Если смотреть на 1-s — то оно разбивается по тому, какой самый левый прямоугольник остался пустым. Либо это левая клетка (вклад x), либо пустых клеток хотя бы две (выносим x^2), а во всех прямоугольниках левее того есть хотя бы по одной ёлке (иначе бы это был не самый левый), и мы получаем бесконечную сумму конечных произведений конфигураций "вот тут ёлок нет, а вот в каждом из этих прямоугольников хотя бы одна есть".

И так продолжается и дальше (image credit: F. Petrov, Euler’s proof of pentagonal theorem).

По-моему, очень красиво!

Текущая версия-препринт текста Феди Петрова (спасибо ему за разрешение выложить!)

И в этом тексте больше, чем в посте по ссылке выше — вот одна страница оттуда в качестве рекламы.

Третий способ доказывать пентагональную теорему (и первый, который я узнал) — через тройное произведение Якоби.

Вот его формулировка из уже упоминавшейся брошюры Е. Ю. Смирнова:

На вид выглядит несколько пугающе: ряды уже от двух формальных переменных, q и x, причём для x бывают ещё и отрицательные степени, и в левой части стоит произведение аж трёх разных скобок. Но на самом деле — совершенно не страшно (и мы с ней скоро разберёмся). И действительно сразу проглядывает похожесть на пентагональную теорему: в левой части произведения по всем j с q^j внутри сомножителей, в правой сумма, правда, с треугольными, а не с пятиугольными показателями степеней.

И пентагональная теорема из неё действительно выводится очень несложно: если подставить q^3 вместо q и -q^{-1} вместо x, то три скобки в левой части станут в точности произведением (1-q^j) из пентагональной теоремы — просто разбитым по тому, какой остаток степень j даёт при делении на 3. Если j=3k, то (1-q^j) получается из последней скобки, если j=3k-1, то из первой, а если j=3k-2, то из второй.
Ну а в правой части подстановка как раз и даёт обобщённые пятиугольные числа (со знаком, приходящим из x^j=(-q^{-1})^j) — в точности правую часть пентагональной теоремы.

(Image credit: Е. Ю. Смирнов, Диаграммы Юнга, плоские разбиения и знакочередующиеся матрицы)

А вот кадр из его же курса лекций в НМУ. Мы теперь узнаём почти всё, что написано на доске (а это всегда очень приятно!).

Но это мы пентагональную теорему вывели из тройного произведения. А как его доказывать?

Сначала — давайте его переформулируем эквивалентным образом: произведение (1-q^k), третья скобка, это обратный ряд к производящей функции для числа разбиений p(n). Соответственно — если мы это произведение перенесём в правую часть — как раз получится производящая функция для p(n):

И вот в этом виде мы его и будем доказывать. Кстати — если обозначить левую часть через A(x,q), так это определение это в точности формула наверху центральной доски на фото выше.

Да — прежде, чем мы перейдём к доказательству, давайте я скажу пару слов о способах рисовать диаграмму Юнга. Мы уже прямо в этом рассказе видели, что строчки из квадратиков, соответствующие убывающим слагаемым, можно рисовать одну под другой (см.), а можно ставить одну на другую снизу вверх (см.). Первый способ называется английским, второй французским.

Естественно, не могло обойтись без юмора. На скриншоте — сноска на странице 2 книги Ian G. Macdonald-а "Symmetric Functions and Hall Polynomials":
"Some authors (especially Francophones) prefer the convention of coordinate geometry (in which the first coordinate increases from left to right and the second coordinate from bottom to top) and define the diagram of λ to be the set of (i,j) \in Z^2 such that 1 \le i \le λ_j. Readers who prefer this convention should read this book upside down in a mirror."

Империя Республика наносит ответный удар: на этом скриншоте — часть страницы 10 из книги Франсуа Бержерона (François Bergeron) "Algebraic Combinatorics and Coinvariant Spaces".

Третий способ рисовать диаграммы Юнга называется русским: это французский способ, повёрнутый на 45 градусов в положительном направлении и растянутый в корень из 2 раз — так, что диаграмма оказывается состоящей из квадратов с вершинами с целыми координатами, а каждый отрезок её внешней границы имеет наклон плюс или минус 1.
На скриншоте — иллюстрация из статьи Дэна Ромика (Dan Romik) и Петра Сняды (Piotr Sniady), Jeu de taquin dynamics on infinite Young tableaux and second class particles, Ann. Probab. 43:2 (2015), pp. 682-737.

Этот способ, хоть сначала и кажется странным (зачем на 45 градусов поворачивать, рисовать же неудобно!), оказывается очень полезным. А именно — можно продолжить внешнюю границу диаграммы графиком y=|x| (как на рисунке у Ромика-Сняды и сделано). И получить график непрерывной кусочно-линейной функции на всей прямой.
А этот график можно задавать плюсами и минусами — в зависимости от того, её наклон на очередном отрезке [n,n+1] равен +1 или -1. Или — поместить по чёрному камушку в середину каждого отрезка графика, идущего с коэффициентом наклона -1, и по белому — с коэффициентом наклона +1, а потом спроецировать эту конфигурацию на ось абсцисс и получить расстановку чёрных и белых камушков на прямой.
Можно, кстати, белые камушки не ставить, а считать, что во всех полуцелых точках прямой выкопаны лунки — только некоторые из них заняты камнями, а некоторые нет.

Да, для того, чтобы мы восстановили диаграмму, "вписанную" в график y=|x|, нужно, чтобы:
*) в минус бесконечности, начиная с некоторого момента все лунки были бы заняты;
*) в плюс бесконечности, начиная с некоторого момента все лунки были бы свободны;
*) число свободных лунок левее нуля совпадало бы с числом занятых лунок правее нуля.
Если последнее не выполнено, то при попытке восстановить мы получим диаграмму, у которой смещено "начало" — вписанную в какой-то другой угол y=|x-k|, где k целое (это разность занятых левее нуля и свободных правее нуля).

Получающаяся расстановка называется диаграммой майя для данной диаграммы Юнга; её замечательное свойство в том, что добавление одной клетки к диаграмме Юнга это в точности перемещение одного камня на один шаг вперёд.

Вот один такой пример (рисунок из препринта A. Gordenko, Limit shapes of large skew Young tableaux and a modification of the TASEP process).

===
Давайте я сделаю небольшую паузу — хотя история про пентагональную теорему не закончена! — и поделюсь замечательным видео, которое выложили организаторы ICM-2022 как анонс их конкурса.

Группа SL(2,Z) действует на верхней полуплоскости дробно-линейными преобразованиями — матрица (a, b \\ c, d) действует преобразованием
z-> (az+b)/(cz+d);
при этом минус тождественная матрица действует тоже тождественно, поэтому на самом деле действует группа
PSL(2,Z)=SL(2,Z)/{Id, -Id}.

Фактор верхней полуплоскости по её действию это модулярная кривая, на которой есть две конические особенности (i и e^{πi/3}, "отвечающие" квадратной и треугольной решёткам, если думать об этом действии в терминах решёток на плоскости) и один касп = "проколотая точка", отвечающий направлению "вверх на бесконечность" (или, что то же самое, вырождению решётки).

У этого действия есть стандартная фундаментальная область (склейкой границ которой модулярная кривая и получается) — вот так она выглядит в верхней полуплоскости.