Оказывается, что если r "плохо приближается рациональными числами", то итерации f "усредняются" и приводят к тому, что точки не сближаются и не удаляются.

Более точно — если r иррациональное, то можно написать "ряд замены"
h(w)=w+c_2 w^2+ c_3 w^3+...,
такой, что
h(f(w))=λ h(w) —
иными словами, такой, что в координате z=h(w) отображение f становится просто умножением на λ.

И пишется такой ряд просто по индукции — причём на очередном шаге, убирая коэффициент при w^{m+1}, приходится делить на (λ^m-1).

Так что если r плохо приближается рациональными числами — то есть если степени λ^m не слишком близко (ну, насколько возможно) попадают к 1 — то есть надежда, что такой формальный ряд действительно сойдётся.
Что правда — только за этим довольно много всего стоит, включая дорогу, ведущую к КАМ-теории — теории Колмогорова-Арнольда-Мозера.
(А также слова "малые знаменатели", про которые теперь понятно, на что они намекают; для каких-то степеней всё-таки придётся делить на что-то маленькое, потому что все степени λ^m далеко от 1 быть не могут.)

Кстати —
В. И. Арнольд, "Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике", УМН, 1963, http://mi.mathnet.ru/umn6441

Туда мы сейчас не пойдём — зато я покажу один пример из астрономии, щели Кирквуда.
Сейчас известно довольно много астероидов — счёт идёт на сотни тысяч. Если построить гистограмму, "сколько нам известно астероидов с данным периодом обращения вокруг Солнца" — то получается вот что:

(Картинка из Википедии — https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/archive/d/d3/20161213014817%21Kirkwood_Gaps.noscript )

То есть — на периодах, которые "хорошо соизмеримы" с периодом обращения Юпитера, мы астероидов почти не видим. В некоторых (весьма сильных) кавычках можно сказать, что на "хорошо иррациональных" орбитах влияние Юпитера усредняется. А вот на рациональных он на каждом обороте "подтягивает" астероид (точнее, параметры его орбиты) в одну и ту же сторону (а Юпитер, как-никак, аж 1/1000 от массы Солнца, так что эффект от него за миллионы лет весьма заметный) — и в итоге таких астероидов не остаётся.
(Давайте я сразу скажу, что соизмеримость периодов именно гарантированной проблемы не создаёт. Есть, к примеру, резонанс 1:2:4 между периодами обращения лун Юпитера — Ганимедом, Европой и Ио; см. https://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_resonance . Но это, насколько я понимаю, скорее редкость.)

Но вернёмся к нашей комплексной динамике.
Мы выяснили, что если коэффициент r для динамики с λ=exp(2πi r) рациональный, r=p/q — то точка параболическая, и за ней начинается другая компонента.
Если иррациональный и рациональными плохо приближающийся — то рядом с такой точкой динамика приводится к виду "умножение на λ" (то есть точки не сближаются и не удаляются). Это то, что называется диском Зигеля, и вот пример такого множества Жюлиа — для r, равного золотому сечению:

А вот его же изображение из той же Википедии —
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Quadratic_Golden_Mean_Siegel_Disc_IIM.png

Ну хорошо, если λ=exp(2πi r), и r рациональное, то мы ответ более-менее знаем. Если r иррациональное и рациональными числами плохо приближается — тоже. А если хорошо? Если, к примеру, r это классический пример трансцендентного числа — сумма ряда
\sum_n 1/10^{n!} ?
Если коротко, то "всё интересно" (и тут есть слова "точка Кремера" ).

И по тропинкам, которые начинаются с этого вопроса — который почти автоматически возникает при взгляде на ту анимацию, с которой я весь этот рассказ начал — мы сейчас попробуем пройти.

Долгое время был открытым такой вопрос: может ли множество Жюлиа у полиномиального отображения иметь положительную меру?
Этот вопрос был бы тривиальным, если бы его задавали про заполненное множество Жюлиа — про те точки, которые не убегают на бесконечность. Например, для z^2 это (замкнутый) единичный диск.
Но — его спрашивали про настоящее множество Жюлиа, то, на котором динамика хаотична — иными словами, про границу заполненного множества Жюлиа.
Скажем, для z->z^2 это просто единичная окружность — конечно, имеющая меру ноль (то есть "занимающая нулевую площадь").

Так вот — всего, что мы сейчас увидели, достаточно, чтобы (в общих чертах) посмотреть, как Xavier Buff и Arnaud Cheritat построили (см. https://arxiv.org/pdf/math/0605514.pdf ) пример — причём как раз на главной кардиоиде:

И идея, собственно, очень простая и красивая. Давайте начнём с r (которое у них α), которое бы плохо приближалось рациональными. Например, с α, которое было бы золотым сечением. Тогда заполненное множество Жюлиа содержит диск Зигеля — который мы уже видели — и потому имеет положительную меру. А неподвижная точка сидит "в центре" этого диска — вокруг неё "всё крутится".

Теперь давайте обрубим цепную дробь α где-то глубоко-глубоко, получив вместо α близкое к нему рациональное число с огромным знаменателем q. Тогда мы получим параболическую точку, от которой будут убегать q узких "клювов неустойчивости" (таких же, как зазор между ушами и телом у "толстого кролика")

А что будет, если вместо того, чтобы обрубать совсем, мы заменим какой-нибудь большой по номеру элемент цепной дроби на огромное число — но цепная дробь после него останется?
С одной стороны, если это число и впрямь совсем-совсем огромное — то новое α' настолько близко к соответствующему p/q (как если бы мы в этом месте цепную дробь обрубили), что "клювы" неустойчивости (которые не принадлежат заполненному множеству Жюлиа) почти останутся — так что заполненное множество Жюлиа будет ими "прорезано". С другой — за счёт "хвоста" новое число α' всё ещё (асимптотически) плохо приближается рациональными — так что мы всё ещё увидим диск Зигеля, просто его граница начала заходить внутрь диска для исходного α.
И вот картинка из их статьи —