Но можно — и гораздо проще — пройти в обход, сыграв "от производной".
А именно — мы же знаем, что производная λ=P'(z_0) в неподвижной точке z_0 должна быть меньше 1 по модулю — так давайте для каждой такой λ посмотрим, каким c она может соответствовать?
Сначала найдём саму неподвижную точку: производная (z^2+c) это 2z, так что z_0=λ/2.
А теперь из её неподвижности — и сам параметр c:
c=z_0-z_0^2 = λ/2 - λ^2/4.
c=z_0-z_0^2 = λ/2 - λ^2/4.
Граница возможных c будет образом граничных λ — то есть единичной окружности. Если мы возьмём
λ=e^{i φ},
и будем смотреть, как с изменением угла φ меняется c, то мы увидим сумму двух слагаемых: одно, λ/2, это вектор длины 1/2, поворачивающийся с единичной скоростью, а второе, -λ^2/4, вдвое короче и поворачивается со вдвое большей скоростью.
λ=e^{i φ},
и будем смотреть, как с изменением угла φ меняется c, то мы увидим сумму двух слагаемых: одно, λ/2, это вектор длины 1/2, поворачивающийся с единичной скоростью, а второе, -λ^2/4, вдвое короче и поворачивается со вдвое большей скоростью.
И тут уже несложно увидеть, что это кардиоида в её классическом определении — кривая, заметаемая точкой одной окружности при её качении по другой, такого же радиуса:
Математические байки
Вот, собственно, она изображена — на кадре из видео "Times Tables, Mandelbrot and the Heart of Mathematics" (https://youtu.be/qhbuKbxJsk8?t=273 ) :
(кадр из того же видео "Times Tables, Mandelbrot and the Heart of Mathematics")
Где окружности радиуса (1/4) — вектор из центра чёрной окружности в центр синей это λ/2, а вдвое быстрее поворачивающийся вектор из центра синей к отмеченной точке — это -λ^2/4.
Вот отсюда в множестве Мандельброта и есть эта — "главная" — кардиоида. Но состоит оно далеко-далеко не только из неё. Скажем, если перейти из неё в соседнюю большую компоненту сверху, то там живёт "кролик Дуади", множество Жюлиа вот такого вида:
Математические байки
Photo
Явно видны два (немного разных) уха, тело и две лапы.
А если перейти в другую компоненту — получится трёхлапый (и трёхухий) кролик-мутант:
Можно взять точку z=i (дойдя до неё по одному из "усов" сверху):
Можно, наоборот, уйти влево по оси абсцисс — и кстати, неожиданно увидеть там копию множества Мандельброта:
Ну и вообще, если вы этого никогда не делали — я очень советую поиграть с такими картинками, увеличивая во много раз какую-нибудь часть множества Мандельброта и смотря на соответствующее множество Жюлиа. Там будет много красивого.
Возвращаясь к кардиоиде — она же получается как огибающая "таблицы умножения на 2": если расставить много-много точек на равных расстояниях на окружности и соединить отрезком точку номер k с точкой номер 2k.