И проверить это совершенно несложно: собственно, вот соответствующая картинка —
Видно, что если точка первого отражения параллельного пучка отстоит от точки его касания со стаканом на α, то придёт отражённый луч в точку 3α — а огибающая таких отражённых лучей и будет (видимой глазом) каустикой.
Ну и на этом на сегодня я прекращаю дозволенные речи — а в следующий раз собираюсь всё-таки проговорить, что же именно мы при движении вдоль кардиоиды видим.
Давайте я немного поговорю о том, что происходит рядом с главной кардиоидой. И начну с точки (1/4): "уголка" кардиоиды, где у отображения
z-> z^2 + (1/4)
есть параболическая неподвижная точка z_0=(1/2), производная в которой равна 1 — по линейным членам нет ни притяжения, ни отталкивания.
Если увеличить рядом с ней множество Мандельброта, то мы увидим много-много его как-бы-копий; таких же, как мы видим во многих других местах. И это пока, вроде бы, совершенно непонятно (оно же множество параметров, почему его кусочки на него похожи?!) — но к этому мы перейдём чуть позже.
z-> z^2 + (1/4)
есть параболическая неподвижная точка z_0=(1/2), производная в которой равна 1 — по линейным членам нет ни притяжения, ни отталкивания.
Если увеличить рядом с ней множество Мандельброта, то мы увидим много-много его как-бы-копий; таких же, как мы видим во многих других местах. И это пока, вроде бы, совершенно непонятно (оно же множество параметров, почему его кусочки на него похожи?!) — но к этому мы перейдём чуть позже.
Так вот — давайте сначала посмотрим, что происходит ровно в точке (1/4). Если перенести неподвижную точку z_0=1/2 в начало координат, сделав замену w=z-z_0, то отображение примет вид
w-> w+w^2
(потому что должно получиться нечто квадратичное, без свободного члена, потому что 0 неподвижная точка, с линейным коэффициентом 1, потому что это производная в неподвижной точке, и со старшим коэффициентом 1, потому что так и было, а замена это параллельный перенос).
w-> w+w^2
(потому что должно получиться нечто квадратичное, без свободного члена, потому что 0 неподвижная точка, с линейным коэффициентом 1, потому что это производная в неподвижной точке, и со старшим коэффициентом 1, потому что так и было, а замена это параллельный перенос).
А как устроены его итерации рядом с неподвижной точкой?
Когда w маленькое, смещение w^2 его сильно меньше — и можно вместо итераций отображения
w->w+w^2
думать о траектории w(t), заданном дифференциальным уравнением
w'=w^2.
А это уравнение очень хорошо решается — потому что
1=w'/w^2 = (-1/w)',
поэтому замена u=(-1/w) превращает его просто в u'=1.
Это постоянное поле скоростей на комплексной плоскости, где всё движется из бесконечности в бесконечность — а возвращаясь в координату w=-1/u, мы видим движение по окружностям:
Когда w маленькое, смещение w^2 его сильно меньше — и можно вместо итераций отображения
w->w+w^2
думать о траектории w(t), заданном дифференциальным уравнением
w'=w^2.
А это уравнение очень хорошо решается — потому что
1=w'/w^2 = (-1/w)',
поэтому замена u=(-1/w) превращает его просто в u'=1.
Это постоянное поле скоростей на комплексной плоскости, где всё движется из бесконечности в бесконечность — а возвращаясь в координату w=-1/u, мы видим движение по окружностям:
Именно поэтому мы видим такой "клюв" рядом с неподвижной точкой z_0 у соответствующего множества Жюлиа:
Точки справа от клюва убегают слишком далеко вправо от 0 — где дифференциальное уравнение уже не приближает отображение, и где |w| будет просто неограниченно нарастать (из-за возведения в квадрат).
И кстати — похожесть множества Мандельброта и множества Жюлиа не случайна; по этой тропинке я сейчас не пойду — но покажу ещё пару картинок:
И окрестность соответствующей ему точки множества Мандельброта: