Посмотрим, с какими скоростями « бегут » точки A и B (на этой картинке, или F и G на картинке выше) по внешней окружности. Несложно видеть, что отношение этих скоростей как раз равно отношению KA/KB отрезков, на которые касательная делится точкой касания с внутренней окружностью. Потому что угол, на который мы поворачиваем, общий; дальше есть длина отрезка — как раз то, что нам нужно — и угол, под которым хорда врезается в окружность — но эти углы с двух сторон хорды одинаковы!

Давайте тогда возьмём в качестве линейной плотности rho(x)=1/d(x), где d(x) — длина касательной к внутренней окружности из точки x наружной. Тогда « в первом приближении » при вращении касательной масса отрезаемой не будет меняться. Действительно, скорости точек A и B соотносятся как KA:KB, а плотности в этих точках как (1/KA):(1/KB), значит, сколько мы прибавляем за счёт движения A, столько же и теряем за счёт движения B.

Поэтому производная полной массы отрезаемой дуги будет равна нулю — то есть сама эта масса постоянна, не зависит от выбора касательной к внутренней окружности. А этого-то мы и хотели!

Новогоднее видео от Mathologer про разбиения на доминошки:

https://youtu.be/Yy7Q8IWNfHM

в качестве картинок по выходным — продолжение темы разбиений на домино, теоремы о полярном круге для ацтекского брильянта и проч.

Оно начинается с очень простых вещей (что шахматную доску без двух противоположных углов нельзя разрезать на доминошки), но продолжается очень содержательными.
Например — формулой для подсчёта количества разбиений доски mxn:

А вот тут — М. Н. Вялый, “Пфаффианы или искусство расставлять знаки…”, Матем. просв., сер. 3, 9, Изд-во МЦНМО, М., 2005, 129–142, http://mi.mathnet.ru/rus/mp/v9/s3/p129 — об этой формуле написано:

Вот кадр для числа для доски 8x8 — и можно это сравнить с названием лекции С. К. Смирнова в ЛШСМ-2017 (https://www.mccme.ru/dubna/2017/courses/smirnov-lect.html )

Вот кадр с детерминантной формулой — число способов разбивать на доминошки это определитель матрицы смежности между чёрными и белыми вершинами, только соседние элементы там бывают не только 1, но и i — чтобы их произведение компенсировало возникающий знак перестановки:

(Правда, мне чуть больше по душе вариант расстановки, когда бывают все варианты, 1,-1,i,-i, потому что тогда появляется дискретный оператор комплексного дифференцирования, и становится понятно, откуда в дискретной задаче про доминошки — хотя бы в принципе — связь с комплексным анализом.)

А вот тут — мой любимый ацтекский бриллиант, количество его разбиений на доминошки и "теорема о полярном круге": замороженность разбиений за ним

Число разбиений на доминошки у ацтекского бриллианта порядка n равно 2^{1+2+...+n}:

И это один из результатов, которым посвящена брошюра Е. Ю. Смирнова, "Три взгляда на ацтекский бриллиант" (https://www.mccme.ru/free-books/dubna/smirnov-aztec.pdf ); вот тут одно из доказательств — через функцию высоты:

А в этом видео — по сути, это же рассуждение проведено через движущиеся доминошки (а стрелочки на них это, на самом деле, направление градиента функции высоты) :

И под конец — поведение уголков, когда мы начинаем двигаться вместе с ними, стабилизируется в режим "замораживания":

(И вот этого рассуждения я раньше не знал.)

В общем — очень хорошее видео; хоть оно и длинное, но я очень советую его посмотреть (промотав начальную часть, если она слишком простая).