И в продолжение — вот тут картинка, которая показывает, что происходит:
https://twitter.com/matthen2/status/1262249113384452096

Первое издание «Математической составляющей» вышло в 2015 году и получило премию «Просветитель». Второе издание существенно дополнено — достаточно сказать, что объем книги вырос в два раза. Мы публикуем три главы из второго издания.

«Складывание карт»

Наверняка вам знакома эта ситуация, когда разложить листочек легко, а при складывании приходится вспоминать, как он был сложен. Есть ли способ складывания, при котором развернутая карта складывалась бы «сама» и не нужно было бы ничего запоминать?

«Цветовые пространства»

Какими могут быть модели цветового пространства? Авторы рассказывают о моделях RGB и CMYK, об их математической основе и об особенностях использования.

«Случайные блуждания»

Теория случайных блужданий началась с открытия в 1827 году броуновского движения. У нее много применений и любопытных следствий. Лауреат Филдсовской премии Станислав Смирнов рассказывает о её роли в экономике и молекулярной физике, а также о связи случайных блужданий и фракталов.

elementy.ru/link/t/mathcomponent

https://twitter.com/74WTungsteno/status/1261584412946374657

картинка по выходным — про дельтоиду (спасибо В.Клепцыну за ссылочку)

(контекст — можно прочитать в уже упоминавшейся замечательной книге «Прямые и кривые», а также у J.Baez’а)

Вот ещё одна красивая картинка на эту же тему — спасибо М. Панову:

И при взгляде на неё видно, что происходит что-то нетривиальное: все нарисованные "гипоциклоиды" катятся друг по другу, и касаясь друг друга, и скользя каждая своими вершинами по следующей. Так что давайте посмотрим аккуратно, что и почему происходит.

Для начала — "что": друг по другу без проскальзывания катаются окружности радиусов r, 2r, 3r,..., оставаясь все одновременно касающимися (можно считать, что внутренняя "прижимает" все промежуточные к внешней). На внутренней окружности отмечена точка — и она рисует кривые (гипоциклоиды) на кругах, связанных с этими окружностями.

Можно спросить, конечно, как можно так рисовать одновременно на всех уровнях — ну либо нужно сказать, что точка это лазер, а на каждой окружности частично-прозрачная фоточувствительная бумага, либо сказать, что мы эту картинку рисуем последовательно — рисующая точка это фломастер, а после каждого оборота мы заклеиваем прозрачным диском очередную окружность.

Теперь ответ "почему они все касаются" простой — но всё-таки не мгновенный. Хотелось бы сказать, что эти кривые касаются друг друга — потому что их рисует одна и та же точка (и ровно в той точке, где она сейчас находится, они и касаются). Но — она их рисует на движущихся кругах.

Если бы мы взяли два листа бумаги и начали двигать с постоянной скоростью в двух разных направлениях, а рисующую точку сделали бы вообще неподвижной — то она на этих листах нарисовала бы прямые, пересекающиеся под углом (потому что каждая прямая будет того направления, куда мы тащим соответствующий лист). Поэтому просто словами "да все эти кривые одной и той же точкой нарисованы" нам не отбиться, нужно посмотреть чуть более аккуратно.

И тут можно сказать, что при качении без проскальзывания мгновенный центр вращения — точка касания. То есть все скорости в каждом из кругов в данный момент времени направлены так, как если бы он поворачивался вокруг точки касания.
Что, собственно, и логично. Ибо если поверить, что мгновенный центр вращения должен быть (а куда ему деться — если мы знаем теорему Шаля о классификации движений плоскости, так посмотрим, какой поворот переводит колесо в данный момент t в его положение в момент t+\delta, и возьмём предел центров этих поворотов), то этим мгновенным центром должна быть сейчас-неподвижная-точка, а это как раз точка касания.

Собственно, это часто рассказывают на физике — ну и мне вспоминается вот этот кадр из мультфильма "Циклоида" Математических Этюдов (https://www.etudes.ru/ru/etudes/cycloid/ ) —

Тут нарисован ответ на вопрос, как направлена мгновенная скорость попавшего в колесо камушка. Ну и если на этой картинке провести отрезок к точке касания (которая внизу), то как раз и получится опирающийся на (вертикальный) диаметр прямой угол — как и положено углу между вектором скорости и радиус-вектором из центра вращения.

Так вот — наши круги все (в каждый момент времени) касаются друг друга. Поэтому мгновенные скорости у них у всех в любой точке — в частности, в рисующей — сонаправлены (ибо все перпендикулярны радиус-вектору из точки касания).

И поэтому и у рисуемых кривых касательные идут в том же (одном и том же для всех) направлении — то есть они касаются.

Половина загадки разгадана; давайте теперь перейдём к вершинам. Достаточно разобраться, почему вершины предпоследней (синей) кривой едут по последней, неподвижной (фиолетовой). Потому что для движения, скажем, жёлтой дельтоиды по зелёной астроиде можно просто перейти в (движущуюся) систему отсчёта — сесть на зелёный круг. Там зелёный круг неподвижен, всё, что снаружи, можно выкинуть, а внутри мы видим такую же конфигурацию (окружности катятся с общей точкой касания).

Вершина на синей кривой появляется в тот момент, когда рисующая точка оказывается точкой касания (то есть когда она максимально-внешняя). И дальше эта синяя вершина едет вместе с синей окружностью — двигается по гипоциклоиде.

Но если внутри окружности радиуса R рисовать гипоциклоиду окружностью радиуса r1 — то получится то же самое, что если её рисовать окружностью r2=(R-r1), движущейся в другую сторону. Более того, если взять отношение угловых скоростей обратно пропорциональным отношению радиусов — то просто отмеченные точки на рисующих окружностях будут совпадать в каждый момент времени. И вот иллюстрация к этому (опять спасибо М. Панову!) —

Рисующая точка (красная) общая для двух окружностей: при таком отношении угловых скоростей радиус-вектор в точку одной окружности из её центра поворачивается так же, как и радиус-вектор в центр другой окружности из центра неподвижной. Вот у нас и получается параллелограмм.