Математические вечера ЛШСМ завершаются. Сегодня в 16 часов — последняя лекция, А.П.Веселов и В.Ю.Овсиенко будут рассказывать старое и новое о цепных дробях

«Хорошо известно, что обычные цепные дроби полезны для рациональных приближений действительных чисел, и что периодические цепные дроби — это в точности квадратичные иррациональности. Оказывается, что аналоги цепных дробей над кольцом полиномов от одной переменной полезны для описания эллиптических интегралов, берущихся в элементарных функциях. Об этих замечательных результатах Абеля и Чебышева будет рассказано в первой части лекции.

Во второй части будет рассказано о новой версии подобных цепных дробей, возникшей недавно в связи с комбинаторикой и кластерными алгебрами. Эта новая версия оказалась связанной также с теорией узлов и легла в основу понятия “квантовых” или “q-деформированных” чисел.»

Алаверды к появившемуся на доске уравнению Пелля —
В. О. Бугаенко, "Уравнения Пелля":
https://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.13.pdf

Ещё "слайды" из сегодняшнего рассказа —

И ещё —

80 лет назад родился Николай Борисович Васильев (08.08.1940–28.05.1998)

http://mi.mathnet.ru/mp35
http://kvant.mccme.ru/au/vasilev_n.htm

Этот вопрос задавал Сэмюэль Лойд — автор множества головоломок; а с картинки выше начинается вот эта статья — https://images.math.cnrs.fr/La-mesure-des-figures-du-plan.html .
Собственно, Images de Maths я очень люблю, и там есть ещё много интересного — например, рассказ о "кубическом" футбольном мяче, http://images.math.cnrs.fr/Le-Brazuca-le-ballon-cubique-de-la-Coupe-du-monde , заслуживает отдельного поста.

Кстати — без запрета на повороты частей ответ на вопрос, когда из одной фигуры "ножницами" можно сделать другую, даёт теорема Бойяи--Гервина. А именно — два многоугольника равносоставлены тогда и только тогда, когда у них совпадают площади. Часть "только тогда" очевидна — а вот для "тогда" нужно поработать; правда, доказательство получается вполне обозримым.

Первый раз я его, кажется, услышал на лекции А. А. Гайфуллина два года назад на ЛШСМ — http://www.mathnet.ru/present21265 ; удивительно поздно, с учётом того, что рассуждение абсолютно школьное — но как-то раньше я факт знал, а доказательство посмотреть руки не доходили.

Собственно, понятно, что равносоставленность это отношение транзитивное (если A~B и B~C, то A~C: из аналогии с ножницами это очень хорошо видно).
Поэтому можно выбрать единицу длины и доказывать, что любая фигура равносоставлена прямоугольнику размера 1xS.
А поскольку любой многоугольник можно разрезать на треугольники — то достаточно это доказать для всех треугольников. Наконец, треугольник просто превратить в параллелограмм:

Следующее упражнение, что два параллелограмма с равной площадью и общим основанием равносоставлены. Пока они не сильно наклонены, можно обойтись вообще одним переставляемым треугольником:

А в общем случае можно либо нарезать на тонкие горизонтальные слои, или (что мне нравится больше) наклеить параллелограммы на цилиндр так, чтобы общее основание превратилось в окружность-параллель этого цилиндра. И тогда наклейка будет "в один слой", а граница одного из параллелограммов покажет, где нужно разрезать другой.

Кстати, можно я вспомню задачу про верблюда?

самый лучший способ увидеть решение — паркет из верблюдов

Остаётся совсем чуть-чуть (и это, мне кажется, самый изящный шаг доказательства): если начать "перекашивать" параллелограмм — его вторая сторона будет расти. Значит, в какой-то момент она станет целой — равной какому-то k. После чего можно взять за основание уже её — и превратить параллелограмм в прямоугольник k x L, а его уже, разрезав k как 1+1+...+1 — в прямоугольник 1 x S.