Так вот — как это ни смешно, мы пока что знаем только одну точку из множества Мандельброта, точку c=0 (просто потому, что про другие мы не задумывались). И там z=0 это суперпритягивающая точка: все близкие точки к ней стремятся, причём с суперэкспоненциальной скоростью (потому что расстояние до неё не делится, скажем, пополам или даже на 10, а возводится в квадрат). И, в частности, не убегает на бесконечность.
Если мы возьмём маленькое по модулю, но ненулевое c, то z=0 уже не будет неподвижной точкой. Но где-то неподалёку будет неподвижная точка z_0, решение уравнения z_0=P(z_0)=z_0^2+c, производная в которой (по непрерывности) будет очень маленькой по модулю.
В частности, эта точка будет притягивающей: все достаточно близкие к ней будут стремится. Значит, заполненное множество Жюлиа будет включать в себя её маленькую окрестность.
В частности, эта точка будет притягивающей: все достаточно близкие к ней будут стремится. Значит, заполненное множество Жюлиа будет включать в себя её маленькую окрестность.
И значит, точка c принадлежит множеству Мандельброта. Что можно увидеть двумя способами. С одной стороны, если поверить в то, что два определения множества Мандельброта (не-уход 0 на бесконечность и заполненное множество Жюлиа не канторово) эквивалентны, то вот мы нашли целую окрестность, которая не убегает на бесконечность.
С другой — есть такое очень красивое утверждение: любая притягивающая периодическая орбита обязана притянуть к себе хотя бы одну критическую точку.
Оно доказывается так: сначала оказывается, что динамику отображения P рядом с притягивающей неподвижной точкой z_0=P(z_0) можно линеаризовать: можно найти новые координаты y=h(z), в которых применение отображения превращается просто в умножение на его производную λ=P'(z_0). И, более того, такое линеаризующее отображение очень несложно ищется — пишется предел
(давайте для простоты считать, что z_0=0, иначе сдвинем систему координат)
и тогда из предела видно, что h(P(z))=λh(z), то есть h превращает применение P в умножение на λ.
Но — пока притягивающая точка к себе не притянула хотя бы одну критическую, это соотношение позволяет "растягивать" область, где h^{-1} определено, всё дальше и дальше. И если и не притянет — то у нас будет конформная биекция между бассейном притяжения P до сопряжения и всей комплексной плоскостью (бассейном притяжения нуля) после. А это запрещено комплексным анализом (например, теоремой Лиувилля).
Если вы за этим рассуждением не уследили, ничего страшного — можно запомнить только само утверждение, что притягивающая орбита всегда притягивает к себе хотя бы одну критическую точку.
А в нашем случае P(z)=z^2+c критическая точка вообще лишь одна, это точка z=0. Значит, если есть притягивающая орбита — она притянет к себе орбиту z=0. В частности, образы z=0 не убегают на бесконечность — и это по определению и значит, что c из множества Мандельброта.
Математические байки
Если вы за этим рассуждением не уследили, ничего страшного — можно запомнить только само утверждение, что притягивающая орбита всегда притягивает к себе хотя бы одну критическую точку.
На самом деле, это утверждение (и следствия из него) вполне удивительны. Например, отсюда следует, что притягивающих орбит у P(z)=z^2+c может быть не больше одной — каков бы ни был их период!
То есть, скажем, уравнение P^10(z)=z имеет кучу решений (как-никак, в левой части стоит многочлен степени 1024); кое-где мы посчитали по нескольку раз точки одной орбиты, но всё равно периодических орбит периода 10 много. А притягивающей может быть не больше одной из них!
Мне очень нравится формулировка Ю. С. Ильяшенко — из его курса, на который я в студенческие годы ходил:
Каждая притягивающая орбита должна купить себе "трамвайный билетик" — критическую точку. Поэтому притягивающих орбит у рационального отображения не больше, чем критических точек.
Каждая притягивающая орбита должна купить себе "трамвайный билетик" — критическую точку. Поэтому притягивающих орбит у рационального отображения не больше, чем критических точек.
Итак, в частности, пока у P(z)=z^2+c есть притягивающая неподвижная точка — параметр c из множества Мандельброта. А при каких c она есть?
Можно к этому вопросу подойти двояко. Можно пойти "в лоб": написать квадратное уравнение на неподвижную точку, z=z^2+c, решить его, найдя неподвижную точку, найти в ней производную и попросить, чтобы она была меньше 1 по модулю.
Но можно — и гораздо проще — пройти в обход, сыграв "от производной".
А именно — мы же знаем, что производная λ=P'(z_0) в неподвижной точке z_0 должна быть меньше 1 по модулю — так давайте для каждой такой λ посмотрим, каким c она может соответствовать?
Сначала найдём саму неподвижную точку: производная (z^2+c) это 2z, так что z_0=λ/2.