит, какие-то две точки сжатого тела, P/2 и Q/2, перейдут в одну. То есть они отличаются на вектор из Z^n.

Но
P/2 - Q/2 = (P+(-Q))/2,
а точка (-Q) тоже принадлежит нашему телу из-за его симметричности. Ну а полусумма точек принадлежит телу по выпуклости. Вот мы и нашли целую точку внутри тела.

То же самое верно и для любой другой решётки в R^n, лишь бы у неё фундаментальный параллелепипед (из которого тор в факторе получается склейкой противоположных граней) был бы единичного объёма.
(А если не единичного, то тело должно быть объёма >2^n раз больше. Но нас будут интересовать только решётки, у которых этот объём равен 1 — их называют унимодулярными ; в конце концов, любая другая такой гомотетична.)

Но понятно, что ни от условия симметричности относительно нуля, ни от условия выпуклости, в общем случае отказаться нельзя. Потому что в первом случае можно взять прямоугольник
[0.1,0.9]x[0,10000]
на плоскости, а во втором — просто и цинично вырезать из круга радиуса 1000 окрестности всех целых точек.

Вопрос, который рассматривается в случайной версии теоремы Минковского, такой: а что, если мы выбираем решётку в R^n случайным образом? Можно ли так выбрать множество A большой меры Лебега, чтобы его избегало "много" (или хотя бы "заметная доля") решёток?

Ответ: нельзя. Вероятность того, что случайная унимодулярная решётка не пересекает A, не превосходит C_n/m(A), где C_n — константа (зависящая только от размерности n), а m(A) — мера A. В частности, (любое!) множество бесконечной меры Лебега пересекают почти все решётки.

И давайте я об этом чуть-чуть поговорю (собственно, ссылка на текст Маргулиса — http://mi.mathnet.ru/ppi2063 ).

Во-первых, как устроен выбор случайной решётки?
Саму решётку можно задать, как M(Z^n), где M — линейное отображение с определителем 1 (потому что решётка унимодулярная), то есть элемент SL(n,R). Но отображение M можно выбрать многими способами (это выбор базиса решётки) — замена M на MB, где B из SL(n,Z), ничего не меняет. Поэтому решётка — это всё равно, что элемент SL(n,R)/SL(n,Z).

(Фактор тут это, конечно, не факторгруппа, а однородное пространство — множество классов смежности)

На SL(n,R) есть хорошая — сохраняемая умножением как справа, так и слева — мера Хаара.

Есть два способа её построить — более техничный это сказать, что SL(n,R) это группа Ли, то есть и группа, и многообразие. Взять любую форму объёма на касательном пространстве в единице группы — и умножением слева принести во все остальные точки группы. Так получается левоинвариантная мера Хаара. После чего надо будет убедиться, что она (для случая SL(n,R)) и правоинвариантна.

Более простой способ — посмотрим на SL(n,R) как на гиперповерхность в матрицах nxn,
Mat(n)=R^(n^2).
Группа SL(n,R) действует на Mat(n) умножением как слева, так и справа, и оба умножения сохраняют n^2-мерную меру Лебега (потому что одно умножением работает по отдельности со столбцами, а другое со строками). А теперь уроним меру с Mat(n) на гиперповерхность SL(n,R) "коническим образом": скажем, что мера подмножества SL(n,R) это мера опирающегося на него конуса (из начала координат).