А это уравнение приходит к единице за конечное время. В качестве рукомахательного объяснения — разница 1-r убывает со скоростью, примерно равной корню из себя (потому что (1-r^2)=(1-r)(1+r), то есть примерно 2(1-r)). А корень из маленькой величины её сильно больше.
Если на это смотреть более строго, но почти школьными методами — можно посмотреть, за какое время лев приблизится к человеку от расстояния 1/2^k до расстояния 1/2^{k+1}. Ему для этого нужно пройти расстояние порядка 1/2^k со скоростью 1/2^(k/2), значит, время будет тоже порядка 1/2^(k/2). А значит, сумма таких времён оценивается убывающей геометрической прогрессией — и потому сходится.
Если на это смотреть более строго, но почти школьными методами — можно посмотреть, за какое время лев приблизится к человеку от расстояния 1/2^k до расстояния 1/2^{k+1}. Ему для этого нужно пройти расстояние порядка 1/2^k со скоростью 1/2^(k/2), значит, время будет тоже порядка 1/2^(k/2). А значит, сумма таких времён оценивается убывающей геометрической прогрессией — и потому сходится.
На самом деле, ещё этот диффур можно просто явно решить, не задумываясь применив общий метод решения одномерных автономных уравнений первого порядка: превратив dr/dt = f(r) в dr/f(r) = dt, проинтегрировав и получив выражение для времени t через неизвестную r, после чего его обратив и найдя r.
А ещё можно угадать решение r(t)=sin t (ну и все его сдвиги, sin (t+C), раз система автономная) 🙂
Которое, естественно, в единицу обращается в конечный момент времени.
А ещё можно угадать решение r(t)=sin t (ну и все его сдвиги, sin (t+C), раз система автономная) 🙂
Которое, естественно, в единицу обращается в конечный момент времени.
И ещё кстати, диффур для уровня воды, вытекающей из ванной, когда из неё достали пробку, такой же —
h'= – const* \sqrt{h}.
И его решение тоже уходит в 0 за конечное время. Но это я отклонился в сторону.
h'= – const* \sqrt{h}.
И его решение тоже уходит в 0 за конечное время. Но это я отклонился в сторону.
Ну так вот — можно было бы предположить, что раз человек так ото льва не ушёл, он и вовсе не уйдет.
Ан нет! Безикович показал, что всё не так — что человек может убегать ото льва в круге неограниченно долго.
Ан нет! Безикович показал, что всё не так — что человек может убегать ото льва в круге неограниченно долго.
Более того — оказывается, что алгоритм убегания для человека очень простой. Он состоит из бесконечного числа шагов следующего вида:
Шаг номер n
- провести прямую через себя и центр арены, посмотреть, по какую сторону от неё находится лев
- пробежать расстояние L_n перпендикулярно этой прямой в ту полуплоскость, где льва нет
Шаг номер n
- провести прямую через себя и центр арены, посмотреть, по какую сторону от неё находится лев
- пробежать расстояние L_n перпендикулярно этой прямой в ту полуплоскость, где льва нет
(Мы тут предполагаем, что человек начинает не на границе — иначе пусть он сделает хотя бы один шаг внутрь, а потом уже запускает алгоритм.)
Математические байки
Более того — оказывается, что алгоритм убегания для человека очень простой. Он состоит из бесконечного числа шагов следующего вида: Шаг номер n - провести прямую через себя и центр арены, посмотреть, по какую сторону от неё находится лев - пробежать расстояние…
Тогда:
1) очевидно, что пока человек может делать эти шаги, лев его не поймает.
Потому что в проекции на направление, куда бежит человек, лев от него отстаёт (ну или хотя бы не нагоняет): проекция льва движется со скоростью, не большей 1, поскольку это проекция единичного вектора скорости.
2) Чтобы человек мог делать такие шаги неограниченно долго, нужно, чтобы сумма ряда \sum L_n расходилась.
(Иначе это к Зенону 🙂 )
3) За один шаг квадрат расстояния до центра возрастает на L_n^2.
(ибо теорема Пифагора: начинает бежать человек перпендикулярно радиусу)
Значит, нужно, чтобы сумма \sum L_n^2 сходилась — и её сумма, плюс квадрат начального радиуса, был бы меньше 1 (ну или квадрата радиуса арены).
1) очевидно, что пока человек может делать эти шаги, лев его не поймает.
Потому что в проекции на направление, куда бежит человек, лев от него отстаёт (ну или хотя бы не нагоняет): проекция льва движется со скоростью, не большей 1, поскольку это проекция единичного вектора скорости.
2) Чтобы человек мог делать такие шаги неограниченно долго, нужно, чтобы сумма ряда \sum L_n расходилась.
(Иначе это к Зенону 🙂 )
3) За один шаг квадрат расстояния до центра возрастает на L_n^2.
(ибо теорема Пифагора: начинает бежать человек перпендикулярно радиусу)
Значит, нужно, чтобы сумма \sum L_n^2 сходилась — и её сумма, плюс квадрат начального радиуса, был бы меньше 1 (ну или квадрата радиуса арены).
Так вот — несложно увидеть, что такая последовательность L_n найдётся. Потому что достаточно взять гармонический ряд 1/n и умножить его на достаточно маленькую константу, чтобы было выполнена оценка для суммы квадратов.
Вот и всё!
Вот и всё!
Кстати — возвращаясь к варианту, где человек движется только по граничной окружности: если человек движется всё время в одном и том же направлении, то "радиально" преследующий его лев будет двигаться по окружности вдвое меньшего радиуса.
Картинка из вот этой статьи в "Кванте" — http://kvant.mccme.ru/1973/03/sobaka_bezhit_napererez.htm — и собственно, там же можно прочесть и решение Безиковича.
В завершение — пара кусочков из биографии Безиковича: в 1919 году (гражданская война!) он успел побывать в Пермском университете и ректором, и деканом физико-математического факультета.
А в 1924 году, не получив разрешения на выезд, перешёл границу нелегально:
Математические байки
И в завершение — ещё один результат, о котором рассказывал в тех лекциях Антон Зорич. Пусть на координатной плоскости периодически посажены прямоугольные деревья. Как в них будет запутываться "бильярдный" ветер — частичка, движущаяся по бильярду в их дополнении?
Давайте я добавлю ещё пару слов про трансляционные поверхности — про то, с чем они связаны, и пару ссылок. А именно — на них можно смотреть не только геометрически (многоугольники, стороны, параллельные переносы, склейка), но и с точки зрения комплексного анализа.
А именно — очень плоская (пожалуй, термин "трансляционная" и впрямь излишне тяжеловесен) поверхность это всё равно, что пара из компактной римановой поверхности S и голоморфной 1-формы w на ней.
Если более подробно — очень плоская поверхность это почти готовое комплексное одномерное многообразие ( риманова поверхность ) : на склеиваемых многоугольниках с координатами проблем нет (они лежат на плоскости, которую можно воспринимать как R^2, а можно, как C). На рёбрах склейки тоже никаких проблем. Единственное, с чем нужно быть чуть более аккуратным, это вершины: в них зачастую собирается полный угол, больший 2π. Но за счёт того, что у нас все склейки выполняются чистыми параллельными переносами — полный угол будет всегда вида 2πk. А тогда можно перенести вершину в точку 0 в качестве локальной координаты взять корень k-й степени, который как раз уменьшит полный угол до 2π. Вот и получается комплексная структура на всей поверхности.
Если более подробно — очень плоская поверхность это почти готовое комплексное одномерное многообразие ( риманова поверхность ) : на склеиваемых многоугольниках с координатами проблем нет (они лежат на плоскости, которую можно воспринимать как R^2, а можно, как C). На рёбрах склейки тоже никаких проблем. Единственное, с чем нужно быть чуть более аккуратным, это вершины: в них зачастую собирается полный угол, больший 2π. Но за счёт того, что у нас все склейки выполняются чистыми параллельными переносами — полный угол будет всегда вида 2πk. А тогда можно перенести вершину в точку 0 в качестве локальной координаты взять корень k-й степени, который как раз уменьшит полный угол до 2π. Вот и получается комплексная структура на всей поверхности.