Но давайте вернёмся к коду Хэмминга, и усилим его, добавив бит контроля чётности:

Скорость передачи упала ровно вдвое — мы теперь передаём 4 бита за блок длиной 8. Зато кодовое расстояние возросло до 4, поэтому мы можем не только исправить одну ошибку, но и обнаружить (хоть и не исправить) две.

И кстати — несколько более сложные, но аналогичные коды реально применялись для связи с далёкими зондами:

(отсюда — http://www-math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m7409/mariner9talk.pdf )

Так вот, расширенный код Хэмминга обладает двумя замечательными свойствами: он дважды чётен (вес, то есть число единиц в любом его элементе, делится на 4; терминология традиционная), и унимодулярен: размерность у него равна половине размерности всего пространства.

Давайте теперь применим такую общую конструкцию. Пусть есть линейный код C, то есть подпространство в F_2^n. Возьмём его прообраз при отображении "приведения по модулю 2"
Z^n-> F_2^n.
Получится решётка — более того, подрешётка в Z^n. И теперь сожмём её в корень из 2 раз.

Оказывается, что если мы начали унимодулярного кода — получится унимодулярная (т.е. с кообъёмом 1) решётка. Если с дважды чётного кода — чётная решётка.

И из пополненного кода Хэмминга получается как раз решётка E_8, решётка Коркина-Золотарёва!

Что, конечно, совершенно не очевидно.

Кстати — если задана чётная решётка, то набор векторов длины \sqrt{2} в ней образует систему корней: конечное множество векторов, отражения относительно перпендикулярных им гиперплоскостей сохраняют это множество. (Это не полное определение — см. https://en.wikipedia.org/wiki/Root_system#Definition — но остальное в нашем случае будет выполнено совсем автоматически)
И это следует из формулы для отражения: отражение относительно перпендикулярной к v гиперплоскости это

И если <v,v>=2, то в правой части стоит просто
u-<u,v>*v.
Поскольку чётная решётка автоматически целая, то это тоже вектор из той же решётки — поэтому такое отражение сохраняет всю решётку, в частности, набор её кратчайших векторов.

Так вот, кратчайшие вектора решётки E_8 образуют систему корней E_8. И хорошее упражнение — посчитать, сколько их.

Можно посчитать для конструкции через чётную сумму и сдвиг на (1/2,...,1/2).

Тогда будет:
(8*7/2) * 4 = 112 векторов вида (±1,±1, 0,...,0), где ±1 стоят на произвольных двух местах;
и ещё 128 векторов вида (±1/2,±1/2,....,±1/2), где число знаков "-" чётно.
Итого 112+128=240.

Можно в конструкции через код Хэмминга: в расширенном коде Хэмминга один вектор нулевой, один состоит из восьми единиц, а остальные 16-2=14 веса 4.

Каждый из них порождает 16*14= 224 прообраза длины \srqt{2} (потому что все возможные выборы знака).
Да ещё (как и в случае с шахматной решёткой, их тоже надо не забыть!)
2*8=16 векторов вида (±\sqrt{2},0,...,0).
Итого: 224+16=240.

Да — поскольку эти 240 векторов это кратчайшие вектора решётки, то контактное число в размерности 8 не меньше 240. Так вот, оно равно 240 — так что решётка E_8 в этом смысле оптимальна.