А в 1924 году, не получив разрешения на выезд, перешёл границу нелегально:
Математические байки
И в завершение — ещё один результат, о котором рассказывал в тех лекциях Антон Зорич. Пусть на координатной плоскости периодически посажены прямоугольные деревья. Как в них будет запутываться "бильярдный" ветер — частичка, движущаяся по бильярду в их дополнении?
Давайте я добавлю ещё пару слов про трансляционные поверхности — про то, с чем они связаны, и пару ссылок. А именно — на них можно смотреть не только геометрически (многоугольники, стороны, параллельные переносы, склейка), но и с точки зрения комплексного анализа.
А именно — очень плоская (пожалуй, термин "трансляционная" и впрямь излишне тяжеловесен) поверхность это всё равно, что пара из компактной римановой поверхности S и голоморфной 1-формы w на ней.
Если более подробно — очень плоская поверхность это почти готовое комплексное одномерное многообразие ( риманова поверхность ) : на склеиваемых многоугольниках с координатами проблем нет (они лежат на плоскости, которую можно воспринимать как R^2, а можно, как C). На рёбрах склейки тоже никаких проблем. Единственное, с чем нужно быть чуть более аккуратным, это вершины: в них зачастую собирается полный угол, больший 2π. Но за счёт того, что у нас все склейки выполняются чистыми параллельными переносами — полный угол будет всегда вида 2πk. А тогда можно перенести вершину в точку 0 в качестве локальной координаты взять корень k-й степени, который как раз уменьшит полный угол до 2π. Вот и получается комплексная структура на всей поверхности.
Если более подробно — очень плоская поверхность это почти готовое комплексное одномерное многообразие ( риманова поверхность ) : на склеиваемых многоугольниках с координатами проблем нет (они лежат на плоскости, которую можно воспринимать как R^2, а можно, как C). На рёбрах склейки тоже никаких проблем. Единственное, с чем нужно быть чуть более аккуратным, это вершины: в них зачастую собирается полный угол, больший 2π. Но за счёт того, что у нас все склейки выполняются чистыми параллельными переносами — полный угол будет всегда вида 2πk. А тогда можно перенести вершину в точку 0 в качестве локальной координаты взять корень k-й степени, который как раз уменьшит полный угол до 2π. Вот и получается комплексная структура на всей поверхности.
Таблица из записок Антона Зорича — см. http://bogomolov-lab.ru/SHKOLA2013/docs/zorich.pdf
Математические байки
А именно — очень плоская (пожалуй, термин "трансляционная" и впрямь излишне тяжеловесен) поверхность это всё равно, что пара из компактной римановой поверхности S и голоморфной 1-формы w на ней. Если более подробно — очень плоская поверхность это почти готовое…
Так вот — комплексно-аналитическая картина для очень плоской поверхности это то, что на римановой поверхности задана голоморфная 1-форма w (которая в локальных координатах запишется как w=f(z) dz с комплексно-дифференцируемой функцией f); можно смотреть, как устроен её "неопределённый интеграл" — и наши координаты на многоугольниках это и есть её первообразная!
Вот тут очень подробный (153 страницы) обзор Зорича — но 2006 года (так что там ещё нет, например, теоремы о волшебной палочке):
https://arxiv.org/pdf/math/0609392.pdf
https://arxiv.org/pdf/math/0609392.pdf
А вот на этой фотографии Антон Зорич и Этьен Жис (и ещё кто-то, кого я не знаю) рассматривают собранную из прямоугольников трансляционную поверхность:
Ещё один объект, с которыми связаны трансляционные поверхности — это перекладывание отрезков.
А именно — берётся отрезок J, разбивается на несколько отрезков, которые после этого как-то переставляются. Получается динамическая система на J; правда, разрывная в концах подотрезков, зато сохраняющая меру Лебега. Такое отображение называется перекладыванием отрезков:
А именно — берётся отрезок J, разбивается на несколько отрезков, которые после этого как-то переставляются. Получается динамическая система на J; правда, разрывная в концах подотрезков, зато сохраняющая меру Лебега. Такое отображение называется перекладыванием отрезков:
Картинка отсюда — http://w3.impa.br/~viana/out/ietf.pdf
Собственно, простейший случай — перекладывание двух отрезков — уже нетривиален: это поворот окружности, просто мы эту окружность в одной точке разрезали, и смотрим на неё как на отрезок. И тут можно вспомнить все утверждения про то, что орбиты иррационального поворота плотны и распределены по мере Лебега...
Так вот — на перекладывание отрезков можно смотреть как на "вертикальный" поток на правильно подобранной трансляционной поверхности (а точнее, как на отображение первого возвращения на "горизонтальную" трансверсаль) :
(Картинка оттуда же: M. Viana, "Dynamics of Interval Exchange Transformations and Teichmüller Flows", http://w3.impa.br/~viana/out/ietf.pdf )
Математические байки
Photo
Ну и последнее, что я тут уже совсем парой слов хочу упомянуть, это поверхности Вича (Veech surfaces; по очевидным причинам, по-русски это название сложно гуглится).
Как мы видели, на трансляционных поверхностях действует группа SL(2,R). И иногда — как мы уже видели в случае тора, склеенного из квадрата — нетривиальные преобразования могут перевести поверхность в себя. Более того, ещё более иногда оказывается, что подгруппа G тех преобразований, которые переводят поверхность в себя (она называется группой Вича этой поверхности), оказывается очень большой — такой, что факторпространство SL(2,R)/G имеет конечный объём (тогда говорят, что G — решётка в SL(2,R)).
Например, именно так обстоит дело для поверхности, склеенной из квадрата: её стабилизатор это SL(2,Z), и эта решётка имеет конечный кообъём в SL(2,R) (при правильной нормировке получается как раз \zeta(2)=π^2/6, но это уже совсем другая история...).
Как мы видели, на трансляционных поверхностях действует группа SL(2,R). И иногда — как мы уже видели в случае тора, склеенного из квадрата — нетривиальные преобразования могут перевести поверхность в себя. Более того, ещё более иногда оказывается, что подгруппа G тех преобразований, которые переводят поверхность в себя (она называется группой Вича этой поверхности), оказывается очень большой — такой, что факторпространство SL(2,R)/G имеет конечный объём (тогда говорят, что G — решётка в SL(2,R)).
Например, именно так обстоит дело для поверхности, склеенной из квадрата: её стабилизатор это SL(2,Z), и эта решётка имеет конечный кообъём в SL(2,R) (при правильной нормировке получается как раз \zeta(2)=π^2/6, но это уже совсем другая история...).