Давайте я начну рассказывать об одном из результатов Маргулиса — о доказательстве гипотезы Оппенгейма (https://en.wikipedia.org/wiki/Oppenheim_conjecture ). И для начала посмотрим на саму эту гипотезу, посвящённую значениям квадратичной формы от нескольких переменных в целых точках.

Вообще, значения квадратичной формы нескольких переменных в целых точках даже для квадратичной формы с целыми коэффициентами это большая, красивая и нетривиальная наука. Сразу можно вспомнить теорему Лагранжа, утверждающую, что любое натуральное число представляется как сумма четырёх квадратов. Иными словами, значения на Z^4 квадратичной формы B(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2+t^2
это все неотрицательные целые числа.

Можно вспомнить критерий того, когда натуральное число n представляется как сумма двух квадратов: простые вида 4k+3 должны входить в разложение n на простые множители только в чётных степенях.

Чуть менее известное, но тоже красивое утверждение — это в каких натуральных точках (x,y) квадратичная форма
B(x,y)=y^2 -xy - x^2
принимает значения плюс или минус 1. Оказывается, (x,y) должны быть тогда парой последовательных числами Фибоначчи — и это критерий. (Если мы разрешаем x и y быть отрицательными, то последовательность Фибоначчи тоже нужно будет продолжить на отрицательные индексы, и ещё разрешить одновременную смену их знака). Что, кстати, хорошее упражнение.
И отсюда идёт дорога к работам Матиясевича и решению 10-й проблемы Гильберта — но по этой дороге я сейчас не пойду. :)

Так вот, возвращаясь к гипотезе — пусть у нас есть квадратичная форма (однородный многочлен степени два)
B(x_1,...,x_n)
в R^n. Рассмотрим множество X=B(Z^n) её значений во всевозможных целых точках. Вопрос, который нас будет интересовать — когда можно утверждать, что X всюду плотно?

Во-первых, нельзя, чтобы у формы B были бы целые коэффициенты. Или рациональные. Или одновременно пропорциональные рациональным. Так что будем рассматривать формы, которые не пропорциональны формам с целыми коэффициентами (и будем для краткости называть такие формы иррациональными ).

Во-вторых, нельзя, чтобы форма B была знакоопределённой — если она положительно определена, то мы по определению не получим отрицательных значений, если отрицательно, положительных. Так что пусть она будет не-знакоопределённой [индефинитной].

В-третьих, бессмысленно брать вырожденную форму — так что мы будем просить её невырожденности.
Достаточно ли попросить всего этого, чтобы X=B(Z^n) было всюду плотным? В размерности два — нет.

И тут есть два естественных примера; и тут, и там мы будем смотреть на малые значения — принимает ли B на Z^2 малые ненулевые значения (ибо если множество значений плотно, то должна).

Пример 1. Давайте рассмотрим квадратичную форму на плоскости
B(x,y)=x^2-w^2 y^2=(x-wy)(x+wy),
где w=(1+\sqrt{5})/2. Тогда ненулевые значения |B(p,q)| отделены от нуля.

Действительно, например, для натуральных p и q величина
|w-p/q|
не может быть меньше, чем 1/(5q^2) — что можно увидеть или через цепные дроби, или "вручную" — " квадратичную иррациональность нельзя приблизить лучше, чем const/q^2 ". Потому что при подстановке (p/q) в квадратный трёхчлен f(z)=z^2-z-1, корнем которого является w, мы получаем дробь со знаменателем q^2 и числителем не меньше 1 по модулю — а если значение |f(p/q)| "большое", то и |w-p/q| большое, ибо теорема Лагранжа.

Так вот — раз |w-p/q| не меньше, чем 1/(5q^2), то |p-wq| не меньше 1/5q, и значит, произведение
|B(p,q)|= |p-wq| |p+wq|
не меньше 1/5.

Цитируя Маргулиса из сборника лекций филдсовских медалистов (https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/9789812564856_0009 ) —

Пример 2 — из работы самого Оппенгейма, https://academic.oup.com/qjmath/article-abstract/4/1/54/1568503 . Он очень похож на предыдущий, но в этот раз форма будет принимать маленькие положительные значения и не будет — маленьких отрицательных.
А именно — достаточно взять
B(p,q)=pq-wq^2 = q (p-wq),
где разложение константы w в цепную дробь,
w=[a_0; a_1,a_2,a_3,...]
таково, что нечётные его элементы a_{2k-1} равномерно ограничены, а чётные a_{2k} стремятся к плюс бесконечности.
Тогда подходящие дроби (p_i,q_i), полученные обрубанием цепной дроби для w после a_i с нечётным i=2k-1, приближают w с избытком, меньшим
1/(q_i q_{i+1}) — и потому соответствующие положительные значения
B(p_i,q_i) =q_i (p_i-q_i w) < q_i/q_{i+1} < 1/a_{i+1}
стремятся к нулю. А из-за ограниченности нечётных элементов цепной дроби соответствующие отрицательные значения к нулю не подходят.

Так что в размерности 2 требований выше ещё не хватает. Так вот: давайте, в-четвёртых, попросим, чтобы размерность n была бы не меньше 3.

Гипотеза Оппенгейма. Невырожденная, индефинитная [не-знакоопределённая], иррациональная форма в размерности n, не меньшей 3, принимает на Z^n всюду плотное множество значений.

И первое интересное утверждение тут — это её эквивалентная переформулировка. Оказывается, что достаточно попросить, чтобы форма принимала сколь угодно близкие к нулю ненулевые значения. С одной стороны, если уж множество значений в целых точках будет плотным, то там будут сколь угодно близкие к нулю значения. Но как пройти в обратную сторону?

Половина ответа: если значение B(v) маленькое, то на множестве пропорциональных v векторов мы получим множество значений
B(kv)=k^2 B(v),
и соответствующую полупрямую (положительную или отрицательную) сжатое умножением на B(v) множество квадратов "засевает" достаточно плотно (тем плотнее, чем меньше |B(v)|).

Но — а что делать со значениями другого знака? Мы видели (пример 2), что на плоскости, вообще говоря, ничего — там может быть так, что маленьких значений другого знака и впрямь нет.

Оказывается, что начиная с размерности 3, из наличия маленьких значений одного знака следует наличие маленьких значений другого знака. И тут я пока просто процитирую две теоремы из той же работы Оппенгейма —

Так вот — гипотезу Оппенгейма в конце 1980-ых доказал Маргулис. И в следующий я собираюсь сказать пару слов о том, какая тут возникает геометрия и при чём тут решётки и группы Ли.
Да, for the record: насколько я понимаю, исходная формулировка гипотезы Оппенгейма в 1929 была другой, там была размерность не ниже 5, что мотивировалось теоремой Мейера о том, что в такой размерности индефинитная форма с целыми коэффициентами нетривиально представляет ноль. К её окончательному виду приложил руку Дэвенпорт — кстати, он же c Heilbronn-ом в 1946-м доказал её в размерности >= 5 для диагональных форм — см. https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/jlms/s1-21.3.185 — и вместе с D. Ridout в 1958-м в размерности >= 21 без этого ограничения — см.
https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/plms/s3-9.4.544 . Я не уверен, что готов тут делать аккуратный исторический обзор — так что помните, пожалуйста, что кто-то тут наверняка остаётся "за кулисами" моего рассказа...