И эти 24 центра образуют правильный многогранник в четырёхмерном пространстве — один из трёх нетривиальных!
В любой размерности есть правильные многогранники — (гипер)куб, симплекс (аналог тетраэдра) и "гипероктаэдр" (двойственный к кубу). Но в размерностях, больших 4, больше ничего нет.
В размерности 3 есть ещё двойственные друг другу додекаэдр и икосаэдр.
А в размерности 4 есть ещё три нетривиальных правильных многогранника — тот самый (самодвойственный) 24-вершинник, и двойственные друг другу 120- и 600-вершинники.

Вот так этот 24-вершинник выглядит:

Такая картинка получается, если его сначала "раздуть" до трёхмерной сферы (вложенной в R^4) — а потом стереографически спроецировать эту сферу на R^3.
И это кадр из фильма "Dimensions" (http://dimensions-math.org/Dim_RU.htm ), который сделали в своё время Etienne Ghys (Этьен Жис), Jos Leys и Aurelien Alvarez — состоящий из девяти 13-минутных глав.

Самые красивые картинки правильных 4-мерных многогранников появляются в четвёртой главе, вот тут — https://youtu.be/74yIvy0F1bk?t=6m40s .
А ещё два года назад Женя Смирнов читал в ЛШСМ курс про правильные многогранники —
https://www.mccme.ru/dubna/2018/courses/esmirnov.html — и я очень советую текст его записок:
http://www.mccme.ru/free-books/dubna/smirnov-reflections-v2.pdf

Связывая разные кусочки — вот одно упражнение из середины (глава "2 1/2", почти "9 3/4") —

12 июня — традиционный день Арнольда: Арнольдовская лекция А.М.Вершика и лекция Арнольдовского стипендиата Романа Крутовского

https://math.hse.ru/announcements/371576993.html

О, вот эта задача совершенно замечательная — и сама по себе, и ещё больше связанной с ней историей (см. послесловие):

Древнее древних греков

Даны соединенные вместе фрагменты текста, найденного в 1952 году на глиняной табличке в городе Пилосе, и их условные транскрипции в перепутанном порядке:

1. dipa mewijo tirijowe
2. dipae mezoe tiriowee
3. dipa mewijo anowe
4. dipa mewijo qetorowe
5. tiripode ajkeu keresijo weke
6. tiripo eme pode owowe
7. dipa mezoe qetorowe

Выделите в тексте фрагменты и найдите соответствия. Попробуйте понять, как переводятся слова: anowe, tiripo, qetorowe, dipa, tirijowe, dipae, tiripode.

Из послесловия вы узнаете, что это за табличка и какую роль она сыграла в расшифровке древней микенской письменности.
elementy.ru/link/t/Pylos

Начинается лекция А. М. Вершика на дне Арнольда —

Давайте продолжим — и раз уж у нас всплыли правильные многогранники, то тут есть ответвление, которое нельзя не упомянуть: давайте построим два оставшихся четырёхмерных правильных многогранника. Точнее, построим 120-вершинник, а 120-гранник с 600 вершинами будет просто двойственным к нему. И для этого — посмотрим, какая связь между кватернионами и вращениями трёхмерного пространства.

Про кватернионы есть замечательная книга В. И. Арнольда, "Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов" — https://www.mccme.ru/free-books/izdano/2002/VIA-kvatern.pdf — которую мне хочется всячески порекламировать (а мой рассказ тут близко следует ей — а точнее, той лекции В.И.А. на малом мехмате, из которой она получилась).

Так вот: у нас есть кватернионы, числа вида a+bi+cj+dk с некоммутативным умножением:

И как и в комплексных числах, в них есть сопряжение, изменяющее знак у всех трёх "мнимых единиц" i, j и k:

Но в отличие от комплексных чисел, в кватернионах сопряжение изменяет порядок сомножителей:

Это несложно проверить (собственно, это как раз и есть антикоммутативность произведения на разных мнимых единицах); а произведение z*conj(z) это квадрат длины z как вектора в R^4.
Собственно, вещественная часть сразу видно, что будет равна a^2+b^2+c^2+d^2, а мнимые компоненты можно или проверить, что сократятся, или сказать, что z*conj(z) сохраняется сопряжением: