Решив его — мы сводим исходное уравнение к уравнению вида y^3+c=0, решаем его, и затем "возвращаемся обратно", решая квадратные уравнения Q(x_i)=y_i.

===
Если попытаться решить уравнение 4-й степени тем же преобразованием "в лоб", то получится система из линейного уравнения (сумма y_i нулевая), квадратного (сумма квадратов y_i), и кубического (сумма кубов). И если всё выражать "в лоб", то будет уравнение 1*2*3=6-й степени на коэффициенты преобразования. Свести уравнение 4-й степени к уравнению 6-й не выглядит победой...

Но можно сделать так — прибить только коэффициенты при y и при y^3. И нахождение такого Q будет только кубическим уравнением, которое мы уже научились решать.
Собственно, раз у нас только два уравнения — хватит даже квадратного многочлена Q,
y=Q(x)= x+ b_0+ b_2 x^2.
Тогда линейное условие позволяет выразить b_0 через b_2, а условие на сумму произведений y_i по три (увы, тут упрощения уже нет, и придётся повозиться) — становится кубическим уравнением на оставшуюся переменную.

После такого преобразования, раз мы прибили коэффициенты при y и при y^3 — остаётся биквадратное уравнение!

А его уже можно решить — ну и дальше вернуться обратно.

===
Для уравнения 5-й степени ничего такого, естественно, не проходит: обнуление коэффициентов при y^4, y^3,..., y^1 это уже уравнения 1, 2, 3, 4 степени соответственно — и в итоге получается уравнение 24-й степени, которое никак не решить.

Но можно привести уравнение к виду y^5+ay+1=0.

Действительно: когда мы задаём y=Q(x)=b_4 x^4 + ... + b_1 x + b_0, то у нас пять неизвестных коэффициентов; их можно все одновременно умножать на константу, так что пока зафиксируем, например, b_1=1.
Условие обнуления суммы y_i — линейное условие на коэффициенты. Поэтому остаётся 3 неизвестных коэффициента.

Остаётся обнулить сумму квадратов и сумму кубов. Если идти "в лоб", то получится уравнение 6-й степени, с которым не очень-то поработаешь. Но!

Условие обнуления суммы квадратов y_i — это квадратичное условие, и мы получаем квадратичную поверхность в пространстве (из трёх ещё неизвестных коэффициентов). Как раз такую, какую мы обсуждали в контексте Шуховской башни.
Так давайте на этой поверхности найдём (комплексную, если надо) прямую, хотя бы одну!

И вместо того, чтобы с корнями выражать коэффициенты — просто ограничимся на неё, заплатив потерей степени свободы за отсутствие корней из неизвестных.
Тогда на этой прямой останется только кубическое уравнение на обнуление суммы кубов y_i — которое мы уже умеем решать.

Так что любое уравнение 5 степени можно свести к уравнению вида
y^5+a y + 1=0
(потому что свободный член можно всегда загнать в 1 изменением масштаба).

Да, ссылка —
В. В. Прасолов, "Многочлены" (файл книги есть тут —
https://www.mccme.ru/prasolov/ — в списке под номером 11), с. 187.

Ну и — можно говорить, что функция y(a) одной переменной "корень уравнения
y^5+ay+1=0
с параметром a" ничем не хуже кучи остальных функций одной переменной (будь то хоть корень, хоть синус, хоть тангенс), кроме того, что она нам в школе не встречалась.

И это (а, точнее, аналогичные рассуждения с функциями двух переменных) были мотивировкой 13-й проблемы Гильберта — с совершенно удивительным ответом.
Но про это я напишу чуть позже, а пока я собираюсь вернуться к простой геометрии.
А именно ("в следующей серии") — к вопросу о том, сколько прямых пересекают заданную четвёрку скрещивающихся прямых в трёхмерном пространстве. Оказывается, на этот вопрос можно, естественно, смотреть геометрически — а можно с точки зрения линейной алгебры, где, удивительным образом, возникают собственные вектора. Но это тоже будет в следующей серии — а на сегодня, кажется, настало время прекратить дозволенные речи.

===
Как-то давно я не писал, это надо исправлять. Тем более, что и повод есть — у нас сегодня в Ренне было открытие амфитеатра имени Мариам Мирзахани:
https://irmar.univ-rennes1.fr/actualites/journee-dinauguration-de-lamphitheatre-maryam-mirzakhani
И пару сюжетов мне хочется пересказать.

Да, на всякий случай: вот слайд из рассказа Elise Goujard —

А уже в 2017-м Мирзахани не стало. Рак. :(

Так вот — я начну с рассказа Ольги Paris-Ромаскевич:

Предположим, что мы взяли материал с коэффициентом преломления (-1). Школьный курс физики должен вызывать ощущение, что это странно — в обычной ситуации коэффициент преломления должен быть не просто положительным, а больше единицы (ибо скорость света в среде и всё такое), но метаматериалы такие бывают (тут могла бы быть дискуссия о разных скоростях — фазовая скорость не равно скорость распространения информации — но давайте я не буду лезть в чужую область, а предложу — следуя Ольге — рассмотреть такую модель).