Но нас будет интересовать другой способ — оказывается, на сами p(n) тоже есть рекуррентное соотношение, только чуть более сложное! Вот оно:
p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-...
(Сумма обрывается, как только аргумент у p становится отрицательным.)

Применение этого равенства — кадр из великолепного видео Mathologer-а "The hardest "What comes next?" (Euler's pentagonal formula)" — которое я очень всем советую.

Как это соотношение можно получить? Беглый взгляд показывает, что это явно что-то нетривиальное.
Поэтому давайте его временно отложим в сторону, и применим к последовательности p(n) стандартный молоток (а точнее, кувалду) комбинаторики — рассмотрим производящую функцию этой последовательности:
P(q):=\sum_{n=0}^{\infty} p(n) q^n.

Если бы мы работали не со всеми разбиениями n, а только с разбиениями в сумму слагаемых, не превосходящих k, то производящая функция развалилась бы в произведение k скобок-сомножителей:

Первая скобка отвечает за единицы, вторая за двойки, и так далее — так что (сгруппировав одинаковые слагаемые) разбиению n, в котором a_1 единиц, a_2 двоек,..., a_k слагаемых, равных k, мы сопоставляем произведение мономов из этих скобок, где q^{1*a_1} взят из первой скобки, q^{2*a_2} из второй, и т. д..
А дальше — каждая скобка "собирается", как сумма геометрической прогрессии.

Если ограничения на величину слагаемых нет — получается уже просто бесконечное произведение:

В скобках — очень забавно, что совсем похоже устроено произведение Эйлера для дзета-функции. Просто роль q^j играет p^{-s}, а по основной теореме арифметики каждое натуральное число ровно одним способом раскладывается в произведение простых, поэтому числители единичные.

Теперь давайте посмотрим на обратный ряд к P(q) — просто формально записав Q(q)=1/P(q).

Из разложения P в произведение мы знаем и разложение Q; давайте раскроем скобки — и пусть c_n это получившиеся коэффициенты.

Если действительно руками скобки пораскрывать, то вдруг (совершенно поразительно) окажется, что почти всё сократилось:
Q(q) = 1 -q -q^2 +q^5 +q^7 - q^12 - q^15 +...

Знакомая последовательность?
И уже понятно, откуда взялась рекуррентная формула выше: это мы записали произведение P(q)*Q(q)=1 и приравняли коэффициенты при q^n в левой и в правой частях равенства: при всех n>0
\sum_{j=0}^n c_j p(n-j) = p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)-... =0.

Это — из "Лекций о производящих функциях" С. К. Ландо.

А вот статья "О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностях" Д. Фукса (да, того самого, который Фукс-Табачников) в Кванте, которую цитирует Ландо. И я её очень советую прочитать — даже если начало покажется простым, к концу становится ну очень интересно. На скриншоте выше один кусочек картинка оттуда — как раз из второй половины статьи.

Остаётся понять, что же это за последовательность —
1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, ...

Если посмотреть на разницу между числами пар, идущих с одинаковым знаком, то закономерность бросается в глаза:
2-1= 1
7-5= 2
15-12= 3
26-22= 4.

А как устроена последовательность первых чисел в паре?
1, 5, 12, 22...
Давайте я тут процитирую дубнинскую брошюру Е. Ю. Смирнова,
"Диаграммы Юнга, плоские разбиения и знакочередующиеся матрицы":

Вот из-за этих пятиугольных чисел соответствующее утверждение о том, как устроен ряд Q, обратный к производящей функции P, и называется пентагональной теоремой Эйлера.
Я продолжу цитировать брошюру Е. Ю. Смирнова (собственно, из неё — и из его курса в ЛШСМ — я в первый раз этот сюжет и узнал):