Ну и последняя пара картинок — иллюстрации к теореме Пикара-Лефшеца, здесь — в простейшем случае. Пусть мы смотрим на множество P(z,w)=c, где z и w — комплексные; соответственно, это с вещественной точки зрения двумерная поверхность.
Если мы двигаем c, не заходя в критические значения P — то поверхность двигается "по чуть-чуть". А что будет, если мы захотим "обойти" вокруг критического значения? Например, если на поверхности нарисована замкнутая кривая, и она заходит в окрестность соответствующей критической точки — логично ожидать, что она как-то перестроится. А как?

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)

Ответ такой. Для простоты будем считать, что критическое значение это c=0. С комплексной точки зрения все невырожденные критические точки одинаковые (с точностью до локальной замены координат) — так выберем локальные координаты (z',w') так, чтобы в них.
P(z',w')=z'w'.
Тогда при малых c рядом с критическим значением поверхность уровня устроена как цилиндр. Так вот — этот цилиндр скручивается:

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)

Потому что если c бежит по окружности радиуса ε,
c(t) = ε e^{it},
то мы хотим как-то двигать z и w так, чтобы далеко от критической точки (то есть если либо |z|, либо |w| большие) за полный оборот вообще ничего не произошло.
Ну так давайте двигать окружности вида |z|=r с постоянной скоростью, деля множитель e^{it} в каком-то отношении между z и w:
z(t)=z(0) e^{i f(r) t}
w(t)=w(0) e^{i (1-f(r)) t}

Если мы попросим, чтобы f(r) = 0 при больших r=|z| (например, при r>2 \sqrt{ε}) и чтобы 1-f(r)=0 при больших ε/r=|w| (например, при r<\sqrt{ε}/2) — как раз вот такое скручивание и получится.

Вот. Ну и мне кажется, что это безумно круто, что вся эта наука возникает не просто так, повисая в воздухе — а естественно появляется, шаг за шагом, при атаке на вполне разумные геометрические (восходящие к Ньютону и к Арнольду) вопросы. И что всё это очень геометрично и за этим можно (и очень приятно) следить. И что в тексте получается дойти и рассказать доказательство полного результата для чётномерного случая, — того самого, который Васильев доказал после ЛШСМ-2013: V. A. Vassiliev, Newton's lemma XXVIII on integrable ovals in higher dimensions and reflection groups, Bulletin of the London Mathematical Society.
Я очень люблю эту книгу. 🙂

https://twitter.com/fermatslibrary/status/1373631751898157061

картинка по выходным: неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

Да, коллеги пожаловались, что непонятно, почему вторая, третья и так далее пары обходов вокруг m и M будут добавлять ту же константу — так что я отредактировал это сообщение. По смыслу — если в результате продолжения функции V(c) по какому-то пути мы пришли к V(c)+const, то дальше по тому же пути можно аналитически продолжать слагаемые по отдельности. Продолжение V(c) даёт V(c)+const, а продолжение константы это она и есть. Так что получается V(c)+2*const. И так далее.
(Кстати — так ведёт себя комплексный логарифм ln z: набирает 2πi за каждый обход вокруг нуля в положительном направлении.)
Надеюсь, теперь стало понятнее.

И я пользуюсь случаем присоединиться к Васильеву и сказать "огромное спасибо" Ане Роговой — без её расшифровки просто ничего бы не запустилось...

===
Оказывается — спасибо Александру Шпилькину за рассказ и за ссылки! — у этого анекдота есть продолжение: вычисление интеграла \int_0^1 x^m (1-x)^n dx:

Но давайте я сначала напомню, как с этим интегралом работают обычно. Первый шаг тут это замечание, что у факториала есть обобщение, гамма-функция; мы с ней уже сталкивались, когда обсуждали формулу Стирлинга. А именно, факториал можно представить как интеграл —
n! = \int_0^{\infty} x^n e^{-x} dx —
после чего ничего не мешает в этом интеграле брать нецелое значение степени:
Г(a) := \int_0^{\infty} x^{a-1} e^{-x} dx,
и тогда n!=Г(n+1).

Так вот — интеграл B(a,b):=\int_0^1 x^{a-1} (1-x)^{b-1} dx называется бета-функцией, и он через гамма-функцию явным образом выражается:

И доказательство тут — перемножить два интеграла, для Г(a) и для Г(b). Получится интеграл по первому квадранту {x>0,y>0} — который нарезается на диагональные отрезки {x+y=s}, после чего интеграл оказывается произведением Г(a+b) и интеграла для бета-функции:

Так вот — давайте отставим все эти интегралы в сторону и добудем ответ (для целых аргументов a=m+1 и b=n+1) вероятностными методами. А именно — выберем на отрезке [0,1] равномерно случайную точку x. А потом ещё m случайных точек \xi_1,...,\xi_m. А потом ещё n случайных точек \eta_1,...,\eta_n.
И посмотрим вот на такое событие: все \xi_1,...,\xi_m попали на отрезок [0,x], а все \eta_1,...,\eta_n — на отрезок [x,1]:

Чему равна его вероятность? С одной стороны, при известном x это как раз x^m*(1-x)^n, а поскольку точка x тоже кидалась равномерно — то получается как раз искомый интеграл:
\int_0^1 x^m (1-x)^n dx.