Но — раз нам помешала производная, так она же нам и поможет! Давайте на неё поделим — рассмотрим рациональную функцию
R(x)=P(x)/P'(x)

(Вот она для того же многочлена P(x)=x^3-x)

Заметим, что корни — прообразы нуля — у неё те же, что и у самого многочлена P. Зато производная в каждой из этих точек просто равна 1! (Потому что в каждом корне x_0, раз он некратный, P'(x_0) не обращается в ноль, а тогда рядом с ним мы P(x)~P'(x_0)*(x-x_0) почти что на эту константу поделили — вот производная и стала единичной.)

Значит, если мы будем искать топологическая степень R(x)=P(x)/P'(x) через прообразы нуля — все они войдут со знаком "плюс". И мы и получили желаемое (на всякий случай — помните, что P без кратных корней):

Это пол-пути: мы свели исходный вопрос "сколько корней у P" к топологическому вопросу: "а чему равна топологическая степень заданной рациональной функции?".
Осталось на этот вопрос научиться отвечать!

На самом деле — мы научимся находить топологическую степень любой рациональной функции R(x)=P_1(x)/P_2(x). Для этого, если
deg_{alg} P_1 >= deg_{alg} P_2
(иными словами, если дробь неправильная), то выделим из неё главную часть: поделим P_1 на P_2 с остатком. Пусть
P_1=Q*P_2 + S, где S — остаток:
deg_{alg} S < deg_{alg} P_2.
Тогда
P_1/P_2 = Q + (S/P_2).

А теперь (вместо нуля, как раньше) посмотрим на прообразы бесконечности (ну или, если она окажется критическим значением, на прообразы чего-нибудь очень большого).

Сумма
Q + (S/ P_2)
обращается в бесконечность либо в бесконечности — из-за Q — либо там, где обращается в ноль знаменатель. Но в первом случае она ведёт себя "топологически неотличимо" от Q (потому что отношение S/P_2 там маленькое), а во втором — от S/P_2 (потому что Q там это почти константа, где ей тягаться с бесконечностью).
Поэтому мы просто считаем всё по отдельности: топологическая степень исходной дроби P_1/P_2 равна сумме топологической степени её главной части — многочлена Q — и топологической степени S/P_2.

Причём топологическую степень Q — как степень многочлена — мы уже знаем (и уже нашли в ходе первой попытки!).

Итак, один раз можно поделить с остатком, и степень числителя уменьшится. А что делать дальше?
Да просто перевернуть дробь! Точнее, (1/y), как и (-y) — изменяющие ориентацию гомеоморфизмы окружности, поэтому они знак степени поменяют. Не сильно страшно, но неприятно. Зато если взять их композицию, (-1/y), то вот она ориентацию сохраняет (кстати, если вещественную прямую отобразить на окружность стереографической проекцией, то на ней это центральная симметрия — иными словами, поворот на 180 градусов). И поэтому для любой рациональной функции R_1 выполнено
deg_{top} R_1 = deg_{top} -1/R_1.

Обозначим P_3=-S — минус остаток, и тогда
deg_{top} S/P_2 = deg_{top} -P_2/S = deg_{top} P_2/P_3.
И вот у нас опять неправильная дробь. Можно опять поделить с остатком, опять перевернуть, и так далее — пока мы не дойдём до константы (у которой, естественно, будет нулевая степень).

А если посмотреть на то, что мы делаем — то это можно назвать либо алгоритмом Евклида (с минимальной поправкой на знаки), либо — разложением в цепную дробь Хирцебруха (то есть цепную дробь "с минусами"),
P_1/P_2 = Q_1 - 1/(Q_2 - 1/( Q_3 - ... ))

И искомая топологическая степень R это просто сумма топологических степеней неполных частных Q_j:

А — повторюсь, топологические степени Q_j мы знаем: это 0, если степень deg_{alg} Q_j чётна, и знак старшего коэффициента Q_j, если степень deg_{alg} Q_j нечётна.

Так что — мы уже получили алгоритм, который можно применять, совсем не думая. Запускаем алгоритм Евклида (с модификацией знаков), смотрим, какие неполные частные получаются, на их топологические степени, складываем — и получаем искомое число вещественных нулей P.

А что, если мы захотим найти число корней не на всей прямой, а только на каком-нибудь отрезке [a,b]? (Пусть для простоты a и b не являются корнями — в конце концов, конкретные точки можно явно подставить и проверить.)
Во-первых, мы уже знаем достаточно, чтобы выкрутиться. А именно — можно найти просто число корней, меньших b — и так же найти число корней, меньших a, а потом вычесть одно из другого. Теперь, мы возьмём всё то же самое отношение P/P', но поделим его ещё на (x-b), то корни останутся теми же, но большие b будут считаться "с плюсом", а меньшие b — "с минусом".
Так что топологическая степень P/((x-b)*P') равна разности числа корней, больших и меньших b. Знаем сумму (общее число вещественных корней) и знаем разность — значит, знаем по отдельности, сколько корней, меньших b, а сколько больших.

Но это не очень смотрится. И действительно, можно сделать сильно красивее — и при этом получится более известная формулировка теоремы Штурма про количество перемен знака и разность между ними в точках b и a. А для этого нам потребуется выйти на плоскость — но это я сделаю в следующий раз; а на сегодня я прекращаю дозволенные речи.

Пока я закопался в делах и судорожно заполняю разные бумаги — пара ссылок/кросспостов: