А если посмотреть на то, что мы делаем — то это можно назвать либо алгоритмом Евклида (с минимальной поправкой на знаки), либо — разложением в цепную дробь Хирцебруха (то есть цепную дробь "с минусами"),
P_1/P_2 = Q_1 - 1/(Q_2 - 1/( Q_3 - ... ))

И искомая топологическая степень R это просто сумма топологических степеней неполных частных Q_j:

А — повторюсь, топологические степени Q_j мы знаем: это 0, если степень deg_{alg} Q_j чётна, и знак старшего коэффициента Q_j, если степень deg_{alg} Q_j нечётна.

Так что — мы уже получили алгоритм, который можно применять, совсем не думая. Запускаем алгоритм Евклида (с модификацией знаков), смотрим, какие неполные частные получаются, на их топологические степени, складываем — и получаем искомое число вещественных нулей P.

А что, если мы захотим найти число корней не на всей прямой, а только на каком-нибудь отрезке [a,b]? (Пусть для простоты a и b не являются корнями — в конце концов, конкретные точки можно явно подставить и проверить.)
Во-первых, мы уже знаем достаточно, чтобы выкрутиться. А именно — можно найти просто число корней, меньших b — и так же найти число корней, меньших a, а потом вычесть одно из другого. Теперь, мы возьмём всё то же самое отношение P/P', но поделим его ещё на (x-b), то корни останутся теми же, но большие b будут считаться "с плюсом", а меньшие b — "с минусом".
Так что топологическая степень P/((x-b)*P') равна разности числа корней, больших и меньших b. Знаем сумму (общее число вещественных корней) и знаем разность — значит, знаем по отдельности, сколько корней, меньших b, а сколько больших.

Но это не очень смотрится. И действительно, можно сделать сильно красивее — и при этом получится более известная формулировка теоремы Штурма про количество перемен знака и разность между ними в точках b и a. А для этого нам потребуется выйти на плоскость — но это я сделаю в следующий раз; а на сегодня я прекращаю дозволенные речи.

Пока я закопался в делах и судорожно заполняю разные бумаги — пара ссылок/кросспостов:

Тройки Маркова — целые решения уравнения на картинке — появляются везде. Например, теорема Гурвича говорит, что у любого вещественного числа есть хорошие приближения рациональными — с константовй sqrt 5. Такая константа только для ф— золотого сечения. Если выкинуть все числа типа (mф+n)/(kф+l) — то константа для остального будет sqrt 8. И так далее. Эти константы (числа Лагранжа) выражаются через числа Маркова.

Ещё красивее: вещественные точки на кубике x^2+y^2+z^2=xyz параметризуют все гиперболические структуры (конечного объёма) на проколотом торе. А целые точки на кубике (утроенные числа Маркова по сути) параметризуют такие проколотые торы, что длины (всех!) геодезических на них — это в точности (все) числа Маркова. Поэтому вместо чисел Маркова можно изучать геометрию проколотого тора.

Подробности — в ссылках из короткой статьи. Придумали это независимо (и давно) Cohn и Горшков.

А ещё про марковские тройки была замечательная (но сложная) лекция Веселова в ЛШСМ-2017: http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=17717

А про взгляд на кубику
x^2+y^2+z^2-xyz=d
с точки зрения SL(2,R)-матриц (и при чём тут квазипериодичность) я расскажу как-нибудь в другой раз, потому что не хочу врать в коэффициентах и знаках...
Несколько соседних ключевых слов — кубика Кэли, trace map; пара ссылок —
А. Городецкий, D. Damanik, Hyperbolicity of the Trace Map for the Weakly Coupled Fibonacci Hamiltonian;
S. Cantat, Bers and Hénon, Painlevé and Schrödinger.

===
А ещё тут нашли третье представление тройки в виде трёх кубов целых чисел. Одно очевидное (1+1+1=3), второе уже выходит в отрицательные числа (но его найти это ещё простое упражнение), а вот третье нашли только что (улучшив алгоритм поиска).
Текст N+1: https://nplus1.ru/news/2021/03/12/diophantine-equation
Непрерывное математическое образование: https://news.1rj.ru/str/cme_channel/2140

===

(И на этом я убежал писать бумаги дальше)

Продолжим?
Вот мы, применяя алгоритм Евклида, получили последовательность P_j, начинающуюся с наших P_1=P и P_2=P' (ну или абы каких P_1 и P_2, если мы ищем топологическую степень произвольной рациональной функции R=P_1/P_2). И её можно определить вот такой цепочкой:

P_1+P_3 = P_2 * Q_1,
P_2+P_4 = P_3 * Q_2,
P_3+P_5 = P_4 * Q_3,
...
и заканчивается она на каком-то P_k=const, и P_{k+1}=0.

Давайте для каждой точки x рассмотрим последовательность значений P_1(x), P_2(x), ..., P_k(x),
и обозначим через N(x) число перемен знака в этой последовательности: сколько раз + меняется на - и наоборот.

Классический способ формулировать теорему Штурма — как раз в терминах числа перемен знака:

Теорема Штурма. Пусть P — многочлен без кратных корней, не обращающийся в ноль в точках a и b. Тогда число корней P на отрезке [a,b] равно N(a)-N(b).

(А полное число вещественных корней это N(-\infty)-N(\infty), благо что знак полинома на плюс-минус бесконечности определить не проблема.)

Пример: возьмём P(x)=x^2-1. Тогда P'(x)=2x, и мы получаем последовательность
P_1=x^2-1,
P_2=2x,
P_3=1 (помните про смену знака у остатка!).

Последовательность знаков в разных точках и число перемен знака:
-\infty: +,-,+; 2 перемены;
-2: +,-,+; 2 перемены;
-0.5: -,-,+; 1 перемена;
-0.1: -,-,+; 1 перемена;
0.1: -,+,+; 1 перемена;
1.5: +,+,+; 0 перемен;
\infty: +,+,+; 0 перемен.

Уже из бесконечностей мы видим, что число перемен знака меняется между +\infty и -\infty на 2, так что у многочлена x^2-1 два вещественных корня. Более того, такое же число перемен знака между -2 и 1.5, так что они живут на этом отрезке. Причём один из них живёт на отрезке [-2,-0.5], а второй на отрезке [0.1,1.5]. Большой прогресс!

Но если серьёзно — мы только что научились алгоритмически (и довольно просто!) искать (с любой нужной точностью) все корни вещественного многочлена. Начинаем с какого-нибудь отрезка, на котором они гарантированно все лежат (за пределами которого старший член a_n*x^n превышает по модулю сумму модулей всех остальных), а потом запускаем деление пополам, последовательно деля каждый отрезок, на котором число перемен знака меняется.

Осталось
а) доказать;
б) понять, как этот подход "склеивается" с предыдущим.

К прошедшему вчера Pi Day хочется вспомнить несколько видео: три видео 3Blue1Brown,
*) https://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls — очень классное доказательство формулы для суммы обратных квадратов, где окружность с расставленными на ней маяками появляется явно;
*) https://www.youtube.com/watch?v=8GPy_UMV-08 — а это формула Валлиса (произведение 2/1 * 2/3 * 4/3 * 4/5 * ... = π/2); опять окружность, выход в комплексные числа, многочлены, произведение расстояний — и всё получается;
*) https://www.youtube.com/watch?v=NaL_Cb42WyY — как связать сумму
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... = π/4
с окружностью (спойлер: никакого Тейлора и арктангенса! Разложение чисел в сумму квадратов, характеры, подсчёт числа целых точек).

И рождественскую лекцию Дональда Кнута в Стенфорде, "Why Pi":
https://www.youtube.com/watch?v=cI6tt9QfRdo (которая, на самом деле, заслуживает отдельного пересказа).

а про формулу Валлиса для π и про появление π в комбинаторике лет 10 назад интересно рассказывал Д.Кнут — можно посмотреть видео или почитать конспект

И калейдоскоп тоже очень хорош!

если хочется объяснения и/или еще формул — можно заглянуть в калейдоскоп

Посмотрим сначала на классическое доказательство теоремы Штурма. Если мы говорим о том, что число корней P на отрезке [a,b] выражается через изменение на этом отрезке числа перемен знака — так очень естественно спросить себя, а как вообще число перемен знака N(x) меняется, когда меняется x?
Естественно, что меняться оно может только если меняет знак какой-то из многочленов P_j. Но — и это замечательно — если меняет знак (переходя через ноль) любой P_j, кроме P_1, то число перемен знака не меняется.
Действительно, пусть в точке x_0 обращается в ноль какой-то P_j, и j>1. Его соседи тогда в этой точке не обращаются в ноль: иначе там обратились бы в ноль и все полиномы вообще, а у P_1 и P_2 нет общих корней.
Но заметим, что его соседи противоположного знака: ведь
P_{j-1} + P_{j+1} = P_j * Q_{j-1},
раз правая часть обратилась в ноль, то и сумма соседей P_{j-1}+P_{j+1} в точке x_0 обращается в ноль.
А тогда неважно, какой у P_j рядом с x_0 знак — всё равно на P_{j-1},P_j,P_{j+1} приходится ровно одна перемена знака!
И мы, собственно, такое уже видели, когда смотрели на пример P(x)=x^2: рядом с x_0=0, где обращается в ноль производная P_2=2x, число перемен знака не менялось:
===
-0.1: -,-,+; 1 перемена;
0.1: -,+,+; 1 перемена;
===

Так что переходы значений "внутренних" полиномов через ноль на число перемен знака не влияют. P_n=1 через ноль перейти вообще не может, это константа. Остаётся только P_1.
А значение многочлена P переходит через ноль — правее корня знак у P такой же, как у его производной P' в этом корне, а левее корня противоположный. Поэтому как раз при переходе через ноль P (и только там) число перемен знака уменьшается на единицу. Теорема Штурма доказана.

Осталось это склеить с тем взглядом, который у нас был раньше.