Вот самая простая такая траектория:

Это не совсем стандартная развёртка, зато на ней траектория состоит из одного отрезка. Можно её нарисовать и на стандартной развёртке — тогда будет два отрезка:

(Image credit: J. Athreya, D. Aulicino, P. W. Hooper, Platonic solids and high genus covers of lattice surfaces, Experimental Mathematics )

Да, это бесконечное количество траекторий делится на 31 "класс эквивалентности" — и вот тут (http://userhome.brooklyn.cuny.edu/aulicino/dodecahedron/join_closed_sc_figs.pdf ) они собрали представителей всех этих классов. Так что можно распечатывать, вырезать и склеивать 🙂

Ещё два примера из той же статьи (да, если что, на arXiv-е есть соответствующий препринт, https://arxiv.org/abs/1811.04131 ) —

Но давайте я до рассказа про классификацию скажу, почему таких траекторий нет на остальных платоновых телах. Самый простой случай это тетраэдр.

Давайте докажем, что на нём любая траектория из вершины в вершину обязана соединять две разных вершины. Для этого "прокатим" тетраэдр по плоскости, "отпечатывая" каждую грань и очередной отрезок траектории. Получится часть треугольной решётки (которую отпечатают грани), и отрезок из вершины в вершину на ней:

Но дело в том, что мы знаем, какая вершина окажется в каком узле. Потому что если перекатывать тетраэдр вообще всеми возможными способами — в вершину решётки всегда будет приходить одна и та же вершина тетраэдра; собственно, как это и отмечено на рисунке выше.
А вершины с одинаковыми пометками образуют увеличенную вдвое подрешётку — так что середина отрезка, соединяющего две точки, соответствующие одной и той же вершине, это тоже вершина. И вот и противоречие — если бы мы хотели пройти "из A в A", то по пути мы обязательно наткнулись бы на другую вершину, а нам это запрещено.

Увы, буквально это рассуждение для других многогранников не работает. А именно, если перекатывать по плоскости, скажем, куб — то конечно, все его "отпечатки граней" образуют квадратную решётку, но мы уже не знаем, какая вершина в какую точку решётки придёт, это зависит от пути перекатывания.

С этим можно бороться двумя способами. Можно сказать, что мы перекатываем не абы как, а "по прямой". И использовать это для аккуратного описания того, как именно будет происходить "перекатывание" и какие же вершины где будут отпечатываться. Более-менее так, насколько я понимаю, прошли Davis, Dods, Traub, Yang (https://arxiv.org/pdf/1508.03546.pdf ) случай куба и Фукс (http://armj.math.stonybrook.edu/pdf-Springer-final/016-0040.pdf ) случай октаэдра и икосаэдра.

А второй способ придумали как раз Athreya, Aulicino и Hooper, и он очень изящный. Итак, пусть на каком-то из многогранников, кроме додекаэдра, есть траектория из вершины в вершину. Прокатим его вдоль этой траектории, отпечатывая грани (и саму траекторию) на плоскости. На плоскости получится часть либо треугольной (тетраэдр, октаэдр, икосаэдр), либо квадратной (куб) решётки. И отрезок (отпечаток траектории), соединяющий две вершины (A и B ) этой решётки.
А теперь давайте посмотрим на середину C этого отрезка. Во-первых, на плоскости центральная симметрия относительно C переводит A в B, и поэтому сохраняет решётку (потому что вектора под действием центральной симметрии просто меняют знак, поэтому достаточно, чтобы одна точка решётки перешла в точку решётки). А это значит, что эта точка в случае треугольной решётки может быть либо вершиной, либо серединой ребра — а в случае квадратной либо вершиной, либо серединой ребра, либо серединой грани.

Вершиной она быть не может — потому что траектория в другие вершины не заходит. Остаются только середины рёбер в случае треугольной решётки, и середины рёбер и граней в случае квадратной. В любом случае — рассмотрим ту точку многогранника C', которая "отпечаталась" в C, и рассмотрим поворот на 180 градусов вокруг прямой OC', где O — центр многогранника. (Другими словами — мы пытаемся "поднять" исходную центральную симметрию на многогранник)

В каждом из этих случаев (середина ребра тетраэдра, середина ребра или грани куба) мы получаем движение многогранника, которое сохраняет точку C' и переводит отрезок траектории рядом с ней в себя. А значит, эта симметрия переводит в себя и всю траекторию.

В частности, она меняет местами её начальную и конечную вершину. Но у каждой из этих центральных симметрий нет вершин, которые она бы могла сохранить: неподвижные точки у осевой симметрии это только точки на оси, а ни одна из упомянутых осей через вершины не проходит. Поэтому начальная и конечная вершины траектории совпадать не могут.
Ура, победа!

(И мне это рассуждение очень нравится, оно очень изящное.)

А вот работа с додекаэдром оказалась связанной с теорией очень плоских (или трансляционных ) поверхностей. Такая поверхность получается так: берём один или несколько многоугольников на плоскости, у которых в сумме чётное число сторон. И предположим, что эти стороны разбиты на пары, совмещаемые параллельными переносами (отсюда название "трансляционные"), причём многоугольники при таком совмещении оказываются по разные стороны от этих сторон. Тогда — склеим все эти пары. Получится поверхность, и она действительно "плоская" — кроме вершин.
А вот в вершинах могут собираться "конические особенности" (только с углом больше, а не меньше 2π, как в привычном нам конусе). Скажем, если такую процедуру проделать с восьмиугольником, то все 8 вершин в результате склейки станут одной и той же вершиной, а полный угол в ней будет 8*(3π/4) = 6π.

Собственно, самый простой пример такой поверхности — это тор, склеенный из квадрата или прямоугольника (или даже из параллелограмма); собственно, в старых видеоиграх часто персонажи, уходящие за один край экрана, тотчас же возвращались через другой: