А значит, вероятность, что \hat{I_B} на случайной решётке L равна нулю — то есть что решётка L не пересекает A (нигде, кроме, быть может, нуля) — можно оценить по неравенству Чебышева: она не превышает
D(\hat{I_A})/a^2 = C_n a / a^2 = C_n/a = m(A).
Вот и всё!

Осталось посмотреть, что же происходит в размерности 2 (в частности, почему буквально предыдущее рассуждение применить нельзя) — но это я, наверное, дорасскажу уже завтра.

Продолжим?
Я обещал рассказать, в чём проблема в размерности 2. Для начала посмотрим, какова мера решёток, в которых кратчайший вектор имеет длину r. Я хочу сказать, что когда r маленькое, эта мера ведёт себя как константа*r^2.

Мы знаем, что матожидание числа векторов, попадающих в диск радиуса r, равно πr^2. Ибо это как раз мера этого диска.

Дальше нужно учесть, что если кратчайший вектор v решётки имеет длину меньше r/2, то в диск попадут не только v и -v, но и 2v и -2v, и вообще потребуется некоторая аккуратная работа. Тем не менее — давайте я сейчас ей пренебрегу и предположу, что всё равно мы получим cr^2 для такой асимптотики.

Проблема, которая у нас возникнет — это что преобразования \hat{I_A} хоть всё ещё и интегрируемы — но уже не интегрируемы в квадрате. И происходит это как раз рядом с такими "вырожденными" решётками (у которых один базисный вектор очень короткий, а другой очень длинный).

Действительно, пусть, например, A это диск единичного радиуса. Тогда на решётках, у которых кратчайший вектор v имеет длину r, преобразование \hat{I_A} равно 2*[1/r], потому что в A попадают v, 2v, ..., [1/r]*v, и ещё все те же вектора с минусами.

И мы оказываемся в ситуации, как если бы мы на плоскости в окрестности нуля работали с функцией [1/r]: она интегрируема, но вот её квадрат — уже нет.

Собственно, цитируя Маргулиса —

А идея тут такая: нам нужно было какое-нибудь подходящее преобразование. Если у "вырожденных" решёток начинает возникать проблема из-за того, что сразу много пропорциональных друг другу векторов попадает в A и мы вынуждены их все считать — так давайте их не считать!

Давайте вместо преобразования \hat{f}, где мы складываем значения f во всех ненулевых точках решётки, рассмотрим преобразование Tf, где мы рассмотрим сумму только по примитивным (неделимым) векторам:

Тогда из тех же соображений, что и раньше, матожидание Tf (как случайной величины — то есть вычисляемой на случайной решётке) должно быть константой на интеграл f по R^n по мере Лебега.

Ну и эту константу легко найти из тех же соображений, что и раньше — взяв в качестве f индикатор круга большого радиуса R. Но теперь (для большинства решёток) туда попадает не столько вершин, какова его площадь, а в \zeta(2) раз меньше. Ведь " шанс, что два больших случайных числа взаимно просты, равен 1/zeta(2) ".

Маргулис в этом месте заменяет меру на пространстве решёток, умножая её на \zeta(2), чтобы сохранилось красивое тождество с равенством интегралов — но мне приятнее оставить меру вероятностной и поделить на \zeta(2) интеграл f.

Так вот — благодаря такой замене, новое преобразование T(I_A) уже не убегает на бесконечность даже на решётках с очень короткими векторами. А последние шаги доказательства оказываются очень похожими. Во-первых, если взять диск B площади, равной мере нашего множества A, то случайная величина T(I_B) — тоже почти константа (что мы, собственно, уже видели выше).

А во-вторых, оказывается, что T-образ функции с нулевым средним не увеличивает L_2-норму:

И это и есть то самое место, где применяется теория автоморфных форм и вообще техника.

А дальше — если мы рассмотрим T-образ разницы I_A-I_B, то матожидание его квадрата не больше, чем 2a. И складывая это с оценкой на дисперсию T(I_B) — опять получаем линейную по a оценку на дисперсию
T(I_A)=T(I_A-I_B)+T(I_B).
Значит, T(I_A) опять обращается в 0 с вероятностью, не большей C/a. И значит, с вероятностью не больше C/m(A) случайная решётка не пересекает A.

Вот. Рассказ получился не самым простым — но и работа меньше, чем 15-летней давности!