(Рисунок из "Теории катастроф" В. И. Арнольда)

Вторая же показывает, почему тор правильно рисовать так, как его рисуют. (До сих пор помню, как меня на первом курсе НМУ этому научили!)

Дело в том, что если нарисовать тор от руки как "эллипс, а внутри эллипс, изображающий дырку", то это будет восприниматься скорее как кольцо, чем как трёхмерный объект (и к тому есть причина):

Чтобы картинка воспринималась, как тор, вырезаемую дырку нужно нарисовать двумя дугами — причём одну из них более длинной, а другую остановить при пересечении с первой:

Так вот — эта картинка действительно более правильна с геометрической точки зрения. А именно — возьмём тор в R^3, и спроецируем его на "плоскость зрения" немного под углом. Отметим те его точки, где касательная к нему плоскость параллельна направлению проекцирования — иначе говоря, как раз критические точки проекции.

В их образе мы увидим как раз вот эту кривую — и у неё будет ещё "невидимая" компонента, которая при настоящем взгляде оказывается закрыта другой частью тора. И вот вторая картинка:

(Рисунок из "Теории катастроф" В. И. Арнольда)

Кстати, особенность, которая получается в проекции этой кривой — это касп. Тот самый касп, который мы пересекаем при первом преобразовании Рейдемейстера диаграммы узла: если в проекции узла есть петелька, и её "вытягиванием" убрать, то в тот момент, когда она вырождается, в одной из точек узла направление касательной совпадает с направлением проекции, и мы видим полукубическую "точку возврата":

Но давайте вернёмся к степеням отображений окружности и к теореме Штурма — а то я до неё и в этот раз не доберусь.

Итак, у нас написан явно вещественный многочлен (для простоты, без кратных корней) — и мы хотим найти, сколько у него вещественных корней.

Если добавить к вещественной прямой бесконечно удалённую точку, то получается окружность. И многочлен (доопределённый бесконечностью в бесконечности) это непрерывное отображение такой окружности в себя. А корни это прообразы нуля, и очень бы хотелось применить как раз науку о степени.

(график P(x)=x^3-x )

Увы, буквально так это сделать не получается: корни идут, чередуясь, то с положительной, то с отрицательной производной, и в определении степени у нас то плюс, то минус единицы, и почти (или совсем) всё сокращается.

А именно — топологическая (приходится уточнять!) степень многочлена чётной (алгебраической) степени равна нулю (тут сокращается всё — а ещё можно сказать, что либо больших положительных, либо больших отрицательных значений он не принимает), а топологическая степень многочлена нечётной алгебраической степени это +1 или -1, в зависимости от знака старшего коэффициента.

Казалось бы, тупик?

Но — раз нам помешала производная, так она же нам и поможет! Давайте на неё поделим — рассмотрим рациональную функцию
R(x)=P(x)/P'(x)

(Вот она для того же многочлена P(x)=x^3-x)

Заметим, что корни — прообразы нуля — у неё те же, что и у самого многочлена P. Зато производная в каждой из этих точек просто равна 1! (Потому что в каждом корне x_0, раз он некратный, P'(x_0) не обращается в ноль, а тогда рядом с ним мы P(x)~P'(x_0)*(x-x_0) почти что на эту константу поделили — вот производная и стала единичной.)

Значит, если мы будем искать топологическая степень R(x)=P(x)/P'(x) через прообразы нуля — все они войдут со знаком "плюс". И мы и получили желаемое (на всякий случай — помните, что P без кратных корней):

Это пол-пути: мы свели исходный вопрос "сколько корней у P" к топологическому вопросу: "а чему равна топологическая степень заданной рациональной функции?".
Осталось на этот вопрос научиться отвечать!