Был отрезок кривой

Его повернули

И добавили ко второй координате первую, умноженную на Q_1 — из (P_2,-P_1) получив (P_2,P_3).

После чего продолжили в том же духе. Так вот — на операциях "добавить" мы пересечения с осью ординат не меняем (потому что добавляем первую координату, на что-то там умноженную). И их тип (по или против часовой стрелки) тоже.

А вот на операциях "повернуть" — можем поменять. Потому что сначала мы считали (с учётом знака) пересечения с одной прямой, а потом с другой. Если бы мы работали с замкнутой кривой, то мы бы считали буквально степень отображения окружности, и ничего поменяться бы не могло, потому что при повороте прямой прообразы бы только сливались "плюс с минусом", и ничего бы не менялось. Но если мы работаем с отрезком [a,b] параметров — то у отрезка кривой есть концы. И вот тут-то мы с числом перемен знака и столкнёмся!

Уже звучит очень естественно, что важно, пересекут ли в процессе поворота (кривой или системы координат — кому как удобнее) концы кривой ось ординат, пересечения с которой мы считаем. Но проще всего в этом убедиться, уронив всю ситуацию обратно на проективную прямую (= окружность, образуемую всеми прямыми через ноль).

Если по окружности-стадиону бежит атлет и возвращается в итоге в начальную точку — число кругов, которые он пробежал, можно посчитать, встав в любую точку стадиона и считая пересечения (если он пробежал куда надо, то с плюсом, а если обратно, то с минусом).

А если траектория атлета незамкнута — то арбитры, стоящие в разных точках круга, могут получить разные суммы. Но не сильно: если атлет начал и закончил бежать на одной и той же дуге, то их результаты совпадут — потому что он после этого может пройтись от конца своего пути к началу, не проходя мимо арбитров, и получить уже замкнутый путь.

А если атлет начинал и закончил путь на разных дугах — то если добавить к пути замыкание "в положительном направлении", после которого суммы у арбитров совпадут, то один из двух арбитров его увидит, а другой нет. И уже совсем легко увидеть, что общий ответ такой:
число пересечений (с учётом знака) для арбитра A1 минус
число пересечений (с учётом знака) для арбитра А2 =
F(начала пути)-F(конца пути),
где F это 1, если мы начали на дуге от A2 к A1 (обозначенной тут +-), и 0 иначе.

Если просуммировать такое за все шаги, то получается:
Число пересечений с осью ординат для исходной кривой (которое и есть то, что мы ищем)
минус
число пересечений с осью ординат для последней кривой, к которой мы приходим (а это просто точка (1,0), которая стоит на месте и ось ординат не пересекает)
равно
сумме по всем шагам разностей F(начало пути) минус F(конца пути), где F смотрит, есть ли между P_j и P_{j+1} перемена знака.

Потому что арбитры в нашем случае это ось ординат (до поворота) и ось абсцисс (после), и вот дуга между ними это и есть "координаты разного знака".
Ну а сумма разностей это разность сумм, и каждая из сумм это и есть общее число перемен знака в последовательности!

Ура, победа! Мы связали топологический взгляд с классической формулировкой теоремы Штурма через число перемен знака.

Ещё — пара картинок из "Геометрии дискриминанта" В. А. Васильева:

(В. А. Васильев, "Геометрия дискриминанта")

(В. А. Васильев, "Геометрия дискриминанта")

Топологическая степень это ответ на вопрос, почему в множестве пар многочленов (ровно) второй степени без общих корней нельзя пройти от пары "корни чередуются" к паре "корни не чередуются" (и кстати, нельзя поменять порядок чередования корней). Ибо при одном чередовании будет обход по часовой стрелке, при другом против, а при отсутствии чередования степень нулевая.

А вот — страница из текста Д. В. Аносова 2003 года; как раз очень близко к тому, что мы уже видели раньше, только у него цепная дробь обычная, поэтому в ответе возникает чередование знаков:

(Д. В. Аносов, "Отображения окружности, векторные поля и их применения", МЦНМО, 2003)

Ну а часть рассказа выше (подход через степени) вошла в (онлайн)-курс топологии, который мы с коллегами ведём — собственно, уже заканчиваем — для первого курса Вышки. Кто же знал, когда всё это только задумывалось, что курс с частичным онлайном и красивыми картинками вынужденно превратится в полный онлайн...
From behind the stages:

Через пару минут начнётся объявление премии Абеля:
https://www.youtube.com/watch?v=0_NK_OkpmUY

Abel Prize 2021:
László Lovász & Avi Wigderson
“for their foundational contributions to theoretical computer science and discrete mathematics, and their leading role in shaping them into central fields of modern mathematics”